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1、第5章 正弦稳态电路,相量法分析电路的基础,作业（1）,5-6，5-10，5-12，5-14，5-16；,5-20，5-22，5-24，5-27，5-29；,目录,5.1 正弦量的基本概念,5.2 正弦量的相量表示法,5.3 基尔霍夫定律及元件方程相量形式,5.4 阻抗与导纳,5.5 正弦稳态电路分析,5.6 正弦稳态电路的功率,5.7 应用,相位差,正弦量的相量表示,复阻抗复导纳,相量图,用相量法分析正弦稳态电路,正弦交流电路中的功率分析,教学要点,5.1 正弦量的基本概念,5.1.1 正弦量的三要素：,i(t)=Imcos(w t+i),(1)幅值(amplitude)(振幅、最大值)Im
2、,(2)角频率(angular frequency)w,(3)初相位(initial phase angle)i,正弦量的三要素是正弦量之间区分和比较的依据,一般|i|,初相位 i,i 是正弦量在t=0时刻的相位，称为正弦量的初相位（初相角），简称初相，即,i,相位差(phase difference)。,设 u(t)=Umcos(w t+ju)i(t)=Imcos(w t+ji),相位差 j=(w t+j u)-(w t+j i)=j u-j i,j 0，u 领先(超前)i，或i 落后(滞后)u;,j 0，i 领先(超前)u，或u 落后(滞后)i;,即它们的初相之差，在任何瞬时都是定值。,同
3、频率正弦量的,j=0，同相：,j=(180o)，反相：,重申：规定：|(180),=90,正交 u 领先 i 90 或 i 落后 u 90,当 时，称这两个正弦量为同相；当 时，称之为正交；时称为反相。,5.1.2 正弦量的有效值,有效值(effective value),1.数学定义,有效值也称方均根值(root-meen-square，简记为 rms。),实质：它是基于周期电流（电压）的热效应与直流电流的热效应相比较而定义的。,电流函数i(t)的有效值,给定函数 y=y(t),2.正弦电流、电压的有效值,设 电流 i(t)=Imcos(t+j i),注意:只适用正弦量,同理,而电压 u(t
4、)=Umcos(t+j u)时,5.2 正弦量的相量表示法,本节是相量法的基础理论，介绍复数的基本知识和正弦量的相量形式；,涉及到复数的表示形式和运算、以及相量形式正弦量理论等。,5.2.1 复数的表示形式及运算,1.复数F表示形式：,2.复数运算,A1A2=(a1a2)+j(b1b2),(1)加减运算直角坐标,(2)乘除运算首选极坐标运算,复数的加、减可以在复平面上用作图法完成。,F1+F2,=,F,F1+F2,=,F,即,如图(a)所示作一个平行四边形；,或图(b)将两个矢量首尾相连，都可以得到两个矢量的相加之和。,（a)两个复数的乘、除运算，其代数形式比较冗长，分别如下,(a1+jb1)
5、(a2+jb2)(a1a2-b1b2)+j(a1b2+a2b1),(b)采用复数的指数形式进行乘、除运算，比较方便。例如,(c)极坐标形式的乘除运算更方便，也是运算中的首选方法：,补充：旋转因子,3.复数运算中的旋转因子,ej j,+j,j,-1 都可以看成旋转因子。,复数 ej j=cos j+jsin j=1 j,Aej j,例5-1,设两个复数A=4+3j 和B=3-4j，计算 A+B，AB 和A/B。,加、减计算用代数形式，即,乘、除运算时，可以先将A和B化为极坐标形式，即,解,5.2.2 正弦量的相量表示法,1正弦量的相量表示,一个正弦电流量,可以用：,有欧拉公式的关系：,即：,(5
6、-4),式（5-4）表示一个实数范围内的正弦量与一个复数范围内的复指数量具有一一对应关系。用有效值上加点的方式表示正弦量的方法称为正弦量的相量形式，既可以与有效值 I 区分，又可以与一般复数区分。,(5-4),补例1：,已知,试用相量表示 i,u。,解：,补例2：,试写出电流的瞬时值表达式。,解：,相量的几何意义、相量图、旋转相量、参考相量,A(t)是旋转相量,旋转相量在横轴上的投影就是余弦函数,几何意义,相量图,习惯上，一般取初相为零的正弦量为参考正弦量。将参考正弦量转换成相量形式后，称为参考相量。,参考相量,很多时候坐标轴可以省略的,2同频率正弦量的运算,正弦量乘以实常数、同频率正弦量的代
7、数和，以及正弦量的微分、积分运算，其结果仍然为同频率的正弦量。把它们转换成相量形式，采用复数计算比较方便。,(1)同频率正弦量的线性运算,例,这实际上是一种变换思想，由时域变换到频域,i1 i2=i3,时域,频域,时域：在变量是时间函数条件下研究网络，以时间为自变量分析电路。,频域：在变量经过适当变换的条件下研究网络，以频率为自变量分析电路。,相量法：将正弦时间函数“变换”为相量后再进行分析,属于频域分析。,频域中求解,时域,频域,返回,（2）正弦量的微分,（3）正弦量的积分,例5-2,设两同频率正弦电流分别为:,一般首先将不是用cos函数表达的式子转换为cos的形式，然后再采用相量计算。即,
8、解:,同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。相量图在正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析。,如上面求解,例5-2解(续),例5-3,求图5-6中的RL电路在正弦电压 作用下的全响应。设电感的初始电流为I0。,解 采用三要素法分析：要求时间常数、初值I0和稳态解（或特解），前两个量比较容易。,稳态解采用相量方法来计算，因为时域中电路的方程为（设i为待求量）,化成相量形式：,令：,后续的解要方便，即：,最后：三要素方法,解毕！,5.3 基尔霍夫定律及元件方程的相量形式,5.3.1 基尔霍夫定律的相量形式,例5-4,如图电路的某结点，三个电流分别为,分别写出其时域和相量形式的KCL方程并计
9、算结果。,解,时域形式,相量形式：,=105j8.665+j8.66=0,例5-5,试计算端口的电压,解,直接用相量形式，取,写成时域形式的电压为,显然在相量形式计算中,5.3.2 元件方程的相量形式,R,L,C,其他元件：,后面有例题和介绍,1 电阻,相量形式：,有效值关系：UR=RI,相位关系：u,i 同相,相量关系,相量图,2.电感,时域,3.电容,4、其他,如线性受控源,由于线性受控源的控制量与被控量为线性关系，所以，将其转换成相量形式时也比较简单，两者将也是同频率的正弦量。,rik,uj,例5-6,解 方法一：采用相量法。,由已知条件得,而：,用相量表示为,同理：,用相量表示为,对应
10、写出时域形式为,求图中电感的电压uL和电容中的电流 ic其中,方法二：,也可以直接采用时域形式求解。即,例5-7,图(a)和(b)所示的仪表均为交流电压表，各读数为电压的有效值。图(a)中读数，V1：30 V；V2：60 V。图(b)中读数，V1：15 V；V2：80 V；V3：100 V。分别求出图中的电源端电压有效值Us1，Us2。,解 作出相量形式电路，如图(c)，令,由图（c）,所以根据KVL得,于是有效值,由图（d）,同理得,最后有效值：,(b)作出相量形式电路，如图(d)所示，,小 结,1.求正弦稳态解是求微分方程的特解，应用相量法将该问题转化为求解复数代数方程问题。,2.引入电路
11、的相量模型，不必列写时域微分方程，而直接列写相量形式的代数方程。,3.采用相量法后，电阻电路中所有网络定理和一般分析方法都可应用于交流电路。,如：电路的相量模型(phasor model),时域列写微分方程,相量形式代数方程,时域电路,相量模型,相量模型：电压、电流用相量；元件用复数阻抗或导纳。,5.4 阻抗和导纳,5.4.1.复阻抗定义,正弦激励下,单位：,阻抗模,阻抗角,阻抗Z是一个复量，故又称为复阻抗。,关系：,或,复阻抗是电阻和电抗的组合,一般情况下，阻抗的定义是一端口的等效阻抗，也称输入阻抗（或策动阻抗），其实部和虚部都是外加激励角频率的函数，所以有时也把阻抗 Z 写成,Z 复阻抗；
12、R电阻(阻抗的实部)；X 电抗(阻抗的虚部)。,下面讨论一下电抗：,回顾两个公式：,L、C元件的感抗和容抗,1.电感,感抗的物理意义：,(1)表示限制电流的能力；,(2)感抗和频率成正比。频率的函数,XL=U/I=L=2 f L，单位:欧,的感抗,U=w L I,(3)由于感抗的存在使电流滞后电压。,2 电容,容抗的物理意义：,(1)表示限制电流的能力；,(2)容抗的绝对值和频率成反比。频率的函数,的容抗,I=w CU,(3)由于容抗的存在使电流超前电压。,错误的写法,具体分析一下 R、L、C 串联电路：,Z（w）=R+j(wL-1/wC)=|Z|j,wL 1/w C，X0，j 0，电路为感性
13、，电压超前电流；,wL1/w C，X0，j 0，电路为容性，电压滞后电流；,wL=1/w C，X=0，j=0，电路为电阻性，电压与电流同相。,画相量图：选电流为参考向量(wL 1/w C),三角形UR、UX、U 称为电压三角形，它和阻抗三角形相似。即,例.,已知：R=15,L=0.3mH,C=0.2F,求 i,uR,uL,uC.,解：,其相量模型为,则,UL=8.42U=5，分电压大于总电压。,相量图,例5-8,已知图示电路中，R1=20 W L=5 mH，R2=5，C=25 mF。求（1）当角频率为2000 rad/s时，电路的等效阻抗。（2）当角频率为8000 rad/s时，电路的等效阻抗
14、。（3）当电路的角频率为多少时，电路的阻抗为纯电阻性？此时电阻为多少？,解,端口的等效阻抗为,（1）当角频率为2000 rad/s时，有,（2）当角频率为8000 rad/s时，有,（3）要求阻抗为纯电阻性，即阻抗Z的虚部为零，即：,所以,可见：阻抗是频率的函数，电路的频率改变，阻抗也就改变了！,5.4.2 导纳的定义,对图示的无源一端口网络，导纳Y定义为,导纳Y也可以表示为,导纳Y是一个复量，又称复导纳。GReY，为导纳的电导分量；BImY，为导纳的电纳分量。,Y 复导纳；G电导(导纳的实部)；B电纳(导纳的虚部)；|Y|复导纳的模；导纳角。,关系：,或,复导纳是电导和电纳的组合,容纳BC,
15、单位均是西门子（S)。,导纳也是一个无源一端口元件的等效导纳（或策动导纳），其实部G和虚部B均为外加激励角频率的函数。仿照阻抗的形式，导纳的一般形式为:,R、L、C 元件的导纳,（1）R：,（2）L：,（3）C：,感纳BL,RLC并联电路的导纳,由KCL：,Y=G+j(wC-1/wL)=|Y|j,w C 1/w L，B0，j 0，电路为容性，i超前u；,w C1/w L，B0，j 0，电路为感性，i滞后u；,wC=1/w L，B=0，j=0，电路为电阻性，i与u同相。,画相量图：选电压为参考向量(wC 1/w L，0),RLC并联电路同样会出现分电流大于总电流的现象,5.4.3 阻抗与导纳的关
16、系及等效阻抗,对同一二端网络:,1、关系,2、互求计算,一般情况 G1/R B1/X。若Z为感性，X0，则B0，即仍为感性。,2、互求计算(1),2、互求计算(2),同样，若由Y变为Z，则有：,3、阻抗串并联,串联,并联,等效,分压,等效,分流,例5-9,图中已知，电流的有效值为2 A，试求端口电压和两个阻抗上电压的有效值。,解,总的阻抗为,端口电压有效值为：,两个阻抗上电压有效值为,即有部分（或全部）串联阻抗上电压的有效值会高于端口总电压的有效值。同样在并联分流电路中，也会出现分流电流的有效值大于总电流的有效值的情况。,例5-10,解,端口等效阻抗为,设电压相量为，则有,电流 为分流电流，即,KCL或分流,4、-Y等效阻抗互换,直流电阻电路中的与Y等效变换仍然适用于阻抗电路,To be continued!,且听下回分解！,
