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1、特别解析一元二次不等式解法特别解析：一元二次不等式解法 典型例题一 例1 解不等式：2x-x-15x0；(x+4)(x+5)2(2-x)30可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况 解：原不等式可化为：x(2x+5)(x-3)0 把方程x(2x+5)(x-3)=0的三个根x1=0,x2=-,x3=3顺次标上数轴然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分 52原不等式解集为x-5x3 2(x+4)(x+5)2(x-2)30原不等式等价于： x-5x+50(x+4)(x-2)0x2原不等式解集为xx-5或-5x2 说明：用“穿根法”解不等式时应注意：各一次项中x的系数必为正；对
2、于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图 典型例题二 例2 解下列分式不等式： 32x2-4x+11-1 ； 2x-2x+23x-7x+2- 1 - 分析：当分式不等式化为f(x)0(或0)时，要注意它的等价变形 g(x)f(x)0f(x)g(x)0 g(x)f(x)g(x)0f(x)f(x)0或0f(x)=0或f(x)g(x)0 解法一：原不等式等价于 3x2-7x+2(2x2-3x+1)(3x2-7x+2)0222x-3x+102x-3x+103x-7x+2011x或x23211原不等式解集为(-,)(,1)(2,+)。 32解法二：
3、原不等式等价于(2x-1)(x-1)0 (3x-1)(x-2)(2x-1)(x-1)(3x-1)(x-2)0 用“穿根法”解得原不等式解集为(-,)(,1)(2,+) 1312- 2 - 典型例题三 2例3 解不等式x-4x+2 分析：解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法：一是根据绝对值的a(a0)意义a=；二是根据绝对值的性质：xa-axa或-a(a0)x-a，因此本题有如下两种解法 22x-40x-40或解法一：原不等式2 2x-4x+24-xx+2x2或x-2-2x2即 或-2xxx12x3或1x2 故原不等式的解集为x1x3 解法二：原不等式等价于 -(x+2)x2-4
4、x+2 2-2x3x-4x+2即2 故1x1或x-(x+2)典型例题四 x2-6x+50 例4 解不等式12+4x-x2分析：这是一个分式不等式，其左边是两个关于x二次式的商，由商的符号法则，它等价22x-6x+50于下列两个不等式组：或 2212+4x-x012+4x-x0所以，原不等式的解集是上面两个不等式级的解集的并集也可用数轴标根法求解 解法一：原不等式等价下面两个不等式级的并集： 22,(x-1)(x-5)0,x-6x+50,或或 22(x+2)(x-6)0;12+4x-x012+4x-x01x5,x5,1x5,或x6 或；x6-2x6原不等式解集是xx-2，或1x6 - 3 - 解
5、法二：原不等式化为(x-1)(x-5)0 (x+2)(x-6)(x-1)(x-5)符号如下： (x+2)(x-6)画数轴，找因式根，分区间，定符号 原不等式解集是xx-2，或1x6 说明：解法一要注意求两个等价不等式组的解集是求每组两个不等式的交集，再求两组的解的并集，否则会产生误解解法二中，“定符号”是关键当每个因式x的系数为正值时，最右边区间一定是正值，其他各区间正负相间；也可以先决定含的区间符号，其他各区间正负相间在解题时要正确运用 典型例题五 x2+2x-20 (x-3)(x+1)由x2+x+10恒成立，知原不等式等价于(x-2)0 (x-3)(x+1)解之，得原不等式的解集为x-1x
6、3 说明：此题易出现去分母得x2+2x-2x(3+2x-x2)的错误解法避免误解的方法是移项使一边为再解 另外，在解题过程中，对出现的二项式要注意其是否有实根，以便分析不等式是否有解，从而使求解过程科学合理 典型例题六 例6 设mR，解关于x的不等式m2x2+2mx-30 分析：进行分类讨论求解 解：当m=0时，因-30一定成立，故原不等式的解集为R - 4 - 当m0时，原不等式化为(mx+3)(mx-1)0时，解得-3113x； 当m0时，解得x0时，原不等式的解集为x-x； mm13当m0时，原不等式的解集为xx- mm说明：解不等式时，由于mR，因此不能完全按一元二次不等式的解法求解因
7、为当m=0时，原不等式化为-30，此时解集为R，所以解题时应分m=0与m0两种情况来3131，x2=后，认为-0时，-；当m mmmm讨论在解出m2x2+2mx-3=0的两根为x1=-典型例题七 例7 解关于x的不等式2ax-a21-x(a0) 分析：先按无理不等式的解法化为两个不等式组，然后分类讨论求解 2ax-a20,2x-a20,解：原不等式(1)1-x0,或(2) 1-x(1-x);ax,a2x,由a0，得：(1)x1, (2)2 22x1.x-2(a+1)x+a+10，故不等式x2-2(a+1)x+a2+10的解是a+1-2axa+1+2a 当01，不等式组(1)的解是2a+1-2a
8、1 当a2时，不等式组(1)无解，(2)的解是xa 2a当02时，原不等式的解集,+2) - 5 - 说明：本题分类讨论标准“02”是依据“已知a0及(1)中x(2)中xa，x1，2a，x1”确定的解含有参数的不等式是不等式问题中的难点，也是近几年高2考的热点一般地，分类讨论标准大多数情况下依“不等式组中的各不等式的解所对应的区间的端点”去确定 本题易误把原不等式等价于不等式2ax-a2(1-x)纠正错误的办法是熟练掌握无理不等式基本类型的解法 典型例题八 例8 解不等式4x2-10x-33 分析：先去掉绝对值号，再找它的等价组并求各不等式的解，然后取它们的交集即可 解答：去掉绝对值号得-34
9、x2-10x-33， 原不等式等价于不等式组 5x,2x(2x-5)0-3022 22(x-3)(2x+1)0-1x3.4x-10x-334x-10x-6022215原不等式的解集为x-x0或x0 分析：不等式中含有字母a，故需分类讨论但解题思路与一般的一元二次不等式的解法完全一样：求出方程x2-(a+a2)x+a3=0的根，然后写出不等式的解，但由于方程的根含有字母a，故需比较两根的大小，从而引出讨论 解：原不等式可化为(x-a)(x-a2)0 (1)当aa2时，不等式的解集为：xxa2； (2)当aa2时，不等式的解集为：xxa； - 6 - (3)当a=a2时，不等式的解集为：xxR且x
10、a 说明：对参数进行的讨论，是根据解题的需要而自然引出的，并非一开始就对参数加以分类、讨论比如本题，为求不等式的解，需先求出方程的根x1=a，x2=a2，因此不等式的解就是x小于小根或x大于大根但a与a2两根的大小不能确定，因此需要讨论aa2，a=a2三种情况 典型例题十 例10 已知不等式ax+bx+c0的解集是x2ax0)求不等式cx2+bx+a0的解集 分析：按照一元二次不等式的一般解法，先确定系数c的正负，然后求出方程cx2+bx+a=0的两根即可解之 解：(解法1)由题可判断出a，b是方程ax2+bx+c=0的两根， a+b=-bc，ab= aa又ax2+bx+c0的解集是xaxb，
11、说明a0c0x2+x+0，b0ab0a+b11bb=-=-,a+b=-cababa cc111ab=(-)(-),aabaabx2+111111bax+0，即x2+(-)x+(-)(-)0， 即(x-)(x-)0 abababcc又0a，(x-)(x-)0的解集为xx0的解集是xaxb，说明a0，b0ab0c0c0 a对方程cx2+bx+a=0两边同除以x2得 111a2+b+c=0 令t=，该方程即为： xxxat2+bt+c=0，它的两根为t1=a，t2=b， 1111=a，=bx1=，x2=， bx1x2a11， ab方程cx2+bx+a=0的两根为0a 不等式cx2+bx+a0的解集是
12、xx abba 说明：(1)万变不离其宗，解不等式的核心即是确定首项系数的正负，求出相应的方程的根；(2)结合使用韦达定理，本题中只有a，b是已知量，故所求不等式解集也用a，b表示，不等式系数a，b，c的关系也用a，b表示出来；(3)注意解法2中用“变换”的方法求方程的根 典型例题十二 x-ax-b10， x2-x+1=(x-)2+0， 4242+a-b05a=1a-b2 2原不等式化为(2+a-b)x-(a+b)x+a-b0依题意=，b=32+a-b34a+b2=2+a-b3 说明：解有关一元二次方程的不等式，要注意判断二次项系数的符号，结合韦达定理来解 典型例题十三 例13 不等式ax2+
13、bx-20的解集为x-1x2，求a与b的值 分析：此题为一元二次不等式逆向思维题，要使解集为x-1x2，不等式- 8 - ax2+bx-20，D0，ax2+bx-2=0的两根为x1=-1，x2=2 解法一：设ax2+bx-2=0的两根为x1，x2，由韦达定理得： bbx+x=-=-1+212aa 由题意： 22xx=-=-1212aaa=1，b=-1，此时满足a0，D=b2-4a(-2)0 解法二：构造解集为x-1x2的一元二次不等式： (x+1)(x-2)0，即x2-x-20，此不等式与原不等式ax2+bx-20应为同解不等式，故需满足：ab-2 a=1，b=-1 =1-1-2说明：本题考查
14、一元二次方程、一元二次不等式解集的关系，同时还考查逆向思维的能力对有关字母抽象问题，同学往往掌握得不好 典型例题十四 例14 解关于x的不等式ax2-(a+1)x+10 分析：因为含有字母系数，本题主要考查分类思想 解：分以下情况讨论 (1)当a=0时，原不等式变为：-x+11 (2)当a0时，原不等式变为：(ax-1)(x-1)0时，式变为(x-)(x-1)0 a11-a111-1=，当0a1，此时的解为1x当a=1时，=1，aaaaa1此时的解为x1 a当a0，不等式的解为x1或x说明：解本题要注意分类讨论思想的运用，关键是要找到分类的标准，就本题来说有三a=0a0级分类：aR0a0a=1
15、a1分类应做到使所给参数a的集合的并集为全集，交集为空集，要做到不重不漏另外，解本题还要注意在讨论a0时，解一元二次不等式ax2-(a+1)x+18-x 分析：无理不等式转化为有理不等式，要注意平方的条件和根式有意义的条件，一般情况下，f(x)g(x)可转化为f(x)g(x)或f(x)=g(x)，而f(x)g(x)等价于： f(x)0f(x)0或 g(x)0g(x)g(x)2解：原不等式等价于下面两个不等式组： 8-x08-x(8-x)x8x874由得，x8 由得x5或x-2 13.74748，即为xx所以原不等式的解集为x 1313说明：本题也可以转化为f(x)g(x)型的不等式求解，注意： f(x)0，这里，设全集f(x)g(x)g(x)02f(x)g(x)2U=xx2-3x-100=xx-2或x5，A=xx-3x-108-x， 则所求不等式的解集为A的补集A， 8-x074由x2-3x-108-xx2-3x-100 x-2或5x1322x-3x-10(8-x)74即A=xx2或5x，原不等式的解集是1374A=xx 13- 10 -
