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1、现代通信原理教程10章部分习题解答10.1 已知码集合中有8个码组为、，求该码集合的最小码距。 解 因为该码集合中包含全零码组，所以对于线性分组码，最小码距等于除全零码外的码组的最小重量，即dmin=3。 10.2 上题给出的码集合若用于检错，能检出几位错码？若用于纠错，能纠正几位错码？若同时用于检错与纠错，问纠错、检错的能力如何？ 解 只用于检错时，由条件：最小码距dmine+1，求出e=2，即能检出2位错码。 只用于纠错时，由dmin2t+1，可得t=1，既能纠正1位错码。 同时用于检错与纠错，且dmin=3时，无法满足下列条件 dmint+e+1 et故该码不能同时用于检错与纠错。 10
2、.4 已知(7,3)码的生成矩阵为 10011100100111 G= 0011101列出所有许用码组，并求监督矩阵。 解 分别将信息段、和代入式A=mG，得到许用码组如下 0000000 0011101 0100111 0111010 1001110 1010011 1101001 1110100 生成矩阵G为典型阵，有 1110 0111 Q=1101所以 1 101111T P=Q= 110011监督矩阵 10110001110100 H=PMIr=1100010011000110.5 已知一个(7,4)系统汉明码监督矩阵如下： 1110100 01110 H=101101001 试求：
3、 (1) 生成矩阵G； 10)时，求输出码序列A=？ (2) 当输入信息序列m=(1101011010(3) 若译码器输入B=(1001001),请计算校正子S，并指出可能的错误图样。 解 (1) 101111 Q=PT= 11001110001010100111 G=IkMQ=00101100001011 (2) m1=1101,m2=0110,m3=1010 10001010100111=(11010 A1=m1G=1101) 0100101100001011) A2=m2G=(0110001 A3=m3G=(10100) 112 (3) 101111110S=BHT=1001001011
4、=111 100010001利用关系式S=EHT，求得可能的错误图样E=(0100000)。 10.7 已知x15+1=(x+1)x4+x+1x4+x3+1x4+x3+x2+x+1x2+x+1，试问由它共构成多少种码长为15的循环码？列出它们的生成多项式。 解 将x15+1按因式的次数排列如下： 1次 x+1 2次 x2+x+1 3次 (x+1)x2+x+1 ()()()()()( 5次 (x+1)(x+x+1)或(x+1)(x+x+1)或(x+1)(x+x+x+x+1) 6次 (x+x+1)(x+x+1)或(x+x+1)(x+x+1)或 (x+x+1)(x+x+x+x+1) 7次 (x+1)
5、(x+x+1)(x+x+1)或(x+1)(x+x+1)(x+x+1)或 (x+1)(x+x+1)(x+x+x+x+1) 8次 (x+x+1)(x+x+1)或(x+x+1)(x+x+x+x+1)或 (x+x+1)(x+x+x+x+1) 9次 (x+1)(x+x+1)(x+x+1)或 (x+1)(x+x+1)(x+x+x+x+1)或 (x+1)(x+x+1)(x+x+x+x+1) 4次 x4+x+1或x4+x3+1或x4+x3+x2+x+1 443432242432432242432432443443243432443443243432()(3 ( (x (x)()()+x+1)(x+x+1)(x
6、+x+x+x+1)或 +x+1)(x+x+1)(x+x+x+x+1) 11次 (x+1)(x+x+1)(x+x+1)(x+x+1)或 (x+1)(x+x+1)(x+x+1)(x+x+x+x+1)或 (x+1)(x+x+1)(x+x+1)(x+x+x+x+1) 12次 (x+x+1)(x+x+1)(x+x+x+x+1) 13次 (x+1)(x+x+1)(x+x+1)(x+x+x+x+1) 14次 (x+x+1)(x+x+1)(x+x+1)(x+x+x+x+1) 10次 x2+x+1x4+x+1x4+x3+1或 2443224343224432443224343244343244343224434
7、32 这些因式都满足生成多项式的3个条件，因此由它们可构成出30种码长为15的循环码。(15,14)循环码的生成多项式是x+1；(15,13)循环码的生成多项式是x2+x+1；(15,12)循环码的生成多项式是(x+1)x2+x+1；4次因式有x4+x+1或x4+x3+1或()()()(x4+x3+x2+x+13个，任选其中一个做生成多项式都可以产生一个(15,11)循环码，)依此类推。 10.9已知(7,4)循环码的生成多项式为x3+x+1，输入信息码元为1001，求编码后的系统码组。解 g(x)=x3+x+1， 计算xn-km(x)=x3x3+1=x6+x3； m(x)=x3+1。 求xn
8、-km(x)/g(x)的余式，用长除法： ()x3+x x+x+1 33x6+x3x+x+x64x4x4+x2+xx2+x4 编码后，系统码的码多项式为 T(x)=xn-km(x)+r(x)=x6+x3+x2+x 对应的系统码组A=(1001110) 。 10.10已知某循环码的生成多项式是x10+x8+x5+x4+x2+x+1，编码效率是13。求 (1) 该码的输入信息分组长度k及编码后码组的长度n； (2) 信息码m(x)=x4+x+1编为系统码后的码多项式。 解 n-k=10(1) k1n= 3可解得k=5,n=15。 (2) xn-km(x)=x10(x4+x+1)=x14+x11+x
9、10 xn-km(x)g(x)=x14+x11+x10 x10+x8 +x5+x4+x2+x+1 =x4+x2+x+x8+x7+x6+xx10+x8+x5+x4+x2+x+1因此所求的码多项式为 T(x)=x14+x11+x10+x8+x7+x6+x 10.11已知(7,3)循环码的一个码组为。 (1) 试写出所有的码组，并指出最小码距dmin； (2) 写出生成多项式g(x)； (3) 写出生成矩阵； (4) 画出构成该(7,3)循环码的编码器。 解 (1) 0000000 1001011 0010111 0101110 1011100 0111001 1110010 1100101 dmi
10、n=4 5 (2) g(x)=x4+x2+x+1 (3) x2g(x)x6+x4+x3+x2 G(x)=xg(x)=x5+x3+x2+x g(x)x4+x2+x+1 (4) 10.19 已知一个卷积码编码器结构如题10.19图所示，试 (1) 写出生成序列g1、g2和生成矩阵G； (2) 画出状态图和网格图。 解 (1) g1=(101)=(5)8，g2=(011)=(3)8。 O100111100111100111100111G=1001O10O (2) 下图中a、b、c和d分别代表状态00、01、10和11，实线表示输入比特为0的分支，虚线表示输入比特为1的分支。 6 状态图： 网格图：
11、10.20 某卷积码的生成多项式为 g1(x)=1+x+x2，g2(x)=1+x+x2，g3(x)=1+x2 (1) 画出该码编码器框图； (2) 画出网格图； (3) 当接收序列为111 001 011 010 110 000时，试用维特比译码算法求发送序列。 解 (1) (2) 7 (3) 首先考察接收序列前nN，选出幸存路径。 约束长度N=3，nN=9，接收序列前9位是“111 001 011”。在该卷积码的网格图上，分别找出从出发点状态a经三级路径到达状态a、b、c及d的两条路径，对应序列，并计算它们和接收序列前9bit的码距，将码距小的一条路径保留，作为幸存路径，见下表。图(a)是经
12、过三级路径后幸存路径网格图。 表2-14 维特比算法译码第一步计算结果 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 路径 aaaa 对应序列 000 000 000 111 110 111 000 000 111 111 110 000 000 111 110 111 001 001 000 111 001 111 001 110 码距 6 4 5 5 7 1 6 2 幸存否 否 是 是 否 否 是 否 是 abca aaab abcb aabc abdc aabd abdd 8 继续考察接收序列中后继n=3位，计算出新增路径段的码组与接收序列中后继3位之间的新增码距，总码距，选出幸存路径，分别如图(b)、(c)、(d)和图(e)所示。由图(e)可见，幸存路径abdcbcb上的序列“111 001 001 000 110 000”与接收序列码距最小，故对应发送信息为110101。 9 10
