用导数求函数的极值以及符合函数的求导数.docx

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1、用导数求函数的极值以及符合函数的求导数用导数来求函数的极值 例 求下列函数的极值： 1f(x)=x3-12x；2f(x)=x2e-x；3f(x)=2x-2. 2x+1分析：按照求极值的基本方法，首先从方程f(x)=0求出在函数然后按照函数极值的定义判断在这f(x)定义域内所有可能的极值点，些点处是否取得极值 解：1函数定义域为Rf(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2). 令f(x)=0，得x=2 当x2或x0， 函数在(-,-2)和(2,+)上是增函数； 当-2x2时，f(x)0， 函数在上是减函数 当x=-2时，函数有极大值f(-2)=16， 当x=2时，函数有极小值f(2)=-16.

2、 2函数定义域为Rf(x)=2xe-x-x2e-x=x(2-x)e-x 令f(x)=0，得x=0或x=2 当x2时，f(x)0， 函数f(x)在(-,0)和(2,+)上是减函数； 当0x0， 函数f(x)在上是增函数 当x=0时，函数取得极小值f(0)=0， 当x=2时，函数取得极大值f(2)=4e-2 3函数的定义域为R 2(1+x2)-2x2x2(1-x)(1+x)f(x)=. 2222(x+1)(x+1)令f(x)=0，得x=1 当x1时，f(x)0， 函数f(x)在(-,-1)和(1,+)上是减函数； 当-1x0， 函数f(x)在上是增函数 当x=-1时，函数取得极小值f(-1)=-3

3、， 当x=1时，函数取得极大值f(1)=-1. 说明：思维的周密性是解决问题的基础，在解题过程中，要全面、系统地考虑问题，注意各种条件 综合运用，方可实现解题的正确性解答本题时应注意f(x0)=0只是函数f(x)在x0处有极值的必要条件，如果再加之x0附近导数的符号相反，才能断定函数在x0处取得极值反映在解题上，错误判断极值点或漏掉极值点是学生经常出现的失误 复杂函数的极值 例 求下列函数的极值： 1f(x)=3x2(x-5) ；2f(x)=x2-x-6. 分析：利用求导的方法，先确定可能取到极值的点，然后依据极值的定义判定在函数f(x)的定义域内寻求可能取到极值的“可疑点”，除了确定其导数为

4、零的点外，还必须确定函数定义域内所有不可导的点这两类点就是函数f(x)在定义内可能取到极值的全部“可疑点” 解：1f(x)=233x(x-5)+3x2=2(x-5)+3x5(x-2)=3. 33x3x令f(x)=0，解得x=2，但x=0也可能是极值点 当x2时，f(x)0， 函数f(x)在(-,0)和(2,+)上是增函数； 当0x2时，f(x)0， 函数f(x)在上是减函数 当x=0时，函数取得极大值f(0)=0， 当x=2时，函数取得极小值f(2)=-334 2x-x-6,(x-2或x3),2f(x)2 -x+x+6,(-2x3),2x-1,(x3),f(x)-2x+1,(-2x3), 不存

5、在,(x=-2或x=3).令f(x)=0，得x= 当x-2或x3时，f(x)3或-2x0， 1函数f(x)在(3,+)和-2,上是增函数 212当x=-2和x=3时，函数f(x)有极小值0， 当x=时，函数有极大值1225 4说明：在确定极值时，只讨论满足f(x0)=0的点附近的导数的符号变化情况，确定极值是不全面的在函数定义域内不可导的点处也可能存在极值本题1中x=0处，2中x=-2及x=3处函数都不可导，但f(x)在这些点处左右两侧异号，根据极值的判定方法，函数f(x)在这些点处仍取得极值从定义分析，极值与可导无关 根据函数的极值确定参数的值 例 已知f(x)=ax3+bx2+cx(a0)

6、在x=1时取得极值，且f(1)=-1 1试求常数a、b、c的值； 2试判断x=1是函数的极小值还是极大值，并说明理由 分析：考察函数f(x)是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值点，再通过极值点与导数的关系，即极值点必为f(x)=0的根建立起由极值点x=1所确定的相关等式，运用待定系数法求出参数a、b、c的值 解：1解法一：f(x)=3ax2+2bx+c Qx=1是函数f(x)的极值点， x=1是方程f(x)=0，即3ax2+2bx+c=0的两根， 由根与系数的关系，得 2b-=0, 3a c=-1, 3a又f(1)=-1，a+b+c=-1， 由、解得a=,b=0,c=- 解法二：由f(

7、-1)=f(1)=0得 3a+2b+c=0， 3a-2b+c=0 1232又f(1)=-1，a+b+c=-1， 32133332f(x)=x3-x，f(x)=x2-=(x-1)(x+1). 22222解、得a=,b=0,c=- 12当x1时，f(x)0，当-1x1时，f(x)2或x0， 函数在(-,-2)和(2,+)上是增函数； 当-2x2时，f(x)0， 函数在上是减函数 当x=-2时，函数有极大值f(-2)=16， 当x=2时，函数有极小值f(2)=-16. 2函数定义域为Rf(x)=2xe-x-x2e-x=x(2-x)e-x 令f(x)=0，得x=0或x=2 当x2时，f(x)0， 函数

8、f(x)在(-,0)和(2,+)上是减函数； 当0x0， 函数f(x)在上是增函数 当x=0时，函数取得极小值f(0)=0， 当x=2时，函数取得极大值f(2)=4e-2 3函数的定义域为R 2(1+x2)-2x2x2(1-x)(1+x)f(x)=. (x2+1)2(x2+1)2令f(x)=0，得x=1 当x1时，f(x)0， 函数f(x)在(-,-1)和(1,+)上是减函数； 当-1x0， 函数f(x)在上是增函数 当x=-1时，函数取得极小值f(-1)=-3， 当x=1时，函数取得极大值f(1)=-1. 说明：思维的周密性是解决问题的基础，在解题过程中，要全面、系统地考虑问题，注意各种条件

9、 综合运用，方可实现解题的正确性解答本题时应注意f(x0)=0只是函数f(x)在x0处有极值的必要条件，如果再加之x0附近导数的符号相反，才能断定函数在x0处取得极值反映在解题上，错误判断极值点或漏掉极值点是学生经常出现的失误 复杂函数的极值 例 求下列函数的极值： 1f(x)=3x2(x-5) ；2f(x)=x2-x-6. 分析：利用求导的方法，先确定可能取到极值的点，然后依据极值的定义判定在函数f(x)的定义域内寻求可能取到极值的“可疑点”，除了确定其导数为零的点外，还必须确定函数定义域内所有不可导的点这两类点就是函数f(x)在定义内可能取到极值的全部“可疑点” 解：1f(x)=233x(

10、x-5)+3x2=2(x-5)+3x5(x-2)=3. 33x3x令f(x)=0，解得x=2，但x=0也可能是极值点 当x2时，f(x)0， 函数f(x)在(-,0)和(2,+)上是增函数； 当0x2时，f(x)0， 函数f(x)在上是减函数 当x=0时，函数取得极大值f(0)=0， 当x=2时，函数取得极小值f(2)=-334 2x-x-6,(x-2或x3),2f(x)2 -x+x+6,(-2x3),2x-1,(x3),f(x)-2x+1,(-2x3), 不存在,(x=-2或x=3).令f(x)=0，得x= 当x-2或x3时，f(x)3或-2x0， 1-2,函数f(x)在(3,+)和上是增函

11、数 212当x=-2和x=3时，函数f(x)有极小值0， 当x=时，函数有极大值1225 4说明：在确定极值时，只讨论满足f(x0)=0的点附近的导数的符号变化情况，确定极值是不全面的在函数定义域内不可导的点处也可能存在极值本题1中x=0处，2中x=-2及x=3处函数都不可导，但f(x)在这些点处左右两侧异号，根据极值的判定方法，函数f(x)在这些点处仍取得极值从定义分析，极值与可导无关 根据函数的极值确定参数的值 例 已知f(x)=ax3+bx2+cx(a0)在x=1时取得极值，且f(1)=-1 1试求常数a、b、c的值； 2试判断x=1是函数的极小值还是极大值，并说明理由 分析：考察函数f

12、(x)是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值点，再通过极值点与导数的关系，即极值点必为f(x)=0的根建立起由极值点x=1所确定的相关等式，运用待定系数法求出参数a、b、c的值 解：1解法一：f(x)=3ax2+2bx+c Qx=1是函数f(x)的极值点， x=1是方程f(x)=0，即3ax2+2bx+c=0的两根， 由根与系数的关系，得 2b-=0, 3a c=-1, 3a又f(1)=-1，a+b+c=-1， 由、解得a=,b=0,c=- 解法二：由f(-1)=f(1)=0得 3a+2b+c=0， 3a-2b+c=0 1232又f(1)=-1，a+b+c=-1， 32333132f(x

13、)=x3-x，f(x)=x2-=(x-1)(x+1). 22222解、得a=,b=0,c=- 12当x1时，f(x)0，当-1x1时，f(x)0. 函数f(x)在(-,-1)和(1,+)上是增函数，在上是减函数 当x=-1时，函数取得极大值f(-1)=1， 当x=1时，函数取得极小值f(1)=-1 说明：解题的成功要靠正确思路的选择本题从逆向思维的角度出发，根据题设结构进行逆向联想，合理地实现了问题的转化，使抽象的问题具体化，在转化的过程中充分运用了已知条件确定了解题的大方向可见出路在于“思想认识”在求导之后，不会应用f(1)=0的隐含条件，因而造成了解决问题的最大思维障碍 利用导数求函数的单

14、调性 例 讨论下列函数的单调性： 1f(x)=ax-a-x； 2f(x)=loga(3x2+5x-2)； 3f(x)=bx(-1x1时，lna0,ax+a-x0,f(x)0. 函数f(x)在(-,+)上是增函数 当0a1时，lna0,f(x)或x1，则当x时，logae0,6x+50,(3x-1)(x+2)0， f(x)0，函数f(x)在+上是增函数； ，1313当x-2时，f(x)0，函数f(x)在(-,-2)上是减函数 若0a时，f(x)0， +上是减函数； 函数f(x)在，1313当x0，函数f(x)在(-,-2)上是增函数 3函数f(x)是奇函数，只需讨论函数在上的单调性 x(x2-1

15、)-x(x2-1)当0x0，则f(x)0，函数f(x)在上是减函数； 若b0，函数f(x)在上是增函数 又函数f(x)是奇函数，而奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性所以当b0时，函数f(x)在上是减函数，当b0). 分析：为了提高解题的准确性，在利用求导的方法确定函数的单调区间时，也必须先求出函数的定义域，然后再求导判断符号，以避免不该出现的失误 解：1函数f(x)的定义域为R，f(x)=x4-4x=4(x-1)(x+1)x 令f(x)0，得-1x1 函数f(x)的单调递增区间为和(1,+)； bx令f(x)0，得x-1或0x0，得0x1 函数f(x)的递增区间为； 令f(x)0，得1x0

16、，得xb或x-b 函数f(x)的单调递增区间为(-,-b)和(b,+)； 令f(x)0，得-bxb且x0， 函数f(x)的单调递减区间是(-b,0)和(0,b) 说明：依据导数在某一区间内的符号来确定函数的单调区间，体现了形象思维的直观性和运动性解决这类问题，如果利用函数单调性定义来确定函数的单调区间，运算显得繁琐，区间难以找准学生易犯的错误是将两个以上各自独立单调递增区间写成并集的形式，如将例1函数f(x)的单调递增区间和递减区间分别写成(-1,0)U(1,+) 和(-,-1)U(0,1) 的错误结果这里我们可以看出，除函数思想方法在本题中的重要作用之外，还要注意转化的思想方法的应用 求解析

17、式并根据单调性确定参数 例 已知f(x)=x2+c，且ff(x)=f(x2+1). 1设g(x)=ff(x)，求g(x)的解析式； 2设j(x)=g(x)-lf(x)，试问：是否存在实数l，使j(x)在(-,-1)内为减函数，且在内是增函数 分析：根据题设条件可以求出j(x)的表达式，对于探索性问题，一般先对结论做肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，由推证结果是否出现矛盾来作出判断解题的过程实质是一种转化的过程，由于函数j(x)是可导函数，因此选择好解题的突破口，要充分利用函数的单调性构造等价的不等式，确定适合条件的参数l的取值范围，使问题获解 解：1由题意得ff

18、(x)=f(x2+c)=(x2+c)2+c， f(x2+1)=(x2+1)2+c.Qff(x)=f(x2+1)， (x2+c)2+c=(x2+1)2+c,x2+c=x2+1,c=1. f(x)=x2+1,g(x)=ff(x)=f(x2+1)=(x2+1)2+1. 2j(x)=g(x)-lf(x)=x4+(2-l)x2+(2-l) 若满足条件的l存在，则j(x)=4x3+2(2-l)x. 函数j(x)在(-,-1)内是减函数，当x-1时，j(x)0， 即4x3+2(2-l)x-4x2,x-1,-4x2-4. 2(2-l)-4，解得l4 又函数j(x)在上是增函数，当-1x0 即4x3+2(2-l

19、)x0对于x(-1,0)恒成立， 2(2-l)-4x2,Q-1x0,-44x20. 2(2-l)-4，解得l4 故当l=4时，j(x)在(-,-1)上是减函数，在上是增函数，即满足条件的l存在 说明：函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式，它包含着运动、变化，也就存在着量与量之间的相互依赖、相互制约的关系因此挖掘题目中的隐含条件则是打开解题思路的重要途径，具体到解题的过程，学生很大的思维障碍是迷失方向，不知从何处入手去沟通已知与未知的关系，使分散的条件相对集中，促成问题的解决不善于应用f(x)a恒成立f(x)maxa恒成立f(x)mina，究其原因是对函数的思想方法理解不深 利用导数比较大

20、小 例 已知a、b为实数，且bae，其中e为自然对数的底，求证：abba 分析：通过考察函数的单调性证明不等式也是常用的一种方法根据题目自身的特点，适当的构造函数关系，在建立函数关系时，应尽可能选择求导和判断导数都比较容易的函数，一般地，证明f(x)g(x),x(a,b)，可以等价转化为证明F(x)=f(x)-g(x)0，如果F(x)0，则函数F(x)在(a,b)上是增函数，如果F(a)0，由增函数的定义可知，当x(a,b)时，有F(x)0，即f(x)g(x) 解：证法一： Qbae，要证abba，只要证blnaalnb， 设f(b)=blna-alnb(be)，则f(b)=lna- Qbae

21、，lna1，且a0. bab函数f(b)=blna-alnb在(e,+)上是增函数 f(b)f(a)=alna-alna=0，即blna-alnb0， blnaalnb,abba. 证法二：要证abba，只要证blnaalnb(ea(xe)，则f(x)=0， 2abxx函数f(x)在(e,+)上是减函数 又Qeaf(b)，即lnalnb,abba. ab说明：“构造”是一种重要而灵活的思维方式，应用好构造思想解题的关键是：一要有明确的方向，即为什么目的而构造；二是要弄清条件的本质特点，以便重新进行逻辑组合解决这种问题常见的思维误区是不善于构造函数或求导之后得出f(x)g(x)f(x)g(x)的

22、错误结论 判断函数在给定区间上的单调性 1例 函数y=log11+在区间(0,+)上是 2x A增函数，且y0 B减函数，且y0 C增函数，且y0 D减函数，且y1， 则y=log1u0 1xx(1+x)21+x1，故y在(0,+)上是增函数 由解法一知y1时x2-10u(x)0，故c0；又当x0；当x(-1,1)时，u(x)0，又当x0，当x(-1,1)时，u(x)1时，x2-cx+1x2+cx+1,u(x)1,x=-1时u(x)最大值为3 1+c+1=3,c=1,a=-1.经验证：a=-1,b=1,c=1时，f(x)符合题设条1-c+1件，所以存在满足条件的a、b、c，即a=-1,b=1,

23、c=1. 说明：此题是综合性较强的存在性问题，对于拓宽思路，开阔视野很有指导意义 此题若用相等方法解决是十分繁杂的，甚至无技可施若用求导数的方法解决就迎刃而解 因此用导数法解决有关单调性和最值问题是很重要的数学方法切不可忘记 供水站建在何处使水管费最少 例 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？ 分析：根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合

24、理选择这些条件间的联系方式，适当选定变元，构造相应的函数关系，通过求导的方法或其他方法求出函数的最小值，可确定点C的位臵 解：解法一：根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位臵，才能使总运费最省，设C点距D点x km，则 QBD=40,AC=50-x,BC=BD2+CD2=x2+402又设总的水管费用为y元，依题意有 y=3a(50-x)+5ax2+402(0x50). y=-3a+5axx+4022令y=0，解得x=30. 在上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义， 函数在x=30处取得最小值，此时AC=50-x=20 供水站建在A、D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省 解法二：设B

25、CD=q，则BC=AC=50-40cotq 设总的水管费用为f(q)，依题意，有 40p,CD=40cotq,(0q). sinq2405-3cosq =150a+40asinqsinq(5-3cosq)sinq-(5-3cosq)(sinq)f(q)=40a 2sinq3-5cosq =40a 2sinq3令f(q)=0，得cosq= 53根据问题的实际意义，当cosq=时，函数取得最小值，此时543，即供水站建在A、D之sinq=,cotq=,AC=50-40cotq=2054f(q)=3a(50-40cotq)+5a间距甲厂20km处，可使水管费用最省 说明：解决实际应用问题关键在于建立

26、数学模型和目标函数把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题，再划归为常规问题，选择合适的数学方法求解对于这类问题，学生往往忽视了数学语言和普通语言的理解与转换，从而造成了解决应用问题的最大思维障碍 运算不过关，得不到正确的答案，对数学思想方法不理解或理解不透彻，则找不到正确的解题思路，在此正需要我们依据问题本身提供的信息，利用所谓的动态思维，去寻求有利于问题解决的变换途径和方法，并从中进行一番选择 利用导数求函数的最值 例 求下列函数的最值： 1f(x)=3x-x3,(-3x3)； 2f(x)=sin2x-x,(-x)； 22a2b2,(

27、0x0,b0) 3f(x)=+x1-xpp 4f(x)=x+1-x2 分析：函数f(x)在给定区间上连续可导，必有最大值和最小值，因此，在求闭区间a,b上函数的最值时，只需求出函数f(x)在开区间(a,b)内的极值，然后与端点处函数值进行比较即可 解：1f(x)=3-3x2，令f(x)=0，得x=1， f(1)=2,f(-1)=-2又f(-3)=0,f(3)=-18. f(x)max=2,f(x)min=-18. 2f(x)=2cos2x-1，令f(x)=0，得x=， 6pp3pp3p-,f-=-+， f=626626pppp又f=-,f-= 2222f(x)max=,f(x)min=-. 2

28、2a2b2b2x2-a2(1-x)2=3f(x)=-2+ x(1-x)2x2(1-x)2pp令f(x)=0，即b2x2-a2(1-x)2=0，解得x=当0xa. a+baa时，f(x)0，当x0 a+ba+ba函数f(x)在点x=处取得极小值，也是最小值为 a+ba22f=(a+b).即f(x)min=(a+b) a+b4函数定义域为-1x1，当x(-1,1)时， f(x)=1-x1-x2. 22=2， ，f22令f(x)=0，解得x=又f(-1)=-1,f(1)=1，f(x)max=2,f(x)min=-1. 说明：对于闭区间a,b上的连续函数，如果在相应开区间(a,b)内可导，求a,b上最

29、值可简化过程，即直接将极值点与端点的函数值比较，即可判定最大的函数值，就是最大值解决这类问题，运算欠准确是普遍存在的一个突出问题，反映出运算能力上的差距运算的准确要依靠运算方法的合理与简捷，需要有效的检验手段，只有全方位的“综合治理”才能在坚实的基础上形成运算能力，解决运算不准确的弊病 求两变量乘积的最大值 例 已知x、y为正实数，且满足关系式x2-2x+4y2=0，求xy的最大值 分析：题中有两个变量x和y，首先应选择一个主要变量，将x、y表示为某一变量的函数关系，实现问题的转化，同时根据题设条件确定变量的取值范围，再利用导数求函数的最大值 解：解法一：4y2=2x-x2,Qy0,y=xy=x2x-x2 x0由解得0x2 22x-x012x-x2， 212设f(x)=xy=x2x-x2(0x2). 当0x2时，f(x)=2x-x2+21x(1-x) 22x-x12 =32x(3-2x)22x-x2 令f(x)=0，得x=或x=0 33333f，又f(2)=0，函数f(x)的最大值为 =288