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1、电动力学静电场答案电动力学习题 西北工业大学理学院应用物理系 编号： 班级： 学号： 姓名： 成绩： 第1章 静电场 1. 证明均匀介质内部的极化电荷体密度rp，总等于自由电荷体密度rf的 倍。 eD=rf rP=-P=-(cee0E)=-(e-e0)E rP=-(e-e0e)D=-(1-0)rfee 1 电动力学习题 西北工业大学理学院应用物理系 2. 有一内外半径分别为r1和r2的空心介质球，介质的介电常数为e，使介质内均匀带静止自由电荷rf，求 空间各点的电场； 极化体电荷和极化面电荷分布。 解 1） 由电荷分布的对称性可知：电场分布也是对称的。电场方向沿径向 故：rr1时 rf4prE
2、(r)=VdV=0 或 E(r)=0 e02r1rr2的球形外： 4pr2E(r)=e0r1r21rf4pr2dr=4pr(r22-r12) 3e0E(r)=式中 r(r22-r12) 23e0re=e0er 写在一起 0rrE=f1-(1)3rr3e0r(r2-r2)r3er3210(rr1)(r1rr2) 2 电动力学习题 西北工业大学理学院应用物理系 2） P=D-eE=(e-e0)rfr1-(1)3r 3e0rrp=-P=-内表面： e-e0rf esp=-n(p2-p1)r=r=-n(e0-e)E-0r=r11rfr1r=1-(1)3=0 3e0r1外表面： sp=-n(p2-p1)
3、r=r=-n0-(e-e0)Er=r22(e-e0)rr12=(1-2)r2 3e0r23 电动力学习题 西北工业大学理学院应用物理系 3. 证明：当两种绝缘介质的分界面上不带面自由电荷时，电场线的偏折 满足： tanq2e2= tanq1e1式中e1和e2分别为两介质的介电常数，q1和q2分别为界面两侧电场线与法线的夹角。 证明：绝缘介质分界面上自由电荷密度sf=0，故边值关系为： E2t=E1t,D2n=D1n 若两种介质都是线性均匀的，即D1=e1E1，D2=e2E2 ； 上边两式为:E2sinq2=E1sinq1，e2E2cosq2=e1E1cosq1 于是得： 4 tanq2e2=
4、tanq1e1电动力学习题 西北工业大学理学院应用物理系 4. 试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静电情况下，导体外的电场线总是垂直于导体表面。 证明：设介质1为导体，介质2为绝缘体。 静电情况下：E1=0,D1=0 1 导体 由边值关系：n(E2-E1)=0,n(D2-D1)=sf 可得：E2t=E1t,D2n-D1n=sf 即，E2t=0，D2n=sf 对于各向同性线性介质D=eE 所以，E=sfen 即导体外的电场线垂直于导体表面 5 2 绝缘体 电动力学习题 西北工业大学理学院应用物理系 5. 如图1，有一厚度为2a，电荷密度为r0的均匀带电无限大平板，试用分离变量法求空
5、间电势的分布。 解：以O原点建立如图坐标系，为根据问题的对称性， 电势分布仅与x有关，即一维问题。容易写出定解问题： O x d2jidx2=-1er0(xa)x=a时 j jijei=je x=xx=0时 ji(x)=0 直接求解得 jr0i=-2ex2 0jr0e=-2ea(2x-a) 06 2a 图1 电动力学习题 西北工业大学理学院应用物理系 6. 内半径a，外半径为b的两个同心导体球壳，令内球接地，外球带电量Q，试用分离变量法求空间电势分布。 解.根据球对称性，空间电势分布j仅与r有关，定结问题为： 2j1=02j2=0(arb)j1r=a=0 r=b时 j1=j2 (e0j1j-e
6、02)ds=Q rrj2r=0 求解得 j1=Q4pe0bQ4pe0r(1-a) ra) bj1=(1-7 电动力学习题 西北工业大学理学院应用物理系 7. 均匀外电场中E0，置入半径为R0的导体球。求以下两种情况的电势分布。 导体球上接有电池，使球保持电势为F0；导体球上带有总电荷Q。 解 建立球坐标系 极轴方向为均匀电场方向，可知电势分布具有轴对称性，即电势仅与r有关 1）j的定解问题为 j2j=0(rR0)jr=R=F0r=-E0rcosq+j00此时j0是导体球放入前，通过坐标原点的等势面的电势，用分离变量法解为 3(F0-j0)R0E0R0cosqj=j0-E0rcosq+ rr22
7、）j的定解问题为 2j=0jr=R0=F0(待定)jQds=-e0r=R0n类似解为 3E0R0cosq j=j0-E0rcosq+4pe0rr2Q 8 电动力学习题 西北工业大学理学院应用物理系 8. 介电常数为e的无限均匀介质中，挖一个半径为a的空球，球心处置一电矩为pf的自由偶极子，试求空间电势分布。 解 如图建立球坐标系，pf的方向为极轴ex方向, a e0 pf e z j的定解问题为 12j=-rie02je=0j=0err=a时，ji=je；e0(ra) jij=ee rr注意到泊松方程解的性质及电势分布具有轴对称性，ji可写为： ji=pfcosq4pe0r2+Anrn+Bnr
8、-(n+1)Pn(cosq) n=0第二项为极化电荷激发的势，该项在球心应为有限值，故Bn=0 解的电势分布 pfr(e-e0)pfrji=-4pe0r32pe0(2e+e0)a33pfrje=34p(2e+e)r09 (0ra)电动力学习题 西北工业大学理学院应用物理系 9半径为R的均匀介质球中心置一自由偶极子pf，球外充满另一种介质，求空间各点的电势和极化电荷分布。 解：求解与上题类似，只需e0e1,ee2, 得j1=pfr4pe1r3+34pe1(e1+2e2)R02(e1-e2)pfr(ra)q/r 23(ra时，r=-2e0=0， rra)0 r=3(ra)3qe/a0 16 电动力学习题 西北工业大学理学院应用物理系 15. 在一点电荷q的电场中，距离它为d的地方有一偶极子，其电矩p=ql，求在下列两种情况下，此电矩所受的力F和力矩L： 偶极子的电矩p沿点电荷电场的方向; 偶极子的电矩p垂直于点电荷的电场。 解：把点电荷q激发的电场视为外场，E外=qr4pe0r3， 电偶极p在外电场E外中的势能为W=-pE外， 而F=-W,L=pE外，把p的取向代入一般表达式，得到 p/r时，F=-2qp,L=0， 34pe0rqpr时，F=-p1qp，L的方向由pE决定。 ,L=324pe0r4pe0r 17
