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1、电大高等数学考试小抄极限 limsinxx0x=1 基本积分公式 导数基本公式 (1) 0dx=c (c)=0 (2) xadx=1a+1xa+1+c (xa)=axa-1 (3)1xdx=ln|x|+c (lnx)=1x(4)axdx=axlna+c (ax)=axlna (5) exdx=ex+c (ex)=ex(6) sinxdx=-cosx+c (cosx)=-sinx (7) cosxdx=sinx+c (sinx)=cosx 133x=x21x=x-12xx=x212xx=x-111x=x-1 x=x-22 x3=x-3 cos0=1 cosp2=0 cosp=-1 lne=1 s
2、in0=0 sinp2=1 sinp=0 ln1=0 三、示例 limx2-3x+2x2x2-4=lim(x-2)(x-1)x2(x-2)(x+2)=limx-1 x2x+2=14三、示例 y=e-2x+xx，求dy，先求导数解：y=(e-2x+xx)=(e-2x)+(xx)令:-2x=u3=(eu)+(x2)1=euu+3x221=e-2x(-2x)+32x21=-2e-2x+322x1dy=(-2e-2x+322x)dx三、示例 y=ex+1+1x,求y解：y=(ex+1+1x)令x+1=u原式= 某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时可使用料最省？ 3
3、解：设圆柱体半径为R，高为h，则体积 V=pRh2S表面积V=2pRh+2pR=2+2pR2R2所以y2=2x上点B(1, 2)或B(1, -2)到到点A(2,0)的距离最短 示例四 令：S=-2VR-2V+4pR=0=R32pR=3V圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为L，问当底半2p径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？ h=34Vp答：当R=3V2p h=34Vp时表面积最小，即用料最省。 示例四 欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解：设底面边长为x，高为h。则： 62.5=x2hh=62.5x2 表面积为：S=x2+4xh=x2+250x 令
4、S=2x-250x2=0x3=125x=5 答：当底面边长为5米，高为2.5米时用料最省。 示例四 求曲线y2=2x上的点，使其到点A(2,0)的距离最短 解：设B(x,y)是y2=2x上的点，d为B到A点的距离，则： d=(x-2)2+y2=(x-2)2+2x 当d最小时，则d2也最小，所以下面求d2的最小值， 又设B(x,y)是y2=2x上的点，故有 d2=(x-2)2+y2=(x-2)2+2x 所以(d2)=(x-2)2+2x=(x2-2x+4)=2x-2 令(d2)=2x-2=0， 则x=1，又y2=2x，则y=2或-2， 设园柱体半径为R，高为h，则体积 L2=h2+R2,所以R2=L2-h2 V=pR2h=p(L2-h2)h=pL2h-ph3 令V=(pL2h-ph3)=pL2-3ph2=0 pL2=3ph2h2=L233h=3L R=23L当h=3L,R23=3L时其体积最大。4
