相似三角形难题集萃.docx

《相似三角形难题集萃.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《相似三角形难题集萃.docx（23页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、相似三角形难题集萃 一、相似三角形中的动点问题 1.如图，在RtABC中，ACB=90，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1AC动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动过点D作DHAB于H，过点E作EFAC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG设点D运动的时间为t秒 当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度； 当DEG与ACB相似时，求t的值 2.如图，在ABC中，ABC90，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动当其中有一

2、点到达终点时，它们都停止移动设移动的时间为t秒 当t=2.5s时，求CPQ的面积； 求CPQ的面积S关于时间t的函数解析式； 在P，Q移动的过程中，当CPQ为等腰三角形时，求出t的值 3.如图1，在RtABC中，ACB90，AC6，BC8，点D在边AB上运动，DE平分CDB交边BC于点E，EMBD，垂足为M，ENCD，垂足为N 当ADCD时，求证：DEAC； 探究：AD为何值时，BME与CNE相似？ 4.如图所示，在ABC中，BABC20cm，AC30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停

3、止运动设运动的时间为x 当x为何值时，PQBC？ APQ与CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由 5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动如果P、Q同时出发，用t表示移动的时间。 当t为何值时，QAP为等腰直角三角形？ 当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与ABC相似？ 二、构造相似辅助线双垂直模型 6.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2，1)，正比例函数y=kx的图象与线段OA的夹角是45，求这个正比例函数的表达式 7.在ABC中，AB=，AC=4，

4、BC=2，以AB为边在C点的异侧作ABD，使ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长 8.在ABC中，AC=BC，ACB=90，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点求证：MC：NC=AP：PB 9.如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为，将矩形沿对角线AC翻折B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E那么D点的坐标为 A. B.C. D. 10.已知，如图，直线y=2x2与坐标轴交于A、B两点以AB为短边在第一象限做一个矩形ABCD，使得矩形的两边之比为12。 求C、D两点的坐标。 三、构造相似辅助线A、X

5、字型 11.如图：ABC中，D是AB上一点，AD=AC，BC边上的中线AE交CD于F。 求证：12.四边形ABCD中，AC为AB、AD的比例中项，且AC平分DAB。 求证： 13.在梯形ABCD中，ABCD，ABb，CDa，E为AD边上的任意一点，EFAB，且EF交BC于点F，某同学在研究这一问题时，发现如下事实： (1)当时，EF=；(2)当时，EF=； (3)当时，EF=当时，参照上述研究结论，请你猜想用a、b和k表示EF的一般结论，并给出证明 14.已知：如图，在ABC中，M是AC的中点，E、F是BC上的两点，且BEEFFC。 求BN：NQ：QM 15.证明：重心定理：三角形顶点到重心的

6、距离等于该顶点对边上中线长的角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例 四、相似类定值问题 16.如图，在等边ABC中，M、N分别是边AB，AC的中点，D为MN上任意一点，BD、CD的延长线分别交AC、AB于点E、F 求证： 17.已知：如图，梯形ABCD中，AB/DC，对角线AC、BD交于O，过O作EF/AB分别交AD、BC于E、F。 求证： 18.如图，在ABC中，已知CD为边AB上的高，正方形EFGH的四个顶点分别在ABC上。 求证： 19.已知，在ABC中作内接菱形CDEF，设菱形的边长为a求证： 五、相似之共线线段的比例问题 20.如图1，点在平

7、行四边形ABCD的对角线BD21.已知：如图，ABC中，ABAC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CFAB，延长BP交AC于E，交CF于F求证：BPPEPF 2上，一直线过点P分别交BA，BC的延长线于点Q，S，交于点求证：如图2，图3，当点或的延长线上时，在平行四边形ABCD的对角线是否仍然成立？若成立，试给出证明；若不成立，试说明理由； 22.如图，已知ΔABC中，AD，BF分别为BC，AC边上的高，过D作AB的垂线交AB于E，交BF于G，交AC延长线于H。求证： DE2=EGEH 23.已知如图，P为平行四边形ABCD的对角线AC上一点，过P的直线与AD、BC、CD的延长线

8、、AB的延长线分别相交于点E、F、G、H. 求证： 24.已知，如图，锐角ABC中，ADBC于D，H为垂心；在AD上有一点P，且BPC为直角求证：PD2ADDH 。 六、相似之等积式类型综合 25.已知如图，CD是RtABC斜边AB上的高，E为BC的中点，ED的延长线交CA于F。 求证：26如图，在RtABC中，CD是斜边AB上的高，点M在CD上，DHBM且与AC的延长线交于点E. 求证：AEDCBM； 27.如图，ABC是直角三角形，ACB=90，CDAB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F. 求证：. 若G是BC的中点，连接GD，GD与EF垂直吗？并说明理由. 28.如

9、图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N求证： 29.如图，BD、CE分别是ABC的两边上的高，过D作DGBC于G，分别交CE及BA的延长线于F、H。 求证：DG2BGCG；BGCGGFGH 七、 相似基本模型应用 30.ABC和DEF是两个等腰直角三角形，A=D=90，DEF的顶点E位于边BC的中点上 如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：BEMCNE； 如图2，将DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论 32.如图，在

10、ABC中，ADBC于D，DEAB于E，DFAC于F。求证： 31.如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q 请写出图中各对相似三角形； 求BP：PQ：QR 答案：1.答案：解：ACB=90，AC=3，BC=4 AB=5 又AD=AB，AD=5t t=1，此时CE=3， DE=3+3-5=1 如图当点D在点E左侧，即：0t时，DE=3t+3-5t=3-2t 若DEG与ACB相似，有两种情况： DEGACB，此时， 即：，求得：t=； DEGBCA，此时， 即：，求得：t=； 如图，当点D在点E右侧，即：t时，DE=5t-(3t+3)=2

11、t-3若DEG与ACB相似，有两种情况： DEGACB，此时， 即：，求得：t=； DEGBCA，此时， 即：，求得：t= 综上，t的值为或或或 3.答案：解：证明：AD=CD A=ACD DE平分CDB交边BC于点E CDE=BDE CDB为CDB的一个外角 CDB=A+ACD=2ACD CDB=CDE+BDE=2CDE ACD=CDE DEAC NCE=MBE EMBD，ENCD， BMECNE，如图 NCE=MBE BD=CD 又NCE+ACD=MBE+A=90 ACD=A AD=CD AD=BD=AB 在RtABC中，ACB90，AC6，BC8 AB=10 AD=5 NCE=MEB E

12、MBD，ENCD， BMEENC，如图 NCE=MEB EMCD CDAB 在RtABC中，ACB90，AC6，BC8 AB=10 A=A，ADC=ACB ACDABC 综上：AD=5或时，BME与CNE相似 4.答案：解由题意：AP=4x，CQ=3x，AQ=30-3x，当PQBC时，即： 解得： 能，AP=cm或AP=20cm APQCBQ，则，即 解得：或 此时：AP=cm APQCQB，则，即 解得： 此时：AP=cm 故AP=cm或20cm时，APQ与CQB能相似 5.答案：解：设运动时间为t，则DQ=t，AQ=6-t，AP=2t，BP=12-2t 若QAP为等腰直角三角形，则AQ=A

13、P，即：6-t=2t，t=2 t=2时，QAP为等腰直角三角形 B=QAP=90 当QAPABC时，即：， 解得：； 当PAQABC时，即：， 解得： 当或时，以点Q、A、P为顶点的三角形与ABC相似 6.答案：解：分两种情况 第一种情况，图象经过第一、三象限 过点A作ABOA，交待求直线于点B，过点A作平行于y轴的直线交x轴于点C，过点B作BDAC 则由上可知：90 由双垂直模型知：OCAADB A，45 OC2，AC1，AOAB ADOC2，BDAC1 D点坐标为 B点坐标为 此时正比例函数表达式为：y3x 第二种情况，图象经过第二、四象限 过点A作ABOA，交待求直线于点B，过点A作平行

14、于x轴的直线交y轴于点C，过点B作BDAC 则由上可知：90 由双垂直模型知：OCAADB A，45 OC1，AC2，AOAB ADOC1，BDAC2 D点坐标为 B点坐标为 此时正比例函数表达式为：yx 7.答案：解：情形一： 情形二： 情形三： 8.答案：证明：方法一：连接PC，过点P作PDAC于D，则PD/BC 根据折叠可知MNCP 2+PCN=90，PCN+CNM=90 2=CNM CDP=NCM=90 PDCMCN MC：CN=PD：DC PD=DA MC：CN=DA：DC PD/BC DA：DC=PA：PB MC：CN=PA：PB 方法二：如图， 过M作MDAB于D，过N作NEAB

15、于E 由双垂直模型，可以推知PMDNPE，则， 根据等比性质可知，而MD=DA，NE=EB，PM=CM，PN=CN，MC：CN=PA：PB 9.答案：A 解题思路：如图过点D作AB的平行线交BC的延长线于点M，交x轴于点N，则M=DNA=90， 由于折叠，可以得到ABCADC， 又由B BC=DC=1，AB=AD=MN=3，CDA=B=90 1+2=90 DNA=90 3+2=90 1=3 DMCAND， 设CM=x，则DN=3x，AN=1x，DM 3x3 x ，则。答案为A 10.答案：解：过点C作x轴的平行线交y轴于G，过点D作y轴的平行线交x轴于F，交GC的延长线于E。 直线y=2x2与

16、坐标轴交于A、B两点 A，B OA=1，OB=2，AB= AB：BC=1:2 BC=AD=ABO+CBG=90，ABO+BAO=90 CBG=BAO 又CGB=BOA=90 OABGBC GB=2，GC=4 GO=4 C 同理可得ADFBAO，得 DF=2，AF=4OF=5D11.答案：证明：如图 延长AE到M使得EM=AE，连接CM BE=CE，AEB=MEC BEACEM CM=AB，1=B ABCM M=MAD，MCF=ADF MCFADF CM=AB，AD=AC 过D作DGBC交AE于G 则ABEADG，CEFDGF ， AD=AC，BE=CE 12.答案：证明：过点D作DFAB交AC

17、的延长线于点F，则2=3 AC平分DAB 1=2 1=3 AD=DF DEF=BEA，2=3 BEADEF AD=DF AC为AB、AD的比例中项 即又1=2 ACDABC 13.答案：解：证明：过点E作PQBC分别交BA延长线和DC于点P和点Q ABCD，PQBC 四边形PQCB和四边形EQCF是平行四边形 PBEFCQ，又ABb，CDa APPB-ABEF-b，DQDC-QCa-EF 14.答案：解：连接MF M是AC的中点，EFFC MFAE且MFAEBENBFMBN：BMBE：BFNE：MFBEEFBN：BMNE：MF1:2BN：NM1:1设NEx，则MF2x，AE4xAN3xMFAE

18、NAQMFQNQ：QMAN：MF3:2BN：NM1:1，NQ：QM3:2BN：NQ：QM5:3:2 15.答案：证明： 如图1，AD、BE为ABC的中线，且AD、BE交于点O 过点C作CFBE，交AD的延长线于点F CFBE且E为AC中点 AEOACF，OBDFCD，AC2AE EAOCAF AEOACF D为BC的中点，ODBFDC BODCFD BOCF 同理，可证另外两条中线 三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的如图2，AD为ABC的角平分线 过点C作AB的平行线CE交AD的延长线于E 则BAD=E AD为ABC的角平分线 BAD=CAD E=CAD ACCE CEAB BAD

19、CED 16.答案：证明：如图，作DPAB，DQAC 则四边形MDPB和四边形NDQC均为平行四边形且DPQ是等边三角形 BP+CQMN，DPDQPQ M、N分别是边AB，AC的中点 MNBCPQ DPAB，DQAC CDPCFB，BDQBEC ， DPDQPQBCAB AB 17.答案：证明：EF/AB，AB/DC EF/DC AOEACD，DOEDBA ，18.答案：证明：EFCD，EHAB ， AFEADC，CEHCAB ， EFEH 19.答案：证明：EFAC，DEBC ，BFEBCA，AEDABC ， EFDEa 20.答案：证明：在平行四边形ABCD中，ADBC， DRP=S，RD

20、B=DBS DRPBSP 同理由ABCD可证PTDPQB 证明：成立，理由如下： 在平行四边形ABCD中，ADBC， PRD=S，RDP=DBS DRPBSP 同理由ABCD可证PTDPQB 21.答案：证明:ABAC，AD是中线， ADBC,BP=CP 1=2 又ABC=ACB 3=4 CFAB 3=F,4=F 又EPC=CPF EPCCPF BP2PEPF即证所求 22.答案：证明：DEAB 90 90 ADEDBE DE2= BFAC 90 90且 BEGHEA DE2=EG•EH 23.答案：证明：四边形ABCD为平行四边形 ABCD，ADBC 1=2，G=H，5=6 PAH

21、PCG 又3=4 APECPF 24.答案：证明：如图，连接BH交AC于点E， H为垂心 BEAC EBC+BCA=90 ADBC于D DAC+BCA=90 EBC=DAC 又BDH=ADC=90 BDHADC ，即BPC为直角，ADBCPD2BDDCPD2ADDH 25.答案：证明：CD是RtABC斜边AB上的高，E为BC的中点 CE=EB=DE B=BDE=FDA B+CAB=90，ACD+CAB=90 B=ACD FDA=ACD F=F FDAFCD ADC=CDB=90，B=ACD ACDCBD 即26.答案：证明：ACBADC90 AACD90 BCMACD90 ABCM 同理可得：

22、MDHMBD CMBCDBMBD90MBD ADEADCMDH90MDH ADECMB AEDCBM 由上问可知：，即故只需证明即可 AA，ACDABC ACDABC ，即 27.答案：将结论写成比例的形式，可以考虑证明FDBFCD RtACD中，E是AC的中点 DE=AE A=ADE ADE=FDB A=FDB 而A+ACD=90 FCD+ACD=90 A=FCD FCD=FDB 而F=F FBDFDC 判断：GD与EF垂直RtCDB中，G是BC的中点，GDGBGDB=GBD而GBD+FCD=90又FCD=FDBGDB+FDB=90GDEF 28.答案：证明：由四边形ABCD、DEFG都是正

23、方形可知，ADC=GDE=90，则CDG=ADE=ADG+90 在和中 则DAM=DCN 又ANM=CND ANMCND 则29.答案：证明：找模型。 BCD、BDG，CDG构成母子型相似。BDGDCG DG2BGCG 分析：将等积式转化为比例式。 BGCGGFGH GFC=EFH，而EFH+H=90，GFC+FCG=90 H=FCG 而HGB=CGF=90 HBGCFG BGCGGFGH 30.答案：证明：MEBNEC18045135MEBEMBNECEMB又B=CBEMCNECOEEON证明：OEN=C45，COEEONCOEEON 31. 答案：解：BCPBER，CQPDQR， ABPCQP，DQRABP ACDE BCPBER 四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形 AD=BC，AD=CE BC=CE，即点C为BE的中点 又ACDE CQPDQR 点R为DE的中点 DR=RE 综上：BP：PQ：QR3：1：2 32.答案：证明：ADBC，DEAB ADBAED ADAEAB 同理可证：ADAFAC AEABAFAC