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1、直线和圆的方程典型例题详细解析直线与圆 一、选择题: 1.若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x-4y=0的圆心,则a的值为 -1 (B) 1 (C) 3 (D) -3 . 2.设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点，则两圆心的距离C1C2= (A)4 (B)42 (C)8 (D)82 C 设和两坐标轴相切圆的方程为：(x-m)2+(y-m)2=m2，将(4,1)2m-10m+17=0，C1C2=带入方程整理得：2(10)-417=8. 2二、填空题： 3.若直线与直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直，则实数m=_ 1 ：k1=122,k2=-22m,Q直线互相垂直,k
2、1k2=-1，即12(-2m)=-1,m=1 4已知圆C:x+y=12,直线l:4x+3y=25. 圆C的圆心到直线l的距离为 (2) 圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为 答案：5，16 - 1 - 6.已知圆C经过A(5，1)，B(1，3)两点，圆心在x轴上则C的方程为_. 答案： (x-2)+y=10 22解析：直线AB的斜率是kAB=3-11-5=-12，中点坐标是(3,2).故直线AB的中垂线方程y-2=2(x-3),22y-2=2(x-3)，由得圆心坐标C，r=|AC|=3+1=y=0,10,故圆的方程为(x-2)+y=10。 2210过原点的直线与圆x+y-2x-4y+4
3、=0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为 2x-y=0 12. 设直线l1:y=k1x+1，l2:y=k2x-1，其中实数k1k2满足k1k2+2=0， 证明l1与l2相交； 22 - 2 - 证明l1与l2的交点在椭圆2x2+y2=1上. ：本题考察直线与直线的位置关系，线线相交的判断与证明，点在线上的判断与证明，椭圆方程等基本知识，考察反证法的证明思路、推理论证能力和运算求解能力。 ：假设l1与l2不相交，则l1与l2必平行，k1=k2 代入k1k2+2=0得 k1+2=0，与k1是实数相矛盾。从而k1k2，即l1与l2相交。 2y=k1x+1由得交点p的坐标为 y=k2x-12x=k2-
4、k1, y=k2+k1k2-k1而2x+y=2(222k2-k1)+(2k2+k1k2-k1)=28+(k2+k1)(k2-k1)22=8+k1+k2+2k1k2k+k-2k1k2212222=k1+k2+4k+k+4212222=1 所以l1与l2的交点p的在椭圆2x2+y2=1上 y=k1x+1l1与l2的交点p的满足：，Qx0，从而 y=kx-12y-1k=1y-1y+1x+2=0，整理得 kk+2=0，代入得12xxk=y+12x2x+y=1 22所以l1与l2的交点p的在椭圆2x+y=1上 ：两直线l1:y=k1x+b1，l2:y=k2x+b2的位置关系判定方法： l1/l2k1=k
5、2,且b1b2 l1与l2相交k1k2 l1与l2重合k1=k2,且b1=b2 - 3 - 22证明两数不等可采用反证法的思路。 点在线上的判断与证明只要将点的坐标代入曲线方程判断其是否成立即可，或求出交点的轨迹方程并判断与所给的曲线方程是否一致即可。本题属于中档题。 13. 如图，直线l ：y=x+b与抛物线C ：x2=4y相切于点A。 求实数b的值； 求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程. y=x+b由2得x2-4x-4b=0 (*) x=4y因为直线l与抛物线C相切,所以D=(-4)2-4(-4b)=0,解得b=-1. 由可知b=-1,故方程(*)即为x2-4x+4=0,解得
6、x=2,将其代入x2=4y,得y=1,故点A(2,1). 因为圆A与抛物线C的准线相切,所以圆心A到抛物线C的准线y=-1的距离等于圆A的半径r, 即r=|1-(-1)|=2,所以圆A的方程为(x-2)2+(y-1)2=4. 本题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想. 14. 在平面直角坐标系中，曲线y=x-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上， 求圆C的方程； 如果圆C与直线x-y+a=0交于A,B两点，且OAOB，求a的值。 分析：用待定系数求圆的方程；由根与系数的关系和向量垂直求字母的值。 2解：曲线y=x-6x+1,与y轴交点为(0,1),
7、与x轴交点为(3+22,0),(3-22,0) 22222因而圆心坐标为C(3,t),则有3+(t-1)=(22)+tt=1 半径为3+(t-1)=3，所以圆方程是(x-3)+(y-1)=9 2222 - 4 - x-y+a=0设点A(x1,y1),B(x2,y2)满足 22(x-3)+(y-1)=9解得：2x2+(2a-8)x+a2-2a+1=0 2D=56-16a-4a0 x1,2=(8-2a)56-16a-4a422x1+x2=4-a,x1x2=a-2a+12QOAOB,x1x2+y1y2=0,y1=x1+a,y2=x2+a 2x1x2+a(x1+x2)+a=0,a=-1 2点评：本题考查曲线的交点、直线与圆的方程、直线与圆以及向量的垂直关系的综合应用，要对每一点熟练把握。 - 5 -
