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1、直线和平面垂直的性质定理直线和平面垂直的性质定理 李忠志 三维目标： 知识与技能 1、 掌握直线与平面垂直的性质。 2、 能运用性质定理解决一些简单问题。 3、 了解垂直的判定定理与性质定理间的相互联系。 过程与方法 培养学生的直观能力，让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识，通过探索发现线面垂直的性质定理，培养学生的空间想象能力、发散思维和类比的能力。 情感、态度与价值观 通过实物模型或学生自己制作模型进行操作演示，让学生参与到教学活动中来，激发学生的学习欲望和探究精神。 教学重点 直线与平面垂直的性质。 教学难点 性质定理的探求及证明中反证法的学习和掌握。
2、教学过程 一、问题引入： 问1：垂直于同一条直线的两条直线是否平行？为什么？ 问2：平行于同一条直线的两条直线是否平行？为什么？ 问3：平行于同一平面的两条直线是否平行？为什么？ 问4：垂直于同一平面的两条直线是否平行？为什么？ 问5：若aa，ba，则ab吗？ 问6：若ab，aa，则ba吗？ 问7：问5的逆命题成立吗？即 aa，ba，则ab吗？ 二、推进新课： 直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平行。 已知：如图，aa,ba 求证：a/b 证明：假定b不平行于a，则b与a相交或异面； 若a与b相交，设aIb=A， aa,ba 过点A有两条直线与平面a垂直，
3、此与“过一点有且只有一条直线垂直于已知平面”矛盾， a与b不相交； 若a与b异面，设bIa=O，过O作b/a， aa ba 又ba且bIb=O， 过点O有直线b和b垂直于a与过一点有且只有一条直线一已知平面垂直矛盾， b与a不异面，综上假设不成立， a/b 三、讲解范例： 例1 已知直线l平面a，垂足为A，直线APl，求证：AP在平面a内 证明：设AP与l确定的平面为b， b如果AP不在a内，则可设aIb=AM， la，lAM，又APl， 于是在平面b内过点A有两条直线垂直于l， alAPM这与过一点有且只有一条直线一已知平面垂直矛盾， 所以AP一定在平面a内 例2 已知一条直线l和一个平面a
4、平行，求证直线l上各点到平面a的距离相等 证明：过直线l上任意两点A、B分别引平面a的垂线AA,BB,垂足分别为A,B AAa,BBa AA/BB 设经过直线AA,BB的平面为b，bIa=AB BBl/a l/AB 四边形AA为平行四边形 AA=BB 由A、B是直线l上任意的两点，可知直线l上各点到这个平面距离相等 问8：如何定义点到平面的距离？直线和平面的距离？ 点到平面的距离的定义：从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离 直线和平面的距离的定义：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离 例3已知：a，b是两条异面
5、直线，aa，bb，ab=l，AB是a，b公垂线，交a于A，交b于B 求证：ABl 证明方法一： 过A作bb，则a，b可确定一平面 AB是异面垂线的公垂线， 即ABa，ABb AB b AB a，b，ab=l la，lb lb l ABl 证明方法二： AB是异面直线a，b的公垂线，过AB与a作平面，a=m aa am 又aAB，AB m a l B n b g A mAB 又过AB作平面g，g=n 同理：nAB mn，于是有m 又ab=l ml ABl 例4在棱长为a正方体ABCD-A1B1C1D1中，求点A到下列平面的距离： 平面A1B1C1D1 平面A1BCD1 平面A1BD平面B1CD1 结论与规律：若aa，则a上各点到a的距离等于a到a的距离。 1、与空间四边形四顶点距离相等的平面有 个。 与正方体八顶点距离相等的平面有 个。 四、课堂小结： 1、归纳一下本节学习了什么性质定理，其内容个是什么？ 2、类比两个性质定理，你发现他们之间有何联系？ 五、布置作业： 教材习题2.3A组5，教材习题2.3B组3. 六、课后反思： 本节课主要是让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识，通过探索发现线面垂直的性质定理，学生主动性很强和老师配合的也很好，能积极的思考老师提出的教学任务。
