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1、矩阵的概念和运算1。4 矩阵的概念和运算 教学要求 : (1) 掌握矩阵的加减、数与矩阵相乘的运算。 (2) 会矩阵相乘运算掌握其算法规则 ( 以便演示算法规则及行列间的对应关系 教学内容： 前面介绍了利用行列式求解线性方程组，即Cramer法则。但是Cramer法则有它的局限性：1. D0 2. 所解的线性方程组存在系数行列式同学们接下来要学习的还是关于解线性方程组，即Cramer法则无法用上的用“矩阵”的方法解线性方程组。本节课主要学习矩阵的概念。 一矩阵的概念 x1-2x2+3x3=1-2x1+4x2-6x3=-2 x+x-x=11231它的系数行列式 D=-2-2413-6=0 -11
2、此时Cramer法则失效，我们可换一种形式来表示： 1-231A=-24-6-2 11-11这正是“换汤不换药”， 以上线性方程组可用这张“数表”来表示，二者之间互相翻译。 这种数表一般用圆括号或中括号括起来，排成一个长方形阵式，孙子兵法中说道：长方形阵为矩阵。 1-23A=-24-6 11-1这也是矩阵，是由以上线性方程组的系数按照原来顺序排列而成，称为“系数矩阵” 而“A”多了一列常数列，称为以上方程组的“增广矩阵”。 注意：虽然D和A很相像，但是区别很大。D是行列式，实质上是一个数，而A是一张表格，“数是数，表是表，数不是表，表也不是数”，这是本质意义上不同。况且，行列式行数必须与列数相
3、同，矩阵则未必。 关于以上线性方程组我们后面将介绍。 更一般地，对于线性方程组： 1 a11x1+a12x2+L+a1nxn=b1ax+ax+L+ax=b2112222nn2LLLLLLLLLLLLam1x1+am2x2+L+amnxn=bm a11a12a21a22他的系数矩阵：am1am2a1na2namnb1b2bmmn称为m行n列的矩阵，简称mn矩阵，有时标记在右下角。 1）当mn时，称mn矩阵为长方阵； 2）当m=n时，称矩阵为n阶方阵，简称方阵； 3）当m=1时只有一行，即称之为行矩阵； a11a214）当n=1时矩阵只有一列，即称之为列矩阵； Mam1另外，行列式a11a12是由
4、以上mn矩阵1，2两行和1，2两列上交点的四个元素组成的a21a22一个2阶行列式，称为该矩阵的二阶子式。 二特殊矩阵 a110L0a12La1na22La2n LLLa0nna11a21Lan10a22Lan20L0 LLLannL上三角矩阵、下三角矩阵统称为三角矩阵 a110L00a22L0 LLL0LannL000L0La2(n-1)LLLa0n10a1n0 L01001E=0000 所有元素全为零，记为Omn 1“单位阵”和“零矩阵”类似于数当中的1和0 。 2 三矩阵相等 例如，矩阵 同型：两矩阵行数、列数对应相等对应元素相等a11a12a13109A=aaa,B=-31-3, 21
5、2223若A = B ，则 a11=1, a12=0, a13=9, a21=-3, a22=1, a23=-3 四矩阵的四则运算 过去我们学习的数、式子、极限、导数有四则运算法则，今后将学习的概率中的事件也有加法和乘法的运算，即事件的并和事件的交。今天，数表矩阵也有加减乘除的四则运算法则。 1加法 A+B=(aij-bij) 即对应位置上的元素进行加减运算 例1 设矩阵 A=-2解： 30-4-234，求A+B，A-B. ,B=5-10-2130-4-234130A+B=-25-1+0-31=-220, 30-4-2345-3-8A-B=-25-1-0-31=-28-2. 12注意：c=与A
6、，B则不能进行加法运算，可见，只有同型矩阵才能进行加减法运算。 34运算规则： 加法交换律 A + B = B + A； 加法结合律 +C = A+； 2数乘 一个数乘矩阵是这个数乘矩阵所有的元素，这点与行列式根本不同. 1-21-2，求2例2 设两上32矩阵A，B为A=20,B=35A-4B 13-1-2解： 先做矩阵的数乘运算3A和2B，然后求矩阵3A和2B的差 3 515(-2)5-10因为 5A=5250=1005153515, 414(-2)4B=4342=4-81284(-1)4(-2), -4-85-24-8所以 5A-4B=100-128=16-2-8 515-4-8923运算
7、规则： 1分配率：数对矩阵的分配律k(A+B)=kA+kB，矩阵对数的分配律(k+l)A=kA+lA 2结合率：数与矩阵的结合律(kl)A=k(lA)= l(kA) 矩阵乘矩阵 矩阵与矩阵相乘，两张表格拿来乘，不是简单的对应元素相乘，另有其规则。 例3 A=121234 B=5634 2232解： 矩阵乘矩阵，即左矩阵的行乘右矩阵的列 AB=123412 5634得到的新矩阵的第i行第j列元素是原来11+2312+2左矩阵的第i行元素与右矩阵第j列元素 =431+4332+44乘积之和。 51+6352+64 =7101522 233432例4 A=32-11 30-35 B=-5023 0
8、632 4 1 332-1解： AB=-50 0-35230 632-73 = 1530221 332-1 BA=-500-35 230 632-7143 =-15-105 0-183033可见 ：1）矩阵乘法未必满足交换率 2）新矩阵与原矩阵关系型状上的规律性：新矩阵的行数与列数即为：原左矩阵的行数和原右矩阵的列数。 3）而原左矩阵的列数必须与右矩阵的行数相等，才能进行乘法。 例5 设矩阵 242-2A=12,B-11 求AB和BA 解： AB=242-222+4(-1)2(-2)+41) =12-1112+2(-1)1(-2)+21) =000 0例5中矩阵A和B都是非零矩阵，但是矩阵A和
9、B的乘积矩阵AB却是一个零矩阵。这在数与代数式的运算中是没有的。 矩阵的行列式 矩阵A的行列式称为矩阵的行列式，记为 detA 或 A 。 1212例如 A= 则 A=3434特殊的，对于方阵乘积的行列式有如下非常类似于一般代数运算的运算律： 5 若A与B均为n阶方阵，则两个方阵乘积的行列式等于每个方阵行列式的乘积。 即 det(AB)=detAdetB=det(BA) 例如 15-20det4334=det15-20det4334 =-5(-8)=40 若两个矩阵A和B满足AB=BA，则称矩阵A和B是可交换的. 练习： -1404A=,B=1213. 因为 -140448AB=1213=21
10、0, 04-1448BA=1312=210 即AB=BA，所以，矩阵A和B是可交换的。 例6 设矩阵 -24210-64A=,B=,C=-3615-32. 求AB和AC. 解： AB=-2421000 =-361500 AC=-24-6400-32=00 -36在例6中，显然不能从AB=AC中消去矩阵A而得到B=C。这说明矩阵乘法不满足消去律. 一般地，当乘积矩阵AB=AC，且AO时，不能消去矩阵A而得到B=C。 总之，矩阵乘法不满足交换律、消去律，但矩阵乘法与数的乘法也有相似的地方，即矩阵乘6 法满足下列运算规则： 运算规则： 1、乘法结合律 C=A； 2、左乘分配律 A=AB+AC； 右乘
11、分配律 A=BA+CA； 3、数乘结合律 k=B=A，其中k是一个常数. 特别地，当A是n阶矩阵时，我们记 AAA=Am， m个 Am称为矩阵A的m次幂，其中m是正整数。当m=0时，规定A0=E。显然有 Ak Al =Ak+l，(Ak)l =Akl，(Ak)l=Akl其中k，l是任意正整数.由于矩阵乘法不满足交换律，因此，一般地 kAk Bk . 例7 设矩阵 A=1201, 求矩阵Am，其中m是正整数. 解： 因为，当m =2时， A2=12121220101=01 设m = k时，Ak=12k2112+2k12(0101=01=k+1)01, 则 Ak+1=AkA=12k1212+2k10
12、101=012(k+1)=01,所以，由归纳法原理可知Am=12m01.五矩阵的转置 将一个mn矩阵 7 a11aA=21Mam1a12a22Mam2a1na2n MMamn的行标和列标互换后所得的nm矩阵，称为A的转置矩阵，记作AT或At即 a11aTA=12Ma1na21am1a22am2.MMMa2namn141T123T=252=123例如： ，有时列向量用转置来表示： ()45633 6容易验证矩阵的转置满足下列运算规则： (1)T=A； (2)T=AT+BT； (3)T=kAT，； (4)T=BTAT. 1201-1544,C=例8 已知A=,B=6010355 ，求ABT+4C 212-150144解： ABT+4C= +4 601035 =t5 25 2-1514301245+46010=916220420+ 62418408=92042 102426如果矩阵A=(aij)满足： A = AT 即它的第i行第j列的元素与第j行第i列的元素相同，即aij=aji 则称A是对称矩阵。 8 显然，对称矩阵一定是方阵。. 显然，单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵都是对称矩阵的特例. 9
