第2次作业详解.docx

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1、第2次作业详解 第十四章 静电场中的导体和电介质 赵纯编 第十四章 静电场中的导体和电介质 1. 一带电的平行板电容器中，均匀充满电介质，若在其中挖去一个球形空腔，如图所示，则A、B两点的场强 AEAEB B. EAEB=0 答案：B se0erse0B R2 A R1 +Q 图14-2 A B 图14-1 球壳内，外部场强都为E=Q4pe0r2移去球壳对A、B电场强度大小无影响。 有球壳时，AU=EB=点电势为R1rEd+rEd rR2解：DA=DB=s，EA=无球壳时U=电势增大 rEdr显然，移去球壳A点EAEB 2点电荷+Q位于金属球壳的中心，球壳的内、外半径分别为R1,R2，所带净电

2、荷为0，设无穷远处电势为0，如果移去球壳，则下列说法正确的是： 如果移去球壳，B点电势增加 如果移去球壳，B点电场强度增加 如果移去球壳，A点电势增加 如果移去球壳，A点电场强度增加 答案： 1 3在一点电荷产生的静电场中，一块电介质如图放置，以点电荷所在处为球心做一球形闭合面，则对此球形闭合面 高斯定理成立，且可用它求出闭合面上各点的场强。 高斯定理成立，但不能用它求出闭合面上各点的场强。 由于电介质不对称分布，高斯定理不成立 即使电介质对称分布，高斯定理也不成立 第十四章 静电场中的导体和电介质 图14-3 q 当B板接地，B板感应电荷如图均匀分布 + A + + + + - 电介质B 答

3、案：B，高斯定理成立，但由于，高斯面上分布不对称，所以，无法求出场强。 4如图所示，把一块原来不带电的金属板B，移近一块已带有正电荷Q的金属板A，平行放置，设两板面积都是S，板间距离是d，忽略边缘效应，当B板不接地时，两板间电势差UAB= ；B板接地时AB电势差U=Ed，由电势叠加原理AB知E=se0=QSe0，所以U=ABQSe0d 5如图所示，将两个完全相同的平板电容器，串联起来，在电源保持连接时，将一块介质板放进其中一个电容器C2的两极板之间，则电容器C1电场强度E1，和电容器C2电场强度E2，及电场能量W1，W2的变化情况： U= 。 AB+ A + + + + d 图14-4 B C

4、1 C2 e解：当B板不接地 + + + + + A + + + + + - B 图14-5 E1不变，E2增大，W1不变，W2增大 E1不变，E2减小，W1不变，W2减小， E1减小，E2增大，W1减小，W2增大 B板感应电荷如上图均匀分布 AB电势差UAB=Ed，由电势叠加原理知E=s2e0=Q2Se0 E1增大，E2减小，W1增大，W2减小 ，所以UAB=Q2Se0d 答案 2 第十四章 静电场中的导体和电介质 解：充介质前的C1，C2等效电容C0=充介质后的C=e0S2d，W体=R120e0E2内dV+12Re0E2外dV显C1，C2等效电容，所以电容增大。而总电然球体的静电能大于球面

5、的静电能。 二、计算题 1两块无限大平行带电平板，试证明：相向两面的电荷面密度总是大小相等，符号相反；相背两面的电荷面密度总是大小相等，符号相同；设左边导体板带静电荷+6mc/m2。求各板面上的电荷面密度。 er1+ere0Sd压不变，分配至C1，C2上的电压与电容成反比，又E=Ud，所以E1增大，E2减小。2C2充介质前W2=1q，充介质后22CW22erq1+e1r=22erC1q2C222所以W2减小，而证明：设两板带电后各面上的电荷面密度分别为：s1,s2,s3,s4，做底面为DS1的柱形高斯面S1，对其应用高斯定理有 S3 图14-6 =W1=，q增大，C不变，所以W1增大 6真空中

6、有一带电球体和一均匀带电球面，如果它们的半径和所带的总电量都相等，则 球体的静电能等于球面的静电能 球体的静电能大于球面的静电能 球体的静电能小于球面的静电能 不能确定 解：答案为 根据高斯定理，球面内的场强为0，而球体内的场强Er，球面外和球体外场强均为E=Q4pe0r2S1 E S2 E Ecosqdss1Ecosqds+Ecosqds+Ecosqds左底面右底面侧面=s2+s3e0DS1由于两底面在导体内，所以，两底上各点场强E处处为0 Ecosqds=Ecosqds左底面右底面=0 球面的静电能W面=球体的12Re0E2外dV 而S1侧面的法线方向与场强方向处处垂直，侧面上各点cosq

7、=0 为所以静电能Ec侧面qdso=0s， 3 第十四章 静电场中的导体和电介质 0=s2+s3e0DS1 s1=s4=7mC/m2s2=-s3=1mC/m2s2=-s3 2一半径为a的接地导体球外有一点电荷，它与球心的距离为b。试求导体球上的感应电荷q。 DS2同上，做底面为DS2的柱形高斯面S2，对S2应用高斯定理 Ecosqds=s2Ecosqds+左底面Ecosqds+右底面Ecosqds侧面q a b q =s1+s2+s3+s4e0侧面同理：Ecosqds=0 E左DS2+E右DS2=图14-7 解：点电荷q在球心处产生的电位为 s1+s2+s3+s4e0UDS20=q4pe0b球

8、面上感应电荷元dq=sdS在球心处产QE左=E右=EE=s1+s42e0生的电位为dU02=sdS4pe0a，则感应电荷q在球心处的电位 再做一柱形高斯面S3，S3的左底DS3上场强为E，右底在导体内的场强处处为0，所以EDS3=U02=qdU02=ssdS4pe0a=14pe0sdSass1e0DS3 E=s1e04pe0a球心处等所以有于零的+q4pe0a电位是=0 s1+s42e0=s1e0s1=s4 U01+U02=q4pe0b按题意 s1+s2=8s3+s4=6 从而求得球面上得感应电荷 q=-abq 4 利用上面结果s2=-s3,s1=s4得 第十四章 静电场中的导体和电介质 3点

9、电荷q=4.010-10C处在导体球壳的中心，壳内外半径分别为R1=2.0cm，R2=3.0cm，求导体球壳的电势离球心r=1.0cm处的电势；把点电荷移离球心1.0cm，再求导体球壳的电势 影响导体球壳外表面的电荷及球外电场分布。因为导体球壳是等势体，所以在其上任取两点电势差为零，即 ， DU=R2uurrE1gdr-R2uurrE2gdr=0而球壳上任意两点到无穷远经历的路径一样，所以球壳上任意两点的场强一样，所以 q R1 R2 图14-8 任意两点对应的面电荷密度相同，故此问电 势与第问相同，等于120V。 *解：(1)导体球壳的电势 3半径为R的导体球，带有电荷Q，球外有一均匀电介质

10、的同心球壳，球壳的内外半径分别为a，b，相对介电常数为er，如图U=R2urrEgdr=R29q4per-22dr-10所示，求： 介质内外的电场强度E和电位移D。 介质内的电极化强度P和介质表面上的极化电荷面密度s。 离球心O为r处的电势U。 如果在电介质外罩一半径为b的导体薄球壳，该球壳与导体壳构成一电容器，这电容器的电容多大？ q4peR29104103.010=120(V)离球心r处的电势 U=R2urrEgdrqdr+R1r4per2R2R1q+(-q)4per2drR a b 图14-8 *+=R2q+q+(-q)4per(1r92dr)解：由高斯定理和静电平衡条件： rveEdS

11、=sq4pe-1R1+1R2-10rvQDdS=或sQ Q4pe0rQ4pe0err22=910410(11.010-2当rR时，D1=0,E1=0 -12.010-2+13.010-2)当Rra时，D2=Q4prQ4pr22,E2=300(V)把点电荷移离球心1.0cm，此时并不5 当arb时，D4=Q4pr2,E4=Q4pe0r2 +Q4pe0(1b-0) 以上E，D方向均为径向，设Q为正，则背离球心。 介质内的极化强度 P=D-ee0(er-1)Q0E=e0(er-1)E3=4pe20err=11-Qer4pr2方向为径向，背离球心。 电介质内外表面上的极化电荷面密度为： s=-Pa=-

12、(1-1ae)Q2r4pas=Pb=(1-1be)Q2r4pb当rR时 UErdrr=Ra1=rrErdrr1+RErr2dr+baErr3dr+bErr4dr=0+Q(1114pe0R-a)+Q4pe(-10erab)+Q14pe(0b-0)=Q114pe-(1-)(1-1)0Reab r当Rra时 Urb2=rEdrr=arErdrr2+aErrr3d+bErr4dr =Q(114pe0r-a)+Q4pe0e(1-1rab)+=Q14pe-(1-1)(110re-) rab当arb Urrb3=rEdr=rErdrr3+bErdrr4=Q1Q14pe(10r-b)+4pe(-0)0erb=

13、Q1er-14pe0r+b 当rb时 U4=Errdrr=rErdrrQ4=4pe 0rC=QQV=U1-U b=QQ1111Q4pe-(1-)(-)-0Rebra4pe0b=4pe0 (111R-a)+e(1ra-1b)4半径为r1和r2互相绝缘的二个同心球壳，现把+q的电量给予内球时，问： 外球的电荷分布电势。 把外球接地后再重新绝缘，外球的电荷分布及电势 然后把内球接地，内球的电荷分布及外球的电势改变量。 解：外球的电荷：内表面电荷为-q，外表面电荷为+q，外球电势为 6 第十四章 静电场中的导体和电介质 U2=q4pe0r2时，圆柱体内的电场能量密度为： w=12eE=212e(l2p

14、er)=212e(Q/l2per) 2外球接地后，外球外表面电荷为0，内表面电荷为-q，外球电势为0 内球接地后，内球电势为0，设其上电荷变为e，外球内层电荷为-e，外层为e,则-e+e=-q 所以e=e-q 内球电势U=0 得e4pe0r1=q4pe0r2r1r2e4pe0r1+-e4pe0r2+e-q4pe0r2Q=22228perl在整个薄壳中能量 dw=wdV=Q22228perl2prldr =Q2drr4pel2电介质中总能量： W=Q4pelbdrra=Q24pellnba内球的电荷e=q 又W=e-q4pe0r21Q22CQ2，所以 此时，外球电势U外=外球电势的改变为 DU外

15、=U外-U2=1Q22Ce-q4pe0r2=4pellnba则C=2pellnba5两个同轴圆柱面，长度均为l，半径分别为a和b，两圆柱面之间充有介电常数为e的均匀介质，当这两个圆柱面带有等量异号电荷+Q和-Q时，求： 在半径为r，厚度为dr，长度为l的圆柱薄壳中任一处，电场能量密度是多少？整个薄壳中的能量是多少？ 电介质中的总能量是多少？，能否从此总能量推算圆柱形电容器的电容。 解：已知：a，b，l，e 当圆柱面上带有等量异号电荷+Q，-Q7 6在一半径为R、电量为q1的均匀带电圆环L1的几何轴上放一长为2L、电量为q2的均匀带电L2。细圆环中心O与直线近端的距离为a，试求此电荷系统的静电相互能。 L1 dq1 R O a r dq2 L2 x 图14-9 解：带电圆环在几何轴上的电位分布为： 第十四章 静电场中的导体和电介质 U1=q14pe0R+z22在带电直线上选择一坐标为z处的电荷元dq2与带电细圆环所组成的系dq2=h2dl2，统静电能为：dw=U1dq2 带电细圆环与带电直线组成的带电系统的静电相互能为： W=dW=U1dq2=L2L2q1dq24pe0R+z22dq2=h2dl2=q22Ldl2,z=a+l2,dz=dl2 所以 W=q1q28pe0Llna+2LdzR+z2222a=q1q28pe0La+2L+a+R+(a+2L)R+a22 8