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1、第4章作业解答电磁场与天线A作业题解答 第4章 恒定电场与恒定磁场 4.1、4.2、4.3、4.8、4.9、4.14 4.1 电导率为s的均匀、线性、各向同性的导体球，半径为R，其表面的电位分布为F0cosq。试确定表面上各点的电流密度。 解：由于导体球的外部是空气，所有在导体球的表面只有切向分量，即 1FsF01FJt=sEt=-stF=-seq+ej=esinq qRsinqjRRq 4.2 如题4.2图所示平板电容器。板间填充两种不同的导电媒质，其厚度分别为d1和d2，两平板的面积均为S。若在两极板上加上恒定的电压U0。试求板间的电位F、电场强度E、电流密度J以及各分界面上的自由电荷和电
2、容器的漏电导。 解：先解相同边界条件下的理想电容器(s1=s2=0)下列定解问题的解： ox2F1=0 和 2F2=0 以及 F1x=0=0F2x=d+d=V0F1x=d=F2x=d1211e1F1x=e2x=d1F2xx=d1由直接积分法可以得到电位的通解为 F1=Ax+B 和 F2=Cx+D由F1x=0=0和F2式为 x=d1+d2=V0可以确定出B=0及D=V0-C(d1+d2)，则上式电位的表达+d)2 F1=Ax 和 F2=Cx+V0-C(d1利用电位在介质分界面的边界条件，则确定出 e2V0e1V0 A=C=e2d1+e1d2e2d1+e1d2因此电位分布为 F1=e2V0e1V0
3、(e2-e)1dV1 0x 和 F2=x+e2d1+e1d2e2d1+eded2+1ed1212而对应的电场强度和电位移矢量为 e2e1E1=-exV0 和 E2=-exV0 e1d2+e2d1e1d2+e2d1以及 D1=-exe1e2e1e2V0 和 D2=-exV0 e1d2+e2d1e1d2+e2d11/ 4 电磁场与天线A作业题解答 根据静电比拟法EE电场的电位为 F1=(DJesFF)得到对平板电容器内恒定s2V0s1V0(s2-s)1dV1 0x 和 F2=x+s2d1+sdsd2+1sd12s2d1+s1d212s2s1V0 和 E2=-exV0 s1d2+s2d1s1d2+s
4、2d1电场强度为 E1=-ex电流密度矢量为 J1=-exs1s2s1s2V0 和 J2=-exV s1d2+s2d10s1d2+s2d1此时的电流称为电容器的漏电流，对应的电导称为电容器的漏电导G，有 s1s2SISJdSJS G=VEdlV0s1d2+s2d1C4.3 如题4.3图所示矩形导电片的电导率为s，试求导电片上的电位分布以及导电片中各处的电流密度。 解：根据题意，定解问题为 2F=0 =0以及 Fx=0=0 Fx=a=U0siny2bFy=0=0 Fn=0 y=b于是可以将通解直接选为 F(x,y)=(C1sinh|ky|x+C2cosh|ky|x)(D1sinkyy+D2cos
5、kyy) 由Fy=0=0得到D2=0，则 F(x,y)=(C1sinh|ky|x+C2cosh|ky|x)D1sinkyy 由Fy=0及D10得到coskyb=0，即ky=y=b(2n-1),n=1,2,2b。因此 F(x,y)=C1sinh由Fx=0(2n-1)x(2n-1)x(2n-1)y +C2coshDsin12b2b2b=0得到C2=0，于是 (2n-1)x(2n-1)ysin 2b2b(2n-1)x(2n-1)y通解为：F(x,y)=Cnsinh sin2b2bn=1F(x,y)=C1D1sinh再由Fy=U0sinx=ay可以得到 2by(2n-1)a(2n-1)y U0sin=
6、Cnsinhsin2bn=12b2b2/ 4 电磁场与天线A作业题解答 U0，而其余的系数均为零。因此，导电片上电位分布为 asinh2bU0xy F(x,y)=sinhsina2b2bsinh2b利用E=-F和J=sE可以计算出导电片上各处电流密度分布为 比较系数法可以得到C1=FFJ=sE=-sF=-sex+eyyxsU0xyxy =-excoshsin+eysinhcosa2b2b2b2b2b2bsinh2brr2A/m，试求导体4.8 半径为a=1cm的圆柱形导体内的磁场H=ej4.7710-22210-4中的总电流。 解： 柱形导体内有恒定电场和恒定磁场，由Maxwell方程的微分形
7、式 H=J+D=J+0 terezejrrdr 得 J=H=rHrjrHj zHzra1(rHj)=ezrr3r=ez4.7710-41- (A/m2)-2210题4.8 图 I=JdS=S0.0103r4.7710-41-2prdr=0 -22104.9 磁导率为m=4m0的磁介质与空气的分界面是无限大的xOy平面。已知空气一侧的B0与z轴的夹角q=30，试求磁介质一侧的B和H。 3/ 4 电磁场与天线A作业题解答 解：因为 tanqm0143 =， 所以 tanj=4tanq=tanjm43z30B0得 j=arctan4366.6 30.92cosj，0.4 m0mBjj所以有 sin由 B0n=Bn 即 B0cosq=Bcosj 得：B=cosq53B0=B0 cosj4题4.9 图 由 B=m0H 得 H=Bm=53B0 16m04.14已知某一电流分布的矢量磁位为 A=exx2y+eyy2x-ez4xyz 求该电流分布及其对应的B。 解：矢量磁位A满足的泊松方程 2A=-mJ，则电流分布为 12A2A2A1J=-=-2+2+2=-(ex2y+ey2x) mmxyzm2A由B=A可以求出磁感应强度为 AzAyAyAxAxAz2B=A=ex-+eyyx+ezyzzxxy =-ex4xz-ey4yz+ez(y2-x2) 4/ 4
