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1、第九章第二节第九章 第二节 正态总体均值和方差的假设检验 设总体XN(m,s), 2x,x,L,x为X的样本. 12nU检验法 一：单个正态总体均值的假设检验 1 已知方差s, 检验假设：H:m=m . 分析：由于x比较集中地反映了总体均值m的信息，所以检验函数可以从x着手考虑。 200x=1nixni=1N(m,s2n) 。 由于U=x-msnN(0,1)， 因此很自然地选用统计量：U0=x-m0sn作为检验函数， 1 在H为真的条件下， 0 且E(UU0=x-m0snN(0,1)x-m00)=0,因此，U0=sn应当在0的周围随机摆动，远离0的可能性较小，所以拒绝域可选在双边区域。 基于以
2、上分析，可得检验方法步骤如下： (1)先提出假设H:m=m; (2)选取检验用的统计量 00U=x-m0snN(0,1)； (3)确定检验水平(或显著性水平)和拒绝域, 给定检验水平a， 查N(0,1)表得z，这里z1-a21-a2为由N(0,1)表得到的1-a2分位点, a2F(z1-a2)=PUz=1-1-a , 2 2 于是有P|UPUz1-|z1-a2=1-a， , a2=1-P|U|z1-a2=1-(1-a)=a即得 P|x-m0sn|z1-a2=a， x-m0 这就是说事件|sn|z是一1-a2个小概率事件,从而拒绝域 -,-zD=1-a2z1-a2,; 12(4)根据样本的试验值
3、x,x算得U的值u0,L,xn， =x-m0sn, 比较判断下结论, 若u0z1-a2，则拒绝原假设H， 若u 3 01.96=za2， 故拒绝H， 4 说明该体院男生的脉搏与一般健康成年男子的脉搏存在差异。 由于 x-snz1-a2=68.6-6.4251.9666.1, , x+snz1-a2=68.6+6.4251.9671.1所以，该体院男生脉搏的95%的置信区间为(66.1 , 71.1)。 有的时候,我们还要检验总体的均值m是等于m还是小于m或是大于m, 即要在假设 H:m=m或H：mm中作出选择. 这里的H称为备选假设,而把H称为原假设. 0000010001010 5 2. 已
4、知方差s, 检验假设：H:m=m;H：mm , (事先算出样本观察值xm,才提这样检验问题) , 200100选取统计量U0=x-m0sn， 在H为真的条件下, U=x-m0snN(0,1) , ，选取z1-aF(z1-a对给定的)=1-a, -z1-aa，=za, 故 Psx-m0n-z1-aa)=F(z)=a, 这表明在H为真的条件下，=P(U-z1-a0x-m0sn-z1-a是一小概率事件， 由此可以得出如下判定方法： 6 计算U若u 0=x-m0sn的试验值u0=x-m0sn0； 1，则拒绝原假设H,接受H； 否则接受原假设H。 -z1-a0例2 已知某零件的质量XN(m,s),由经验
5、知m=10(g),s=0.05 .技术改新后,抽取8个样品,测得质量(单位:g)为 229.8,9.5,10.1,9.6,10.2,10.1,9.8,10.0, 若方差不变,问平均质量是否比10为小？(取a=0.05) 解 本例是一个左边检验问题, 检验假设：H:m=10;H：m-1.645=-zu=0x-10s/n=9.9-10, 1-a故接受假设H:m=10 . 3. 已知方差s, 检验假设：H:m=m;H：mm; (事先算出样本观察值xm,才提这样检验问题) , 0200100-选取统计量U-=x-m0s/0n，在H为真0的条件下, U=x-ms/anN(0,1), F(z1-a对给定的
6、)=1-a, 1-a-，选取z1-a，PUz=1-F(z1-a)=a , 故 Px-m0s/nz 1-a=PUz=1-F(z1-a1-a)=a, 这表明在H0为真的条件，8 -x-m0s/nz是一小概率事件，由1-a此可以得出如下判定方法： -计算U01-a=x-m0s/n的试验值u00=x-ms/n1； 若uz，则拒绝原假设H,接受H；否则接受原假设H。 例3 某厂生产的一种铜丝，它的主要质量指标是折断力大小。根据以往资料分析，可以认为折断力X服从正态分布，且数学期望EXm570，标准差是s8。今换了原材料新生产一批铜丝，并从中抽出10个样品，测得折断力为： 578 572 568 570
7、572 570 570 572 596 584 从性能上看，估计折断力的方差不会发生变化，问这批铜丝的折断力是否比以往生产的铜丝的折断力较大？ 解：假设H：m=570；H：m570 001 9 -(2)计算统计量算出x575.2 -x-570s/n的值， x-570s/n575.2-5708/10=2.055当a=0.05时，查标准正态分布表得临界值zz1.645。 1-a0.95-比较-x-570s/n与z的值的大小。1-a现在x-570s/n2.0551.645=z 1-a0故拒绝假设H即接受H.也就是说新生产的铜丝的折断力比以往生产的铜丝的折断力要大. 以上三种检验法由于都是使用U的分布，故又名U检验法. 1 10
