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1、第三章线性系统状态方程的解第三章 线性系统的运动分析 3-1线性连续定常齐次方程求解 一、齐次方程和状态转移矩阵的定义 、齐次方程 状态方程的齐次方程部分反映系统自由运动的状况，设系统的状态方程的齐次部分为：x&(t)=Ax(t) &=Ax 线性定常连续系统：x 、状态转移矩阵的定义 &=Ax有两种常见解法：齐次状态方程x幂级数法；拉氏变换法。其解为x(t)=eAt其中ex(0)。AtAt称为状态转移矩阵，记为： f(t)=e。若初始条件为x(t0)，则状态转移矩阵记为：F(t-t0)=eA(t-t) 0 对于线性时变系统，状态转移矩阵写为f(t,t0)，它是时刻t，t0的函数。但它一般不能写
2、成指数形式。 幂级数法 &=Ax的解是t的向量幂级数 设x2k x(t)=b0+b1t+b2t+LL+bkt+LL L，bk，L都是n维向量，则 式中b0，b1，b2，&(t)=b1+2b2t+3b3t2+LL+kbktk-1+LL x2k =A(b0+b1t+b2t+LL+bkt+LL) 故而有： b1=Ab01b=Ab1=221 b3=Ab2=3Mb=1AKbK0k!1213!Ab03Ab0 23-1 且有x(0)=b0。 故 x(t)=b0+b1t+b2t2+LL+bktk+LL =b0+Ab0t+ =(I+At+12!12!12!Ab0t+L+22221k!kkAb0tkk+L At+
3、L+1k!At+L)x(0) 定义：eAt=I+At+At+L+221k!At+L=kkK=01k!kkAt 则x(t)=eAtx(0)。 拉氏变换解法 &=Ax两端取拉氏变换，有 将x sx(s)-x(0)=Ax(s) (sI-A)x(s)=x(0) x(s)=(sI-A)-1x(0) 拉氏反变换，有 x(t)=L-1(sI-A)-1x(0) 则 f(t)=eAt=L-1(sI-A)-1 &= 已知系统的状态方程为x001x，初始条件为x(0)，试求状态转移矩阵0和状态方程的解。 解：求状态转移矩阵 f(t)=e此题中： 0 A=01023n， A=A=LL=A=000 0At=I+At+1
4、2!At+L+221k!Atkk+L 所以 3-2 f(t)=eAt=I+At= 状态方程的解 x(t)=e At1000+10t1=00t 11x(0)=0tx(0) 1&= 已知系统状态方程为x0-21x，初始条件为x(0)，试求状态方程的-3解。 解：x(t)=eAtx(0) s000-s-21s=-32-1 s+3 sI-A= (sI-A)-1s+3=(s+1)(s+2)-2112-1s+1s+2=-22s+s+1s+2e-e-t-ts+1s+2 -12+s+1s+2-e -2t+2e-2t11 f(t)=e 故而 At2e-t-e-2t=L(sI-A)=-t-2t-2e+2e-1-1
5、 x(t)=eAt2e-t-e-2tx(0)=-t-2t-2e+2ee-e-t-t-ex(0) -2t+2e-2t二、状态转移矩阵eAt的性质 f(t)=eAt=I+At+12!At+L+221k!At+L kk%Example 3.1.2: %MATLAB syms s t x; A=sym(0,1;-2,-3); I=eye(2); L=inv(s*I-A) lap=ilaplace(L) x=lap*x f(0)=I f&(t)=Af(t)=f(t)A f&(0)=A f(t1t2)=f(t1)f(t2)=f(t2)f(t1) 证明：f(t1t2)=eA(t1t2)=eA(t1)eA(t
6、2)=f(t1)f(t2)=f(t2)f(t1) 3-3 f-1(t)=f(-t)，f-1(-t)=f(t) 证明：f(0)=f(t-t)=f(t)f(-t)=If-1(t)=f(-t) x(t)=f(t-t0)x(t0) 证明：x(t)=f(t)x(0) x(t0)=f(t0)x(0)x(0)=f-1(t0)x(t0)，代入上式 x(t)=f(t)f-1(t0)x(t0)=f(t-t0)x(t0) 证毕。 f(t2-t0)=f(t2-t1)f(t1-t0) 证明：x(t2)=f(t2-t0)x(t0). (1) x(t1)=f(t1-t0)x(t0)(2) x(t2)=f(t2-t1)x(t
7、1)=f(t2-t1)f(t1-t0)x(t0).(3) 比较、(3)式，有f(t2-t0)=f(t2-t1)f(t1-t0)成立。证毕。 f(t)=f(kt) k 证明：f(t)=eAtk=ekAt=eA(kt)=f(kt) k若AB=BA，则e(A+B)t=eAteAtBt=eBtBteBtAtAt 若ABBA，则e(A+B)teeee &=Ax的状态转移矩阵，引入非奇异变换x=Px后的状态转移矩阵为： 设f(t)为x f(t)=PeP &=Ax中，有 证明：将x=Px代入x-1At&=P-1APx f(t)=eP x-1APt2 eP-1APt=I+P-1APt+12!(P-1AP)t+
8、L+21k!(P-1AP)tkk+L 3-4 =P-1P+P-1APt+1222!(P-1AP)t+L+1k!(P-1AP)ktk+L =P-1(I+At+1A2t2+L+1k2!k!Atk+L)P =P-1eAtP f(t)=P-1eAtP。证毕。 两种常见的状态转移矩阵 设A=diagl1,l2,L,ln，即A为对角阵，且具有互异元素。则 el1t0 f(t)=OO 0elnt设A为mm约当阵 elttelt12lt112!teLl1(m-1)!tm-elt1m-2l lOeltteltLA=(m-2)!tetO1，则f(t)=0MMMlMmmMMMOM000Lelt 已知状态转移矩阵为
9、eAt2e-t-e-2t=e-t-e-2t-2e-t+2e-2t-e-t+2e-2t 试求f-1(t)和A。 解：根据状态转移矩阵的性质4，可知 ttt2t f-1(t)=f(-t)=2e-e2e-e-2et+2e2t-et+2e2t 根据状态转移矩阵的性质2，可知 -2e-t+2e-2t2t A=f&(0)=-e-t+2e-012e-t-4e-2te-t-4e-2tt=0=-2-3 3-5 已知 l A=010 1l44l1l 试求状态转移矩阵eAt。 解：根据状态转移矩阵的性质10，可知 ltlt121etet3elt2telt6 f(t)=eAt=0elttelt12lt00el2te
10、ttelt000elt 验证如下矩阵是否为状态转移矩阵。 100 0sintcost 0-costsint解：利用性质f(0)=I 100100 0sintcost=001I，所以该矩阵不是状态转移矩阵。0-costsintt=00-10 已知系统状态方程为x&=Ax， 当x(0)=1e-2t-1时，x(t)=-e-2t 当x(0)=22e-t-1时，x(t)=-e-t 试求系统矩阵A和状态转移矩阵eAt。 解：由性质可知：A=f&(0) 由已知，有 x(t)=eAtx(0) e-2t2e-t12-e-2t-e-t=eAt-1-1 3-6 eAte-2t=-2t-e1-t-e-12e-t2-1
11、-1e-2t=-2t-e-1-t-e12e-t-2 12e-t-e-2t =-t-2t2e-t-t-2e -2t-2t-e+eA=f&(t)-2e-t+2e-2t=-2e-t+4e-2tt=0e-t-2e-2te-t-4e-2t=0t=0-1 3-2 线性连续定常非齐次状态方程的解 线性定常非齐次状态方程：x&=Ax+Bu，求x(t)。 1、直接积分法 x&=Ax+Bu左乘e-At，有 e-At(x&-Ax)=e-AtBu 由于ddt(e-Atx)=e-At(x&-Ax) 所以d-Atdt(ex)=e-AtBu，两端同时积分，有 e-Atx(t)-x(0)=t-At0eBu(t)dt x(t)
12、=eAtx(0)+tt-t)0eA(Bu(t)dt =f(t)x(0)+tf0(t-t)Bu(t)dt 注意：若取t0作为初始时刻，积分可得： e-Atx(t)-e-At0x(t0)=tte-AtBu(t)dt 0 x(t)=eA(t-t0)x(t0)+tteA(t-t)Bu(t)dt 02、拉氏变换法 x&=Ax+Bu，两边同时取拉氏变换 sx(s)-x(0)=Ax(s)+Bu(s) (sI-A)x(s)=x(0)+Bu(s) -e+2e2 -33-7 则 x(s)=(sI-A)-1x(0)+(sI-A)-1Bu(s) x(t)=L-1(sI-A)-1x(0)+L-1(sI-A)-1Bu(s
13、) 由拉氏变换卷积定理： L-1F1(s).F2(s)=t0f1(t-t).f2(t)dt 在此(sI-A)-1视为F1(s)，Bu(s)视为F2(s)。则 x(t)=eAtx(0)+tA(t-t)0eBu(t)dt 已知系统状态方程为x&=010-2-3x+u，输入u(t)=1(t)， 1 初始条件为x(0)=x1(0)(0)，试求解此非齐次状态方程。 x2解：由已知有 x(t)=eAtx(0)+t(t-t)0eABu(t)dt 先求eAt，由前面例题可知 -2t eAt2e-t-e-2t=e-t-e-2e-t+2e-2t-e-t +2e-2t求tA(t-t)0eBu(t)dt teA(t-
14、t)dt=t2e-(t-t)-e-2(t-t)e-(t-t)-e-2(t-t)0Bu(t0-2e-(t-t)+2e-2(t-t)-e-(t-t)+2e-2(t-t)0dt1 =te-(t-t)-e-2(t-t)0d-e-(t-t)+2e-2(t-t)t =-te-(t-t)-e-2(t-t)0-e-(t-t)+2e-2(t-t)d(t-t) -(t-1-2(t-t)t11-2t =-et)+e2=-e-t+ee-(t-t)-e-2(t-t)022 e-t-e-2t故而 3-8 (t)=2e-t-e-2t xe-t-e-2t1x0)1-t-2t1(-2e-t+2e-2t-e-t+2e-2tx+2
15、-e+2e 2(0)e-t-e-2t1特别说明：若-2x(0)=x1(0)=0，则1-ttx(t)=-e+ex2(0)022 e-t-e-2t其状态轨迹图可以MABLAB绘出： %Example 3.2.1 matlab program: grid; xlabel(时间轴); ylabel(x代表x1，-*代表x2); t=0:0.1:10; x1=0.5-exp(-t)+0.5*exp(-2*t); x2=exp(-t)-exp(-2*t); plot(t,x1,x,t,x2,*) end 3-9 3-3 状态转移矩阵eAt的计算 1、直接幂级数法 eAt=I+At+11kk12!A2t2+
16、L+k!At+L=Aktk K=0k!2、拉氏变换法 eAt=L-1(sI-A)-1 3、利用性质，采用对角化的方法 已知系统状态方程为x&=01-2-3x，试利用对角化的方法求eAt。解：det(lI-A)=(l+1)(l+2)=0，解出特征值l1=-1，l2=-2。 选用变换阵P，使P-1AP对角化。由于A为友矩阵，故P可选为： P=11111l1l=2-1-2， P-1=2-1-1 根据eP-1APt=P-1eAtP可推出：eAt=PeP-1APtP-1-10而eP-1APt=e0-2t=e-t00e-2t eAt=PeP-1APtP-12e-t-e-2t=e-t-e-2t-2e-t+2
17、e-2t-e-t+2e-2t 4、利用Caylay-Hamilton定理计算 Caylay-Hamilton定理 设n阶矩阵A的特征多项式为： f(l)=lI-A=ln+an-1n-1l+LL+a1l+a0 则A满足其特征方程，即 f(A)=An+an-1n-1A+LL+a1A+a0I=0 推论1 矩阵A的k次幂，可表示为A的(n-1)阶多项式 n-1 Ak=amAm，kn m=03-10 已知A=121001，求A=? 0解：A的特征多项式为： f(l)=lI-A=l2-2l+1 根据Caylay-Hamilton定理，有 f(A)=A2-2A+I=0， A2=2A-I 故A3=AA2=A(
18、2A-I)=2A2-A=2(2A-I)-A=3A-2I A4=AA3=A(3A-2I)=3A2-2A=3(2A-I)-2A=4A-3I 依次归纳，有： Ak=kA-(k-1)I 所以有：A100=100A-99I=10020099012000100-099=01 推论2 状态转移矩eAt可表示为A的(n-1)阶多项式 n-1 eAt=am(t)Amm=0 式中，a0(t),a1(t),L,an-1(t)均为幂函数。 已知系统状态方程为x&=01-2-3x， 试利用Caylay-Hamilton定理求eAt。 解：求系统矩阵A的特征值 detl(I-A)=0 (l+1)(l+2)=0， 解出l1
19、=-1，l2=-2 一般情况下，对于n个互异的特征值l1，l2，L，ln，写出如下方程组：aa2n-1lt0+1l1+a2l1+LL+an-1l1=e1a2n-1lt0+a1l2+a2l2+LL+a2n-1l2=eM a0+al+al2n+LL+an-1ln-1n=elnt1n2 3-11 并解出a0，a1，LL，an即可。对于本例： a0+a1l1=el1ta0-a1=e-t l2t-2ta0-2a1=ea0+a1l2=e解出a0=2e-t-e-2t，a1=e-t-e-2t At对于系统具有n个互异的特征值l1，l2，L，ln的情况，按下式计算e： eAt=a0I+a1A+a2A2+LL+a
20、n-1An-1 对于本例有： e At2e-t-e-2t=a0I+a1A=-t-2t-2e+2ee-e-t-t-e -2t+2e-2t3-4 离散系统状态方程的解 一、由差分方程建立动态方程 线性离散系统的动态方程可以充分利用差分方程建立，也可以利用线性连续动态方程的离散化得到。 SISO线性定常离散系统的差分方程一般形式为： y(k+n)+an-1y(k+n-1)+LL+a1y(k+1)+a0y(k)=bnu(k+n)+bn-1u(k+n-1)+LL+b1u(k+1)+b0u(k)式中，k表示kT时刻；T为采样周期；y(k)、u (k)分别为kT时刻的输出量和输入量；ai、bi1，2，LL，
21、n， 且an=1）为表征系统特征的常数。 3-16 已知某离散系统的状态方程是： x(k+1)=G(T)x(k)+H(T)u(k) G=01，H=1，初始状态x(1-0.16-10)=，u(k)=1， 1-1 试用递推法求解x(k)。 解：x(1)=G(T)x(0)+H(T)u(0)=01110-0.16-1-1+1=1.84 x(2)=G(T)x(1)+H(T)u(1)=01012.84-0.16-184+1=-0.84 1. x(3)=G(T)x(2)+H(T)u(2)=012.8410.16-0.16-1-0.84+1=1.386 M M显然，用递推法求解所得到的不是一个封闭的解析形式，
22、而是一个解序列。 采用MATLAB语言，求解例3.4.3： %Example 3.4.3 G=0,1;-0.16,-1; H=1;1; U=1; X1=1;-1; hold on; for k=1:400 X1=G*X1+H*U plot(X1(1),X1(2),*); end 2、Z变换法 设定常离散系统的状态方程是： x(k+1)=Gx(k)+Hu(k) 两边取Z变换： zx(z)-zx(0)=Gx(z)+Hu(z)，整理有 (zI-G)x(z)=zx(0)+Hu(z) 3-17 x(z)=(zI-G)-1zx(0)+(zI-G)-1Hu(z) 两边取Z反变换： x(k)=Z-1(zI-G
23、)-1zx(0)+Z-1(zI-G)-1Hu(z) 已知某离散系统的状态方程是： x(k+1)=G(T)x(k)+H(T)u(k) G=01-0.16-1，H=1，初始状态x(0)=1，u(k)=1，1-1 试用Z变换法求解x(k)。 解： 1-1z+1 (zI-G)-1=z-1=(z+0.2)(z+0.8)(z+0.2)(z+0.8)0.16z+1-0.16z(z+0.2)(z+0.8)(z+0.2)(z+0.8)453-1+33-53 =z+0.2z+0.8z+0.2+z+0.8-44115-34z+0.2+15z+0.8z+0.2+3z+0.8而 x(z)=(zI-G)-1zx(0)+Hu(z) u(z)=zz-1zz2 zx(0)+Hu(z)=zz-1-z+z=z-12 z1-z+2z-z-1(z2+2)zx(z)=(z+0.2)(z+0.8)(z-1) (-z2+1.84z)z(z+0.2)(z+0.8)(z-1)3-18 (z) =-17(z)+22z256z+0.29(z+0.8)+18z-13.4z17.z 6(z+0.2)-69(zz+0.8)+718(z-1)z)取z反变换，有 x(k)=-17k22k256(-0.2)+9(-0.8)+183.4 k17.6k76(-0.2)+9(-0.8)+183-19 对x(
