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1、第五节 函数的值域第四节函数的值域 函数值域的求解方法 做求解值域的题应注意： 1. 仔细认真观察题型特征 2. 选择恰当的方法 3. 应优先考虑直接法、函数单调性法和基本不等式法。 求函数值域的15种方法 1. 直接观察法 1的值域 x1解：Qx0； 0 显然函数的值域为(-,0)U(0,+) x2. 配方法 例1. 求函数y=例2. 求函数y=x2-2x+5,x-1,2的值域。 1 过程略，答案：4,8 3. 判别式法 由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大部分剔除。 例3. 求函数y=x+x(2-x)的值域。 解：移项两边平方整理得： 2x
2、2-2(y+1)x+y2=0 当xR;D=4(y+1)2-8y2; 解得：1-2y1+2 但要使函数有意义，必有x(2-x)0解得0x2 y=x+x(2-x)0 ymin=0;ymax2+2-242 =1+2 代入方程得x=2原函数值域为0,1+2 4.反函数法 例4. 求函数y=cx+d的值域 ax+b过程略 部分分式法或分离常数法 5.函数有界性法 例5. 求函数y=cosx的值域 sinx-3解：由原函数式可得y=ysinx-cosx=3y；可化为：y2+1sin(x+j)=3y 即：sin(x+j)=3yy+12;xR Qsin(x+j)-1,1 22y; 442 即：-13yy2+1
3、1; 解得：-6.函数的单调性法 利用函数单调性解题必须明确函数单调性的性质： 若函数f(x)、g(x)在区间B上具有单调性，则在区间B上有： 1. f(x)与f(x)+C具有相同的单调性； 2. f(x)与C f(x)，C0具有相同单调性，C0具有相反单调性； 3. 当f(x)恒不为零f(x)与1/ f(x)具有相反的单调性； 4. 当f(x)、g(x)都是增函数，则f(x)+g(x)都是增函数; 5. 当f(x)、g(x)都是增函数,当f(x)0、g(x)0，f(x) g(x)为增函数。 当f(x)0、g(x)0，f(x) g(x)为减函数。 例6. 例6. 求函数y=2x-5+log3x
4、-1;(2x10)的值域 解：令y1=2x-5；y2=log3x-1 两函数在2,10上都是增函数 当x=2时，ymin=22-5+log32-1=1； 8当x=10时ymax=210-5+log310-1=33； 133 故所求函数值域为，8例7. 求函数y=x+1-x-1的值域。 y=2x+1+x-1 解：原函数可化为：令y1=x+1,y2=x-1，显然y1,y2在 1,+ 上为无上界的增函数 所以 y=y1，y2在1,+上也为无上界的增函数 2所以 当x=1时，y=y1+y2有最小值2，原函数有最大值2显然y0，故原函数的值域为(0,2 7. 换元法 =2通过简单的换元把一个函数变为简单
5、函数，其题型特征是函数解析式含有根3 式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。 例11. 求函数y=x+x-1的值域。 解：令，x-1=t (t0) 2则x=t+1 13y=t2+t+1=(t+)2+24 又t0，由二次函数的性质可知 当t=0时，ymin=1 当t0时，y+ 故函数的值域为 1,+) 2y=x+2+1-(x+1) 例12. 求函数的值域。 22解：因 1-(x+1)0 即 (x+1)1 故可令 x+1=cosb,b0,p p=2sin(b+)+1y=cosb+1+1-cosb=sinb+cosb+14 20bp,0b+p5p4
6、4 2psin(b+)124p02sin(b+)+11+24 -故所求函数的值域为 0,1+2 x3-xy=4x+2x2+1 的值域。 例13. 求函数 12x1-x2y=221+x1+x2 解：原函数可变形为：2x1-x2=sin2b,=cos2b221+x可令x=tgb，则有 1+x 4 11y=-sin2bcos2b=-sin4b24 b=kpp1-ymax=4 28时，kpp1+ymin=-28时，4 当 当 b=而此时 tanb有意义。 11-4,4 故所求函数的值域为 ppx-,122的值域。 例14. 求函数y=(sinx+1)(cosx+1)，解：y=(sinx+1)(cosx
7、+1) =sinxcosx+sinx+cosx+1 1sinxcosx=(t2-1)2令sinx+cosx=t，则 11y=(t2-1)+t+1=(t+1)222 由t=sinx+cosx=2sin(x+p/4) ppx-,122 且2t22可得： 当 t=2时，ymax=2323t=y=+22时，42 2，当323,+2+422。 故所求函数的值域为 2 例15. 求函数y=x+4+5-x的值域。 2解：由 5-x0，可得 |x|5 故可令 x=5cosb,b0,p py=5cosb+4+5sinb=10sin(b+)+44 5 0bp pp5pb+444 当b=p/4时，ymax=4+10
8、 当b=p时，ymin=4-5 故所求函数的值域为：4-5,4+10 8. 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。 22 例16. 求函数y=(x-2)+(x+8)的值域。 解：原函数可化简得：y=|x-2|+|x+8| 上式可以看成数轴上点P到定点A，B(-8)间的距离之和。 由上图可知，当点P在线段AB上时，y=|x-2|+|x+8|=|AB|=10 当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，y=|x-2|+|x+8|AB|=10 故所求函数的值域为：10,+ 22 例17. 求函数
9、y=x-6x+13+x+4x+5的值域。 解：原函数可变形为： y=(x-3)2+(0-2)2+(x+2)2+(0+1)2 上式可看成x轴上的点P(x,0)到两定点A(3,2),B(-2,-1)的距离之和， 22y=|AB|=(3+2)+(2+1)=43，min由图可知当点P为线段与x轴的交点时， 故所求函数的值域为43,+ 6 22y=x-6x+13-x+4x+5的值域。 例18. 求函数2222y=(x-3)+(0-2)-(x+2)+(0-1)解：将函数变形为： 上式可看成定点A到点P的距离与定点B(-2,1)到点P(x,0)的距离之差。 即：y=|AP|-|BP| 由图可知：当点P在x轴
10、上且不是直线AB与x轴的交点时，如点P，则构成DABP，根据三角形两边之差小于第三边，有|AP|-|BP|AB|=(3+2)2+(2-1)2=26 即：-26y26 当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有|AP|-|BP|=|AB|=26 综上所述，可知函数的值域为：(-26,26 注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。 如：例17的A，B两点坐标分别为：，(-2,-1)，在x轴的同侧；例18的A，B两点坐标分别为，(2,-1)，在x轴的同侧。 9. 不等式法 +3(a,b,cR)，求函数的最值，其a+
11、b2ab,a+b+c3abc利用基本不等式题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时7 需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 例19. 求函数y=(sinx+1212)+(cosx+)-4sinxcosx的值域。 解：原函数变形为： y=(sin2x+cos2x)+=1+ces2x+sec2x=3+tan2x+cot2x33tan2xcot2x+2=511+sin2xcos2x当且仅当tanx=cotx 即当x=kpp4时(kz)，等号成立 故原函数的值域为：5,+) 例20. 求函数y=2sinxsin2x的值域。 解：y=4sinxsinxcosx =4sin2
12、xcosx y=16sin4xcos2x=8sin2xsin2x(2-2sin2x)8(sin2x+sin2x+2-2sin2x)/33=6427sin2x=23时，等号成立。 22当且仅当sinx=2-2sinx，即当由y2838364-y99 27可得：8383,-99 故原函数的值域为： 10. 一 一 映 射 法 8 原理：因为 y=ax+b(c0)cx+d 在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。 例21. 求函数y=1-3x2x+1的值域。 11x|x-22 解：定义域为1-y1-3xx=y=2y+3 2x+1得由x=1-y1-y11
13、-x=-2y+32或2y+32 故33y-22 解得33-,-U-,+22 故函数的值域为 11. 多种方法综合运用 y=x+2x+3的值域。 例22. 求函数2解：令t=x+2(t0)，则x+3=t+1 y=当t0时，以0y12 t11=t2+1t+12t，当且仅当t=1，即x=-1时取等号，所当t=0时，y=0。 10,2综上所述，函数的值域为： 注：先换元，后用不等式法 1+x-2x2+x3+x4y=1+2x2+x4 例23. 求函数的值域。 9 1-2x2+x4x+x3y=+241+2x+x1+2x2+x4 解：1-x2x+=1+x21+x2 21-xb=cos2bx=tan22，则1+x令 22x1=sinb221+x 11y=cos2b+sinb=-sin2b+sinb+122 当时， 当时， 此时都存在，故函数的值域为 注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用的有界性。 总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。 10
