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1、第九章习题题解及小测验第九章习题解及小测验 9-7 若简谐运动方程为x=0.10cos(20t+0.25)(m)，求： 振幅、频率、角频率、周期和初相；t=2s时的位移、速度和加速度 解：分析 可采用比较法求解将已知谐运动方程与谐运动方程一般形式x=Acos(wt+j)比较，即可求得各特征量然后写出位移、速度、加速度的表达式，代入t值即可求得结果 将x=0.10cos(20t+0.25)(m)与x=Acos(wt+j)比较得： 振 幅： A 0.10m 角频率： =20s-1 初 相： j0.25 周 期： T=2/=0.1s 频 率： n=1/THz t=2s时的位移、速度、加速度分别为：
2、x=0.10cos(40+0.25)=7.0710v=dx/dt=-2sin(40+0.25)=-4.44ms222-1-2m 2-2a=dx/dt=-40cos(40+0.25)=-2.7910ms 讨论：其实还可用物理量的定义法求； 9-9 设地球为半径R的均匀球体，密度 r=5.5103kgm-3。先假定沿其直径打通一条隧道，隧道内质量为m的质点做无摩擦运动。 证明此质点是谐振动； 计算此质点的周期； 解：分析 只要从动力学角度分析质点在隧道运动时的受力特征即可。 证明隧道内的质点是谐振动； 取坐标如图所示，当质点位于x处时，所受地球引力为： o x F=-G3mxmx2其中： mx=4
3、prx3，令k=4prm3G。则得到质点位于x处受力为： F=-4pGrmx3=-kx 因此知：此质点在隧道作谐振动； 计算质点的谐振动周期； 与谐振动周期类比可得： T=2pm/k=3pGr=5.0710s=84.5min 3讨论：还可增加地球的自转因素；绕地表面运行的人造地球卫星周期也为式的结果。 9-19 有一单摆摆长为1.0m，最大摆角为5 求摆的角频率和周期； 设开始时摆角最大，试写出此单摆的运动方程； 摆角为3时的角速度和摆球的线速度各为多少？ 解： 分析 单摆在摆角5的摆动，其角量与时间的关系可表示为谐运动方程q=qmaxcos(wt+j)，其中角频率由振动系统的性质决定：w=g
4、/l初相与摆角、质点的角速度与旋转矢量的角速度均为不同概念，须注意区分 单摆角频率及周期分别为： =g/l=3.13s;-1T=2/=2.01s o 由t=0时q=qmax=5，可得振动初相j=0，以角量表示的谐运动方程为：=36cos3.13t 摆角为3时，有cos(wt+j)=q/qmax=0.6，此时质点的角速度为： dq/dt=-qmaxwsin(wt+j)=-qmaxw1-cos=-0.80qmaxw=-0.218s线速度的大小为： -12(wt+j)v=ldq/dt=0.218s-1讨论 质点的线速度和角速度也可通过机械能守恒定律求解，但结果会有微小差别因为在导出简谐运动方程时曾取
5、sinqq。所以单摆的简谐运动方程仅在 较小时成立 9-26一氢原子在分子中的振动可视为简谐运动已知氢原子质量m 1.68 10-27 Kg，振动频率14 -1110Hz，振幅A 1.0 10试计算： u1.0 此氢原子的最大速度； 与此振动相联系的能量 解： 简谐运动系统中振子运动的速度v Asin，故氢原子 振动的最大速度为： vmax=wA=2pvA=6.28102ms-1 氢原子的振动能量： 2-20/2=3.3110J E=mvmax讨论：由此结果可以看出：氢原子振动能量具有非常小的数量级； 9-28 已知同方向、同频率的两谐振动的运动方程分别为： x1=0.05cos(10t+0.
6、75)(m)； x2=0.06cos(10t+0.25)(m) 求： 合振动的振幅及初相； 若有另一同方向、同频率的谐振动：x3=0.07cos(10t+j3)(m)，则j3为多少时，x1 x3 的振幅最大？ 又j3 为多少时，x2 x3 的振幅最小？ 解：分析 可采用解析法或旋转矢量法求解.由旋转矢量合成知：同方向、同频率两谐运动 的合成仍为谐运动，且角频率不变。合振动的振幅： A=22A1+A2+2A1A2cos(j2-j1) 其大小与两分振动的初相差j2-j1相关而合振动的初相位： j=arcta(nA1sinj1+A2sinj2)/(A1cosj1+A2cosj2) 作两个简谐运动合成
7、的旋转矢量图如图所示因=j2-j1=-/2，合振动振幅为： A=合振动初相位： j=arcta(nA1sinj1+A2sinj2)/(A1cosj1+A2cosj2)=arctan1=11.48radA1+A2+2A1A2cos(j2-j1)=7.81022-2m 要使x1 x3 振幅最大，即两振动同相位，则由j=2k得： j3=j1+2k=2k+0.75,k=0,1,2,. . 要使x1 x3 的振幅最小，即两振动反相位，则由j=(2k+1)得： 9-31 将频率为348 Hz的标准音叉振动和一待测频率的音叉振动合成，测得拍频为3.0Hz若在待测频率音叉的一端加上小块物体，则拍频数将减少，求
8、待测音叉的固有频率 解：分析 这是利用拍现象测定振动频率的一种方法在频率u1 和拍频数u|u2 u1|已知情况下，待测频率u2 可取两个值，即u2 u1 u式中u前正、负号的选取应根据待测音叉系统质量改变时，拍频数变化的情况决定 由分析知，待测频率的可能值为： j3=j2+(2k+1)=2k+1.25,k=0,1,2,. . u2 u1 u Hz 讨论：因振动系统的固有频率：n=12km ，即质量m 增加时，频率u 减小由题意知当待测音叉质量增加时拍频减少，即u2 u1变小因此，在满足u2 与u 均变小的情况下，式中只能取正号，故待测频率为： u2 u1 u351 Hz 小测验：机械振动 1.
9、 已知四个质点在x轴上运动, 某时刻质点位移x与其所受合外力F的关系分别由下列四式表示(式中a、b为正常数)其中不能使质点作简谐振动的力是 (A) F=abx (B) F=-abx (C) F=-ax+b (D) F=-bx/a 2. 在下列所述的各种物体运动中, 可视为简谐振动的是 (A) 将木块投入水中, 完全浸没并潜入一定深度, 然后释放 (B) 将弹簧振子置于光滑斜面上, 让其振动 (C) 从光滑的半圆弧槽的边缘释放一个小滑块 (D) 拍皮球时球的运动 3. 欲使弹簧振子系统的振动是简谐振动, 下列条件中不满足简谐振动条件的是 (A) 摩擦阻力及其他阻力略去不计 (B) 弹簧本身的质量
10、略去不计 (C) 振子的质量略去不计 (D) 弹簧的形变在弹性限度内 4. 当用正弦函数或余弦函数形式表示同一个简谐振动时, 振动方程中不同的量是 (A) 振幅； (B) 角频率； (C) 初相位； (D) 振幅、圆频率和初相位； 5. 质点作简谐振动的速度变化规律为v=-wAcoswt, 则质点的振动方程为 (A) x=Asinwt (B) x=Acoswt (C) x=Asin(wt+) (D) x=Acos(wt+) 6. 三只相同的弹簧(质量忽略不计)均一端固定, 另一端连接质量为m的物体, 放置情况如图所示若使其振动起来, 则三者的 (A) 周期和平衡位置都不相同 (B) 周期和平衡
11、位置都相同 (C) 周期相同, 平衡位置不同 (D) 周期不同, 平衡位置相同 图4-1-6 7. 简谐振动的振幅由哪些因素决定? (A) 谐振子所受的合外力 (B) 谐振子的初始加速度 (C) 谐振子的能量和力常数 (D) 谐振子的放置位置 8. 在简谐振动的运动方程中，振动相位(wt+j)的物理意义是 (A) 表征简谐振子t时刻所在的位置； (B) 表征简谐振子t时刻的振动状态； (C) 给出简谐振子t时刻加速度方向； (D) 给出简谐振子t时刻所受回复力方向； 9.把单摆从平衡位置拉开, 使摆线与竖直方向成 q 角, 然后放手任其作微小的摆动若以放手时刻为开始观察的时刻, 用余弦函数表示
12、这一振动, 则其振动的初相位为 (A) q ； (B) 10. 两质点在同一方向上作同振幅、同频率的简谐振动在振动过程中, 每当它们经过振幅一半的地方时, 其运动方向都相反则这两个振动的相位差为 (A) (B) 23 (C) 43 (D) 45 232 或； (C) 0 ； (D) ； 11. 在简谐振动的速度和加速度表达式中，都有一个负号, 这是意味着 (A) 速度和加速度总是负值 (B) 速度的相位比位移的相位超前 (C) 速度和加速度的方向总是相同 (D) 速度和加速度的方向总是相反 12. 一质点作简谐振动, 振动方程为x=Acos(wt+j) 则在t=质点的速度为 (A) -Awsi
13、nj； (B) Awsinj； (C) -Awcosj； (D) Awcosj； 13. 下列说法正确的是 (A) 谐振子从平衡位置运动到最远点所需的时间为T 81T212, 加速度的相位与位移的相位相差 (T为振动周期) 时, (B) 谐振子从平衡位置运动到最远点的一半距离所需时间为(C) 谐振子从平衡位置出发经历112T，运动的位移是113A T8(D) 谐振子从平衡位置运动到最远点所需的时间为T 414有一谐振子沿x轴运动, 平衡位置在x = 0处, 周期为T, 振幅为A，t = 0时刻振子过x=A2处向x轴正方向运动, 则其运动方程可表示为 1(A) x=Acos( (C) x=-Asin(22wtTwt) (B) x=-3A2cos(wt) 2wtT-3) ) (D) x=Acos(3215. 某物体按余弦函数规律作简谐振动, 其初相位为, 则该物体振动的初始状态为 (A) x0 = 0 , v0 0 ； (B) x0 = 0 , v00 ； (C) x0 = 0 , v0 = 0 ； (D) x0 = -A , v0 = 0； 答案：1. A； 2. B； 3. C； 4. C； 5.C； 6. C； 7. C； 8. B； 9. C； 10. B； 11. B； 12. B； 13. D； 14.D； 15. A；
