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1、等比数列的性质总结等比数列性质 1. 等比数列的定义：2. 通项公式： an=a1qn-1anan-1=q(q0)(n2,且nN*)，q称为公比 =a1qq=ABnn(a1q0,AB0)， 首项：a1；公比：q 推广：an=amqn-m， 从而得qn-m=3. 等比中项 anam或q=n-manam如果a,A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项即：A2=ab或A=ab 注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个 数列an是等比数列an2=an-1an+1 4. 等比数列的前n项和Sn公式： (1) 当q=1时， Sn=na1 a1(1-q1-q=a11-q-n(2) 当q1
2、时，Sn=)=a1a1-anq1-qn1-qq=A-AB=AB-A nn5. 等比数列的判定方法 用定义：对任意的n,都有an+1=qan或an+1an=q(q为常数，an0)an为等比数列 2 等比中项：an=an+1an-1an为等比数列 通项公式：an=ABn(AB0)nan为等比数列 n 前n项和公式：Sn=A-AB或Sn=AB-A(A,B,A,B为常数)an为等比数列 6. 等比数列的证明方法 依据定义：若anan-1=q(q0)(n2,且nN*)或an+1=qanan为等比数列 7. 注意 等比数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、q、n、an及Sn，其中a1、q称作
3、为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 n-1为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；an=a1q 如奇数个数成等差，可设为，aq2,aq； ,a,aq,aq28. 等比数列的性质 (1) 当q1时 等比数列通项公式an=a1qn-1=a1(1-q1-qna1qq=ABnn(ABa11-q0)是关于n的带有系数的类指数函数，底数为公比q 前n项和Sn=)=a1-a1q1-qna11-q-q=A-AB=AB-A，系数和常数项是互为相反nnn数的类指数函数，底数为公比q (2) 对任何m,nN*,在等比数列an中,有an=amqn-m,特别的,当m=1时
4、,便得到等比数列的通项公式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。 (3) 若m+n=s+t (m, n, s, tN*),则anam=asat.特别的,当n+m=2k时,得anam=ak2 注：a1an=a2an-1=a3an-2 (4) 列an,bn为等比数列,则数列列. (5) 数列an为等比数列,每隔k(kN*)项取出一项(am,am+k,am+2k,am+3k,)仍为等比数列 (6) 如果an是各项均为正数的等比数列,则数列logaan是等差数列 (7) 若an为等比数列,则数列Sn，S2n-Sn，S3n-S2n,，成等比数列 (8) 若an为等比数列,则数列a1a2an, an+1an+2a2n, a2n+1a2n+2a3n成等比数列 (9) 当q1时， 当0q1时， kan,kan,an,kanbnkanbn (k为非零常数) 均为等比数a10，则an为递减数列, a10，则a为递增数列a0，则a为递减数列当q=1时,该数列为常数列; 当q0时,该数列为摆动数列. (10)在等比数列an中, 当项数为2n (nN*)时,S奇S偶=1q,. (11)若an是公比为q的等比数列,则Sn+m=Sn+qnSm
