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1、线性代数基本计算题线性代数基本计算 一. 行列式 1. 计算排列的逆序数； 2. 计算行列式的一行元素的代数余子式及余子式之和； 化为三角形行列式计算3. 计算行列式利用行列式展开定理计算 二. 矩阵 1. 计算矩阵的乘积； 2. 计算方阵的方幂； 3. 判断方阵的可逆性A=(aij)nn可逆AB=E(BA=E)|A|0r(A)=nA的列向量组线性无关齐次线性方程组Ax=0只有零解4. 求可逆方阵的逆阵5. 解矩阵方程 1*-1公式法:A=A|A|初等行变换r(E,A-1)初等变换法：(A,E)uuuuuuuuuuuuu初等行变换AX=B,|A|0X=A-1B,(A,B)(E,X) XA=B,
2、|A|0X=BA,A初等列变换E(A,B)(E,X)或 BXTT初等行变换T-16. 计算矩阵的秩 A阶梯形矩阵Ar(A)=A的非零行数 初等行变换三. 线性方程组 1.判断线性方程组是否有解，确定解的个数 (1)Ax=b有解r(A)=r(A)，r=n有唯一解；rn有无穷解 (2)Ax=0只有零解r(A)=n,特别：Annx=0只有零解|A|0 Ax=0有非零解r(A)n,特别：Annx=0有非零解|A|=0 2.求线性方程组的一般解 消元法 3.判断一个向量能否由一个向量组线性表示 4.判断两个向量组是否等价 5.判断向量组是线性相关还是线性无关 A=(a1,L,as),a1,L,as线性相
3、关$不全为零的数k1,L,ks,使得k1a1+L+ksas=0 r(A)s k1a1+L+ksas=0k1=L=ks=0 A=(a1,L,as),a1,L,as线性无关r(A)=s 特别：Ann,a1,L,an线性相关|A|=0； a1,L,an线性无关|A|0 6.求向量组的极大无关组与秩 7.求齐次线性方程组的基础解系 四. 欧氏空间 1. 求向量与已知向量组正交 2. 把线性无关组化为正交向量组 3. 判断向量组是否为标准正交组 五. 矩阵的特征值与特征向量 1. 求矩阵的特征值与特征向量 2. 计算矩阵行列式 l1,l2,L,ln是A的全部特征值|A|=l1l2Lln 3. 判断矩阵是否可以对角化 已知A可以对角化，求Ak 4. P-1AP=LAk=PLkP-1.特别地，A=PLP-1. 5.A是实对称矩阵，求正交矩阵Q,使得Q-1AQ=QTAQ=L 六.二次型 1.用配方法化二次型为标准形，并写出所用的可逆线性变换 2.用正交变换化二次型为标准形，并写出所用的正交变换 3.求二次型的秩，正惯性指数，负惯性指数，符号差 4.判断实二次型是否正定
