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1、线性代数LA13B1.7 Cramer法则 考虑线性方程组 a11La1,j-1=(-1)j+2(-1)j-1MMb1Ma1,j+1MLa1nM=-Da11x1+a12x2+L+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+L+a2nxn=b2LLLLan1x1+an2x2+L+annxn=bna11a12La1nD=a21a22La2nMMMan1an2Lannb1a12La1n D(1)=b2a22La2nMMMbnan2Lanna11b1a13La1nD(2)=a21b2a23La2nMMMM, an1bnan3Lann 克拉默法则 若D0, 则方程组存(j)xj=DD(j=1,2,L,n)
2、. 证 存在性. biai1LaijLainr1b1a11La1jLa1nD=MMMMbiai1LaijLainri+1MMMMbnan1LanjLann=0(Qr1=ri+1) 第1行中元素aij的代数余子式为 b1a11La1,j-1a1,j+1A+(j+1)ij=(-1)1MMMMbnan1Lan,j-1an,j+1 an1Lan,j-1bnan,j+1Lann 将D按第1行展开可得 bj)iD+ai1(-D(1)+L+aij(-D+L+a)in(-D(n)=0 因为D0, 所以, aD(1)D(j)D(n)i1D+L+aijD+L+ainD=bi(i=1,2,L,n) 故方程组有解 x
3、D(j)j=D(j=1,2,L,n) 唯一性. 设方程组还有解x*1,x2,L,xn, 则 aa*a解11La1,j-11jxja1,j+1L1nx*jD=MMMMMan1Lan,j-1anjx*jan,j+1Lanna11La1,j-1(a*+L+a*11x1+L+a*1jxj1nxn)a1,j+1=MMMMan1Lan,j-1(a*+a*n1x1+Lnjx*j+L+annxn)an,j+1 a11La1,j-1b1a1,j+1La1n=MMMMM=D(j) an1Lan,j-1bnan,j+1Lann 同理可得 xjD=D(j) 于是 x*jD=xjDx*j=xj (j=1,2,L,n)
4、a1nM克拉默法则可以叙述为下面的定理： a定理4：如果线性方程组的系数行列式D0，则其一定有解，nn且解是唯一的。 18 在唯一LL定理4的逆定理： 定理4如果线性方程组无解或有两个不同的解，则他的系数行列式比为零。 1a1a2Lan0b2M0LLta1a2Lan0b2M0LL00MLbn-1b1=-10M-1M000b10=00MM0M0x1-x2+x3+2x4=02x+x-x+x=01234 例14 解线性方程组. 3x1+2x2+x3+5x4=5-x1-x2+x3+x4=-1=9, D=9, D=18 (3)=27, D(4)=-9 D 解 D x1(1)(2)Lbna1a2an1+L
5、+=tb1b2Lbn=b1b2Lbnbb2bn1 =1, x2=2, x3=3, x4=-1 a11x1+a12x2+L+a1nxn=0ax+ax+L+ax=02112222nn 齐次方程组 LLLLan1x1+an2x2+L+annxn=0 定理5 若D0, 则齐次方程组只有零解. 定理5 若齐次方程组有非零解，则它的系数行列式必为零。 lx1+x2+x3=0 例15 已知 x1+lx2+x3=0 有非零解, 求l. x+x+lx=0231l 解 11, 故lD=1l1=(l+2)(l-1)2=011l=1或l=-2. a1+b1 例16 计算a2LananMDn=a1Ma1a2+b2LMa2Lan+bn(bi0). 解 采用加边法. 1a1a2LanananM0a1+b1a1 Dn=0M0a2La2+b2LMa2Ma1Lan+bn 19
