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1、线性相关一、选择 1. 设向量组 a1,a2,a3线性无关，向量组a2,a3,a4线性相关，则如下结论正确的是 。 Aa2,a3 线性相关 ； B。a4可由a2,a3线性表示； Ca2可由a3,a4线性表示； D。a3可由a2,a4线性表示 。 2. 设向量组 a1,a2,a3线性相关，向量组a2,a3,a4线性无关，则如下结论正确的是 。 A a2,a3 线性相关 ； B。 a1可由a2,a3线性表示； C a2可由a3,a4线性表示； D。 a3可由a2,a4线性表示 。 3. 设向量组 a1,a2,a3,a4线性无关，向量组a2,a3,a4,a5线性相关，则如下结论正确的是 。 Aa2,
2、a3 线性相关 ； B。a5可由a2,a3,a4线性表示； Ca2可由a3,a4,a5线性表示； D。a3可由a2,a4,a5线性表示 。 4. 设向量组 a1,a2,a3,a4,a5线性无关，向量组a2,a3,a4,a5,a6线性相关，则如下 结论中正确的是 。 Aa2,a3,a4,a5 线性相关 ； B.a1可由a2,a3,a4,a5线性表示； Ca6可由a2,a3,a4,a5线性表示； D.a5可由a1,a2,a3,a4线性表示 。 5. 设向量组 a2,a3,a4,a5,a6线性无关，向量组a1,a2,a3,a4,a5线性相关，则如下 结论中正确的是 。 Aa1可由a2,a3,a4,a
3、5线性表示； B. a2,a3,a4,a5 线性相关 ； Ca6可由a2,a3,a4,a5线性表示； D.a5可由a1,a2,a3,a4线性表示 。 6. 设向量组 a1,a2,a3线性无关，向量组a2,a3,a4线性无关，向量组 。 a3,a4,a5线性相关，则如下结论正确的是 Aa4可由a2,a3 线性表示； B。a5可由a3,a4线性表示； Ca2可由a3,a4线性表示； D。a3可由a1,a2线性表示 。 7. 设向量组 a1,a2,a3线性相关，向量组a2,a3,a4线性无关，向量组 。 a3,a4,a5线性无关，则如下结论正确的是 Aa4可由a2,a3 线性表示； B。a5可由a3
4、,a4线性表示； Ca2可由a3,a4线性表示； D。a1可由a2,a3线性表示 。 二、判断 1401. 下列向量组a=3,b=0,g=-3 是线性无关的。 -2222. 如果向量组a1,a2,a3线性无关，则向量组 b1=-2a1+2a2，b2=a2-a3，b3=-a1+a3也线性无关。 3. 如果向量组a1,a2,a3线性无关，则向量组 b1=a1+2a2，b2=a2-a3，b3=4a1+8a3也线性无关。 4. 如果向量组a1,a2,a3线性无关，则向量组b1=a1+2a2-2a3， b2=a1+2a2-3a3，b3=a1-3a2+4a3 也线性无关。 5. 当向量组a1,a2,L,a
5、s线性相关时，使k1a1+k2a2+L+ksas=0成立的常数k1,k2,L,ks是任意一组不全为零的常数。 三、计算 1. 设 a1=(1,2,-1,x),a2=(2,1,1,3),a3=(-1,2,y,1) ，求 x,y的取值条件，使a1,a2,a3线性相关。 2. 讨论参数k的取值，确定向量组 a1=(1,k,1,4,4)，a2=(2,1,2,3,k)a3=(-1,0,-1,k,-1)的线性相关性。 3. 讨论参数k的取值，确定向量组a1=(1,2k,1,1,4)，a2=(7,-5,-1,0,k) a3=(-1,k2,-1,k+1,-4)的线性相关性。 4. 设 a1,a2,a3线性无关
6、，求下列四个向量组的线性关系。 b1=a1-a2+a3b1=a1+a2-a31.b2=2a1+3a2-4a3 2.b2=-a1+a2+a3 b=2a+a-ab=a+2a-a12312333b1=a1+a2b1=a1-a2a2+a3 4.b2=-a2-a3 3.b2=b=ab=a+a-a3131332-l5. 设a1=2-22,a=25-l-4-2,a=3-45-l1 。 ;b=2-l-1 问 l为何值时，向量b可以由向量组a1,a2,a3线性表示，在表达式惟一时， 求其表达式。 四、证明 1. 设向量组a1,a2,a3线性无关，向量组 b1=a1+2a2-2a3， b2=a1+2a2-3a3， b3=a1-3a2+4a3， 试证明向量组b1,b2,b3也线性无关。 2. 设向量组a1,a2,a3线性无关，向量组 b1=a1+2a2， b2=b3=a13. 设 a2-3a3， +4a3， 试证明向量组b1,b2,b3也线性无关。 Ax=0 有基础解系 x1,x2,L,xs, 又 Ax0=b0 。试证明 x0,x0+x1,x0+x2,L,x0+xs 线性无关。
