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1、考研高数函数与极限部分定理定义汇总凯程考研，为学员服务，为学生引路！ 考研高数：函数与极限部分定理定义汇总 摘要下面是凯程考研对高等数学中函数与极限部分定理定义的整理总结，分享给各位考生，希望对考生们的复习有所帮助。进入秋季强化阶段已经有一段时间了，考研的小伙伴们，加油啊！ 1、函数的有界性在定义域内有f(x)K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界;如果有f(x)K2，则有上界，K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。 2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列xn不能同时收敛于两个不同的极限。 定理(收敛数列的有界性)如果数列xn收敛，那么数列
2、xn一定有界。 如果数列xn无界，那么数列xn一定发散;但如果数列xn有界，却不能断定数列xn一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。 定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列xn收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列xn有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列xn是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1中子数列x2k-1收敛于1，xnk收敛于-1，xn却是发散的;同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。 3、函数的极限函数极限的定义中00(或A0(或f(x)0)，反之也成立。 函数f(x)当
3、xx0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。 一般的说，如果lim(x)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。如果lim(xx0)f(x)=，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。 4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小;有界函数与无穷小的乘积是无穷小; 第 1 页 共 1 页 凯程考研，为学员服务，为学生引路！ 常数与无穷小的乘积是无穷小;有限个无穷小的乘积也是无穷小;定理如果F1(x)F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么ab. 5、极限存
4、在准则两个重要极限lim(x0)(sinx/x)=1;lim(x)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列xn、yn、zn满足下列条件：ynxnzn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。 单调有界数列必有极限。 6、函数的连续性设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果函数f(x)当xx0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f(x0)，即lim(xx0)f(x)=f(x0)，那么就称函数f(x)在点x0处连续。 不连续情形：1、在点x=x0没有定义;2、虽在x=x0有定义但lim(xx0)f(x)不存在;3、虽在x=x0有定义且lim(xx0)f
5、(x)存在，但lim(xx0)f(x)f(x0)时则称函数在x0处不连续或间断。 如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称x0为函数f(x)的第一类间断点(左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点)。非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点(无穷间断点和震荡间断点)。 定理有限个在某点连续的函数的和、积、商(分母不为0)是个在该点连续的函数。 定理如果函数f(x)在区间Ix上单调增加或减少且连续，那么它的反函数x=f(y)在对应的区间Iy=y|y=f(x)，xIx上单调增加或减少且连续。反三角函数在他们的定义域内都是连续的。 定理(最大值最小值定理)在闭区间上
6、连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值。如果函数在开区间内连续或函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值和最小值。 定理(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界，即mf(x)M.定理(零点定理)设函数f(x)在闭区间a，b上连续，且f(a)与f(b)异号(即f(a)f(b)0)，那么在开区间(a，b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点(a 推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值。 摘要考研数学中高等数学部分考查内容较多，所占分值较大。下面是凯程考研对历年考研真题题型进行的整理总结，分享给各位考生，希望对各位考生有所帮助。 考研
7、数学中高等数学部分考查内容较多，所占分值较大。为了帮助考生对高等数学更有效的复习，凯程考研对历年考研真题题型的进行了整理，分享给各位考生，希望对各位考生有所帮助。 第 2 页 共 2 页 凯程考研，为学员服务，为学生引路！ 1.求幂指函数的三种未定式，运用e抬头法转为基本未定式，然后再利用罗必达法则和等价无穷小量求极限。 2.求最值、极值或证明不等式，运用函数的导数，借助单调性研究问题。 3.微积分中值定理的运用，运用找原函数法(积分法)、公式法或者经验法等构造辅助函数证明。 4.二重积分的计算，运用“X-型(先Y后X)，Y-型(先X后Y)，-型(先r后)”。 5.常微分方程问题。可分离变量方程、齐次方程、一阶线性微分方程等的通解、特解及线性方程解的性质和结构、常系数线性方程求解问题。 6.求抽象函数的二阶混合偏导数，运用复合函数的链式法则和隐函数求导法则。 7.多元函数的极值，运用拉格朗日函数乘数法。 8.判断常数项级数的敛散性及求和。 9.求幂级数的收敛半径和收敛域、和函数及函数的幂级数展开、傅里叶级数。 10.曲线积分和曲面积分的计算。 第 3 页 共 3 页
