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1、解题指南解题指南 椭圆与双曲线的对偶性质之椭圆篇(1) 12标准方程： 34点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的外角. 5PT平分PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 6以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离. 7以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 8设A1、A2为椭圆的左、右顶点，则PF1F2在边PF2上的旁切圆，必与A1A2所在的直线切于A2. 9椭圆的两个顶点为,，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是. 10若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是. 11若在椭圆外 ，则过P
2、o作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是. 12AB是椭圆的不平行于对称轴且过原点的弦，M为AB的中点，则. 13若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是. - 1 - 解题指南 14若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是. 15若PQ是椭圆上对中心张直角的弦，则. 16若椭圆上中心张直角的弦L所在直线方程为,则(1) ;(2) . 17给定椭圆则(i)对：, ：,上一定点上任意给定的点,它的任一直角弦必须经过M(ii)对点. 上任一点. 在上存在唯一的点,使得的任一直角弦都经过18设为椭圆C: (a0,. b0)上一点，P1P2为曲线C的的动弦,且弦P0P1, P
3、0P2斜率存在，记为k1, k 2, 则直线P1P2通过定点充要条件是. 19过椭圆 (a0, b0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且. - 2 - 解题指南 20椭圆 (ab0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为 ，- 3 - . 解题指南 椭圆与双曲线的对偶性质之双曲线篇(2) 21若P为双曲线右支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, , ，则. 22双曲线当当的焦半径公式：(在右支上时，在左支上时，,. . , 23若双曲线1e项. 的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当 时，可在双曲线上求一
4、点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中24P为双曲线点，则等号成立. 上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定,当且仅当三点共线且和在y轴同侧时，25双曲线上存在两点关于直线：对称的充要条件是. 26过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 27过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 28P是双曲线上一点，则点P对双曲线两焦点张直角的充要条件是. - 4 - 解题指南 29设A,B为双曲线上两点，其直线AB与双曲线相交于,则. 30在双曲线中，定长为2m0）的弦中
5、点轨迹方程为,其中,当时, . 31设S为双曲线的通径，定长线段L的两端点A,B在双曲线上移动，记|AB|=，是AB中点，则当时，有,);当时，有. 32双曲线. 与直线有公共点的充要条件是33双曲线的充要条件是与直线. 有公共点34设双曲线的两个焦点为F1、F2,P为双, ,，则有曲线上任意一点，在PF1F2中，记. - 5 - 解题指南 35经过双曲线的实轴的两端点A1和A2的切线，与双曲线. 上任一点的切线相交于P1和P2，则36已知双曲线，O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且.;|OP|2+|OQ|2的最小值为;的最小值是. 37MN是经过双曲线过焦点的任一弦(交于两支)，若AB.
6、 是经过双曲线中心O且平行于MN的弦，则38MN是经过双曲线焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线中心O的半弦，则. 39设双曲线,M(m,o)为实轴所在直线上除中心，顶点外的任一点，过M引一条直线与双曲线相交于P、Q两点，则直线A1P、A2Q(A1 ,A2为两顶点)的交点N在直线：上. 40设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MFNF. - 6 - 解题指南 椭圆与双曲线的对偶性质之椭圆篇(3) 41过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点
7、M，A2P和A1Q交于点N，则MFNF. 42设椭圆方程,则斜率为k(k0)的平行弦的中点必在直线：的共轭直线上,而且. 43设A、B、C、D为椭圆上四点,AB、CD所在直线的倾斜角分别为，直线AB与CD相交于P,且P不在椭圆上,则. 44已知椭圆,点P为其上一点F1, F 2为椭圆的焦点，的外角平分线为，作F1、F2分别垂直于R、S，当P跑遍整个椭圆时，R、S形成的轨迹方程是(，且AB为). 的直径，为AB的共轭直径所在的直线，分相切的充要条件是D为EF45设ABC内接于椭圆别交直线AC、BC于E和F，又D为上一点，则CD与椭圆的中点. 46过椭圆的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦
8、MN的垂直平分线交x轴于P，则. 47设A是椭圆上任一点，过A作一条斜率为分别是A到椭圆两焦点的距离，则的直线L，又设d是原点到直线 L的距离, . - 7 - 解题指南 48已知椭圆和，一直线顺次与它们相交于A、B、C、D四点，则AB=|CD. 49已知椭圆 ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则. 50设P点是椭圆上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则(1).(2) . 51设过椭圆的长轴上一点B作直线与椭圆相交于P、Q两点，A为椭圆长轴的左顶点，连结AP和AQ分别交相应于过B点的直线MN：于M，N两点,则. 52L是经过椭圆椭圆两个焦点，e是离心率,
9、点长轴顶点A且与长轴垂直的直线，E、F是，若，则是锐角且或. 53L是椭圆e是离心率，的准线，A、B是椭圆的长轴两顶点,点，H是L与X轴的交点c是半焦距，则是锐角且，或. 54L是椭圆点，点，的准线，E、F是两个焦点，H是L与x轴的交,离心率为e，半焦距为c，则为锐角且或. - 8 - 解题指南 55已知椭圆，直线L通过其右焦点F2,且与椭圆相交于A、B两点，将A、B与椭圆左焦点F1连结起来，则. 56设A、B是椭圆, ,的长轴两端点，P是椭圆上的一点，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1).(2) .(3) . 57设A、B是椭圆外部的两点，且Q两点，则. 、的横坐标长轴上分别位于椭圆内
10、、，若过A点引直线与这椭圆相交于P、；若过B引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则58设A、B是椭圆长轴上分别位于椭圆内，外部的两点，若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，且，则点A、B的横坐标、满足；若过B点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，且横坐标满足. ,则点A、B的59设是椭圆的长轴的两个端点，是与垂直的弦，则直线与的交点P的轨迹是双曲线. - 9 - 解题指南 60过椭圆的左焦点作互相垂直的两条弦AB、CD则. - 10 - 解题指南 椭圆与双曲线的对偶性质之双曲线篇(4) 61到双曲线动点M的轨迹是姊妹圆两焦点的距离之比等于. 的62到双曲线的实轴两端点的距离之比等于. 的动点M的轨迹
11、是姊妹圆63到双曲线的两准线和x轴的交点的距离之比为的动点的轨迹是姊妹圆. 64已知P是双曲线上一个动点，是它实轴的两个端点,且,，则Q点的轨迹方程是. 65双曲线的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和实轴之长的比例中项. 66设双曲线实轴的端点为,是双曲线上的点过P作斜率为的直线，过分别作垂直于实轴的直线交于面积的最小值是. ,则 .四边形67已知双曲线焦点的右准线与x轴相交于点在右准线上，且，过双曲线右的直线与双曲线相交于A、B两点,点轴，则直线AC经过线段EF 的中点. - 11 - 解题指南 68OA、OB是双曲线的两条互相垂直的弦，O为坐标原点，则直线AB
12、必经过一个定点.(2) 以O A、O B为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是. 69是双曲线上一个定点，P A、P B是互相垂直的弦，则直线AB必经过一个定点B为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是 .以P A、P (70如果一个双曲线虚半轴长为b，焦点F1、F2到直线，且F1、F 2在 同侧且). 的距离分别为d1、d2，那么是双曲线的渐近线.，或F1、F2在L直线L和双曲线相切,或直线 和双曲线相离，且F1、F2在L同侧异侧直线L和双曲线相交. 71AB是双曲线线与过A、B的切线交于. 、的实轴，是双曲线上的动点，过的切两点，则梯形ABDC的对角线的交点M的轨迹方程是72设点为双曲线的任
13、一弦. AB的内部()一定点，AB是双曲线过定点(1)如,则当弦垂直于双曲线实轴所在直线时. - 12 - 解题指南 (2)如,则当弦AB平行于双曲线实轴所在直线时, . 73双曲线焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以双曲线实轴为直径的圆相外切. 74双曲线焦三角形的内切圆必切长轴于非焦顶点同侧的实轴端点. 75双曲线两焦点到双曲线焦三角形内切圆的切线长为定值a+c与a-c. 76双曲线焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c. 77双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). 注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内
14、、外点. 78双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 79双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项. 80双曲线焦三角形中,双曲线中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例. 81双曲线焦三角形中,半焦距、外点与双曲线中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例. 82双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线,则双曲线中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行. 83双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点内角平分线引垂线,则双曲线中心与垂足的距离为双曲线实半轴的长. 84双曲线焦三角形
15、中,过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和双曲线实轴为直径的圆的切点. 85双曲线焦三角形中,非焦顶点的内角平分线与焦半径、实轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e. 86双曲线焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的外角平分线. 87双曲线焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的内角平分线. 88双曲线焦三角形中,过非焦顶点的切线与双曲线实轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点. 89. 已知双曲线分别交轴于 ，交轴于； ， 上有一点，过分别引其渐近线的平行线，为原点，则： . - 13 - 解题指南 90. 过平面上的点作直线及的平行线，分别交轴于
16、，交轴于.若，则的轨迹方程是.(2)若，则的轨迹方程是. 91. 点为双曲线在第一象限的弧上任意一点，过引轴、轴的平行线，交轴、轴于，交直线于，记 与的面积为 92. 点，则：. 引轴、轴的平行线，交轴、轴于，为第一象限内一点，过交直线于，记 与的面积为，已知，则的轨迹方程是 或. - 14 - 解题指南 椭圆与双曲线的对偶性质之椭圆篇(5) 81椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例. 82椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行. 83椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的
17、外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长. 84椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点. 85椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e. 86椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线. 87椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线. 88椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点. 89. 已知椭圆(包括圆在内)上有一点,过点分别作直线及的平行线，与直线；分别交于,为原点，则：. . 90. 过平面上的交轴于点作直线.若及的平行线，分别交轴于，则，的轨迹方程是.(2)若，则的轨迹方程是. 91. 点为椭圆(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点，过引轴、轴的平行线，交轴、轴于，交直线于，记 与的面积为，则：. - 15 - 解题指南 92. 点为第一象限内一点，过引轴、轴的平行线，交轴、轴于，交直线于，记 与的面积为，已知，则的轨迹方程是 . - 16 -
