《近世代数中的子环与理想的证明.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《近世代数中的子环与理想的证明.docx（2页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、近世代数中的子环与理想的证明近世代数中的子环的证明以及理想的证明 1.证明：在环R到环R的一个同态满射f之下,R的一个子环S的象S是R的一个子环。 证明: Q S为R的一个子环, 0S, 而0=f(0)S, 故S非空。 对a,bS,$a,bS,使得a=f(a),b=f(b) 由于S是环R的子环，故a-bS,abS a-b=f(a)-f(b)=f(a-b)S ab= f(a)f(b)=f(ab)S 故S是R的一个子环。 2. 证明：在环R到环R的一个同态满射f之下, R的一个子环S的逆象S是R的一个子环。 证明: Q S为R的子环, 0S, 而0=f(0)S, 0S,故S非空。 对a,bS，$a
2、,bS,使得 a=f(a),b=f(b), 由于S是环R的子环， 故 a-b=f(a)-f(b)=f(a-b)S ab=f(a)f(b)=f(ab)S a-bS,abS 故S是R的一个子环。 3.证明：在环R到环R的一个同态满射f之下，R的一个理想A的象A是R的一个理想。 证明: QA为R的理想, 0A,而0=f(0)A,故A非空。 对a,bA,rR, $a,bA,rR 使得 a=f(a),b=f(b),r=f(r) 1 由于A是环R的一个理想，故 a-bA,raA，arA a-b=f(a)-f(b)=f(a-b)A ra=f(r)f(a)=f(ra)A, ar=f(a)f(r)=f(ar)A 故 A是环R的一个理想。 4.证明：在环R到环R的一个同态满射f之下，R的一个理想A的逆象A是R的一个理想。 证明: Q A为环R的理想,0A, 而0=(0)A, 0A, 故A非空。 对于a,bA，rR，$a,bA,rR 使得 a=f(a),b=f(b),r=f(r) 由于A是环R的理想， 故 a-bA，arA，raA。 Qa-b=f(a)-f(b)=f(a-b)A ra=f(r)f(a)=f(ra)A， ar=f(a)f(r)=f(ar)A a-bA,raA，arA, 故 A是R的一个理想。 2
