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1、量子物理部分题解2.2 一个氧分子被封闭在一个盒子内。按一维无限深方势阱计算，并设势 阱宽度为10cm。 该氧分子的基态能量是多大？ 设该分子的能量等于T=300K时的平均热运动能量kT，相应的量子 23数n是多少？这第n激发态和第n+1激发态的能量差是多少？ 解：根据解无限深方势阱中粒子的薛定谔方程得到的 En=h2ma222n2=E1n 2来计算本题。 由题设已知一维无限深方势阱的宽度为 a = 10cm = 0.1m 。氧分子的质量为 m=3210-3236.0210=5.3210-26kg要求氧分子的基态能量，则令n = 1代入能量公式计算得 E1=h2ma222=(1.051025.
2、3210-262-34)220.1=1.0210-40J 当T为300K时，氧分子热运动的平均平动动能为kT，题设该分子23的能量值和这时氧分子的热运动能量相等，于是有 323kT2E1kT=En=h2ma222n2=E1n 2n=31.3810-23300-4021.0210=7.80109这个激发态和它相邻的较高激发态的能量差为 DE=E1(n+1)-n22=E1(2n+1) =1.0210-40(27.80109+1)=1.5910-30J 该能量差如此之小，表明在宏观上此时的能量可视为连续变化。 2.3 在如图2.1所示的无限深斜底势阱中有一粒子。试画出它处于n = 5的激发态时的波函
3、数曲线。 解：由于粒子动能Ek=E-U，而粒子的德布罗意波长l=h/p=h/2mEk，若1 势阱底升高，则Ek减小，所以l增大。同时由于Ek减小，速度也减小，粒子出现的概率就会增大，因而波函数振幅应增大。又，在边界处若势能有限，则波函数曲线有可能进入势阱之外。再者，根据一维无限深方势阱中粒子的波函数曲线可知，第n激发态的曲线和x轴有n -1个交点。根据这些原则，作出如图2.1中的波函数曲线。 n = 5 2.6 证明：如果ym(x,t)和yn(x,t)为一维无限深方势阱中粒子的两个不同能态的波函数，则 图2.1 习题2.3解用图 (a) (b) E5 n = 5 E5 2 0aym(x,ty)
4、nx(t,x)=d* 0此结果称为波函数的正交性。它对任何量子力学系统的任何两个能量本征波函数都是成立的。 证：如果ym(x,t)和yn(x,t)为一维无限深方势阱中粒子的两个不同能态的波函数，则将从该势场下的薛定谔方程解得的波函数 yn=2asin(nax)e-i2Ent/h代入本题要证的等式的左侧积分中，有 0ym(x,t)yn(x,t)dx =02aaa*2asin(max)ei2Emt/h2asin(nanpax)e-i2Ent/hdx =e2i(Em-En)t/hsin(0ampax)sin(x)dxasin(im-n)x/a)sin(im+n)x/a)2- =e2i(Em-En)t
5、/h a2(m-n)/a2(m+n)/a0由于m，n都是正整数，所以此结果方括号内的值为零。因此 0aym(x,t)yn(x,t)dx=0 *2.8 一维无限深方势阱中的粒子的波函数在边界处为零。这种定态物质波相当于两端固定的弦中的驻波，因而势阱宽度a必须等于德布罗意波的半波长的3 整数倍。试由此求出粒子能量的本征值为 En=h2ma222n 2解：在一维无限深方势阱中处于定态的粒子的物质波相当于两端固定的弦中的驻波，它表明势阱宽度必等于德布罗意波的半波长的整数倍，所以在宽度为a的势阱中，粒子的德布罗意波长为 ln=2a/n , n=1,2,3,L 粒子的动量为 pn=h/ln=hn/(2a)
6、=hn/a所以粒子相应的能量本征值为 En=pn22m=h2ma222n 2此式与解粒子在无限深方势阱中运动的定态薛定谔方程得到的结果完全相同。 2.11 H2分子中原子的振动相当于一个谐振子，其劲度系数k=1.13103N/m，质量是m = 1.6710-27 kg。此分子的能量本征值多大？当此谐4 振子由某一激发态跃迁到相邻的下一激发态时，所放出的光子的能量和波长是多少？ 解：氢分子中原子的振动相当于一个谐振子，故氢分子振动的频率为 n=12km1由一维谐振子的薛定谔方程解得氢分子的振动能量为En=(n+)hn，代入题设2各已知量，有 En=(n+12)hn=(n+1)hkm22316.6310=(n+)221-341.13101.6710-2711.6010-19 =(n+)0.542eV 2当此谐振子由某一量子数为n的激发态跃迁到量子数为n-1的相邻的下一激发态时，放出光子的能量等于 DE=En-En-1=n+11-(n-1)+hn=0.542eV22波长为 l=hcDE=6.6310-343.0010-1980.5421.6010 =22.910-7m=22.9103nm 5
