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1、高三数学第二轮专题复习必备精品系列教案习题平面向量 注高三数学第二轮专题复习必备精品系列教高三数学第二轮专题复习必备精品系列教案习题(5) 平面向量 注： 一、本章知识结构： 二、高考要求 1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。2、掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律。3、掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件。4、了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。6、掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且能
2、熟练运用；掌握平移公式。7、掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。8、通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。 三、热点分析 对本章内容的考查主要分以下三类： 1.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质.此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题. 2.以解答题考查圆锥曲线中的典型问题.此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主. 3.向量在空间中的应用.在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质. 在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针.本章考题大多数是课本的变式题，即源于课
3、本.因此，掌握双基、精通课本是本章关键.分析近几年来的高考试题，有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算。对于和解析几何相关的线段的定比分点和平移等交叉内容，作为学习解析几何的基本工具，在相关内容中会进行考查。本章的另一部分是解斜三角形，它是考查的重点。总而言之，平面向量这一章的学习应立足基础，强化 第1页 运算，重视应用。考查的重点是基础知识和基本技能。 四、复习建议 由于本章知识分向量与解斜三角形两部分，所以应用本章知识解决的问题也分为两类：一类是根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算，并能运用向量知识解决平面几何中的一些计算和证明问题；另一类是运用正、余弦定理正确地解斜三角形，并
4、能应用解斜三角形知识解决测量不可到达的两点间的距离问题。 在解决关于向量问题时，一是要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，进一步加深对“向量”这一二维性的量的本质的认识，并体会用向量处理问题的优越性。二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想，所以要通过向量法和坐标法的运用，进一步体会数形结合思想在解决数学问题上的作用。 在解决解斜三角形问题时，一方面要体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要体会解斜三角形是重要的测量手段，通过学习提高解决实际问题的能力。 五、典型例题 平面向量 在下列各命题中为真命题的是( ) 若a=(x1,y1)、b=(x
5、2,y2)，则ab=x1y1+x2y2 若A(x1,y1)、B(x2,y2)，则AB=(x1-x2)2+(y1-y2)2 若a=(x1,y1)、b=(x2,y2),则ab=0x1x2+y1y2=0 若a=(x1,y1)、b=(x2,y2)，则abx1x2+y1y2=0 A、 B、 C、 D、 解：根据向量数量积的坐标表示；若a=(x1,y1), b=(x2,y2)，则ab=x1x2+y1y2，对照命题(1)的结论可知，它是一个假命题、 于是对照选择支的结论、可以排除(A)与(D)，而在(B)与(C)中均含有(3)、故不必对(3)进行判定，它一定是正确的、对命题(2)而言，它就是两点间距离公式，
6、故它是真命题，这样就以排除了(C)，应选择(B)、 说明：对于命题(3)而言，由于ab=0a=0或b=0或abx1x2+y1y2=0，故它是一个真命题、 而对于命题(4)来讲，abx1x2+y1y2=0、但反过来，当x1x2+y1y2=0时，可以是x1=y1=0，即a=0，而我们的教科书并没有对零向量是否与其它向量垂直作出规定，因此x1x2+y1y2=0/ab)，所以命题(4)是个假命题、 第2页 已知a=(3,1), b=(1, 3)，那么a，b的夹角=( ) A、30 B、60 C、120 D、150 解：ab=(3,1)(1，3)=23 a=(-3)2+(-1)2=2 b=12+(3)2
7、=2 cos=abab=3-23=- 222 已知a=(2,1), b=(1,3),若存在向量c使得：ac=4, bc=9，试求向量c的坐标、 解：设c=(x,y),则由ac=4可得： 2x+y=4；又由bc=9可得：x+3y=9 (1)2x+y=4于是有： -x+3y=9(2)由(1)+2(2)得7y=14,y=2,将它代入(1)可得：x=3 c=(3,2)、 说明：已知两向量a，b可以求出它们的数量积ab，但是反过来，若已知向量a及数量积ab，却不能确定b、 求向量a=(1,2)在向量b=(2，2)方向上的投影、 解：设向量a与b的夹角、 有cos=abab =12+2(-2)12+222
8、2+(-2)2=10 10210)= 102a在b方向上的投影=acos=5( 已知ABC的顶点分别为A(2，1)，B(3，2)，C(3，1)，BC边上的高AD，求AD及点D的坐标、 解：设点D的坐标为(x,y) 第3页 AD是边BC上的高， ADBC，ADBC 又C、B、D三点共线， BCBD 又AD=(x2,y1), BC=(6,3) BD=(x3,y2) -6(x-2)-3(y-1)=0-6(y-2)+3(x-3)=0解方程组，得x=79,y= 557291，)，AD的坐标为(，) 5555点D的坐标为( 设向量a、b满足：ab=1，且a+b=(1，0)，求a，b、 解：ab=1， 可设
9、a=(cos,sin), b =(cos,sin)、 a+b=(cos+cos,sin+sin)=(1,0)， cos+cos=1LL(1) sin+sin=0LL(2)由(1)得：cos=1cos(3) 由(2)得：sin=sin(4) cos=1cos=sin=1 233,sin=m 221313a=,a=,-2222或 1,-31,3b=b=2222 对于向量的集合A=v=(x,y)x2+y21中的任意两个向量v1、v2与两个非负实数、；求证：向量v1+v2的大小不超过+、 第4页 证明：设v1=(x1,y1)，v2 =(x2,y2) 根据已知条件有：x21+y211,x22+y221
10、又因为v1+v2=(x1+x2)2(y1+y2)2 =2(x12+y12)+2(x22+y22)+2(x1x2+y1y2) 22其中x1x2+y1y2x1+y1 22x2+y21 所以v1+v22+2+2=+=+ 已知梯形ABCD中，ABCD，CDA=DAB=90,CD=DA=求证：ACBC 证明：以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系、如图，设AD=1 则A(0，0)、B(2，0)、C(1，1)、D(0，1) 1AB、 2uuuruuurBC=(1,1), AC=(1,1) uuuruuurBCAC=11+11=0 BCAC、 已知A(0，a),B(0,b),(0ab)，在x轴的正半
11、轴上求点C，使ACB最大，并求出最大值、 解，设C(x,0)(x0) 则CA=(x,a), CB=(x,b) 则CACB=x2+ab、 cosACB=令t=x2+ab 故cosACB=11-ab(a-b)22+(a-b)2+1tt1CACBCACB=x2+abx+a22x+b22112ab当=即t=2ab时，cosACB最大值为、 t2aba+b当C的坐标为(ab,0)时，ACB最大值为arccos 第5页 2ab、 a+b 如图，四边形ABCD是正方形，P是对角线BD上的一点，PECF是矩形，用向量法证明 (1)PA=EF (2)PAEF 证明：建立如图所示坐标系，设正方形边长为1， OP=
12、,则A(0，1)，P(F(2，0) 2222，)，E(1，)，222PA=(2222,1), EF=(1, ) 222222)2+(1)2=22+1 22(1)PA2=(EF2=(221)2+()2=22+1 22PA2=EF2,故PA=EF (2) PAEF=(2222)(1)+(1)()=0 2222PAEF PAEF、 已知a=(1,0),b=(2,1). vvvv 求|a+3b|； vvvv当k为何实数时,ka-b与a+3b平行, 平行时它们是同向还是反向？ vvvv解：a+3b= (1,0) + 3(2,1) = ( 7,3) , |a+3b|= 72+32=58. vvak-b=
13、k(1,0)(2,1)=(k2,1). 设ka-b=(a+3b),即(k2,1)= (7,3), 1k=-k-2=73 . 1-1=3=-3vvvv故k= -1时, 它们反向平行. 3 已知|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为求k. 第6页 vvvvvvvv,若向量2a+kb与a+b垂直, 3vvvv1解：ab=|a|b|cos=21=1. 23vvvv2a+kb与a+b垂直, vvvvv(2a+kb)(a+b)= 0, 2a+2ab+kab+kb=0 k = 5. 如果ABC的三边a、b、c满足b2 + c 2 = 5a2,BE、CF分别为AC边与AB上的中线, 求证：BECF. 解： v
14、2vvvvv2vuuur1uuuruuuruuur1uuuruuurBE=(BA+BC),CF=(CB+CA)22uuuruuur1uuuruuuruuuuruuuruuur2uuuruuurBECF=(-BABC+ABAC-BC-CBCA)4r2uuur2uuur21uuur2uuur2uuur2uuur21uuur2uuur2uuur211uuu=-(BA+BC-AC)+(AB+AC-BC)-BC-(CA+CB-BA)4222r2uuur2uuur21221uuu=(AB+AC-5BC)=(b+c-5a2)=0,88uuuruuurBECF, 即 BECF . 是否存在4个平面向量，两两不
15、共线，其中任何两个向量之和均与其余两个向量之和垂直? 解：如图所示，在正ABC中，O为其内心，P为圆周上一点， 满足PA，PB，PC，PO两两不共线，有 (PA+PB)(PC+PO) =(PO+OA+PO+OB)(PO+OC+PO) =(2PO+OA+OB)(2PO+OC) =(2POOC)(2PO+OC) =4PO2OC2 =4PO2OC2=0 第7页 有(PA+PB)与(PC+PO)垂直、 同理证其他情况、从而PA，PB，PC，PO满足题意、故存在这样4个平面向量、 平面向量的综合应用 1利用向量的坐标运算，解决两直线的夹角，判定两直线平行、垂直问题 已知向量OP1,OP2,OP3满足条件
16、OP1+OP2+OP3=0，OP1=OP2=OP3=1，求证：DP1P2P3是正三角形 解：令O为坐标原点，可设Pq1,sinq1),P2(cosq2,sinq2),Pq3,sinq3) 1(cos3(cos由OP1+OP2=-OP3，即(cos1,sin1)+(cos2,sin2)=(-cos3-sin3) cos1+cos2=-cos3 sin+sin=-sin123 两式平方和为1+2cos(1-2)+1=1，cos(1-2)=-0uuuruuur0由此可知q1-q2的最小正角为120，即OP2的夹角为120， 1与OPuuuruuur0同理可得OP1与OP3的夹角为120，OP3的夹角
17、为120， 2与OP01， 2这说明P1,P2,P3三点均匀分部在一个单位圆上， 所以DP1P2P3为等腰三角形. 求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的度数 解：如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为x轴、y 轴建立直角坐标系，设A(2a,0),B(0,2a)，则D(a,0),C(0,a)， 从而可求：AC=(-2a,a),BD=(a,-2a), cos=ACBDACBD(-2a,a)(a,-2a)-4a2=5a5a5a2=-4. 54=arccos-. 52利用向量的坐标运算，解决有关线段的长度问题 第8页 1BC 已知DABC，AD为中线，求证AD=AB2+AC2- 222()2
18、证明：以B为坐标原点，以BC所在的直线为x轴建立如图2直角坐标系， 设A(a,b),C(c,0)，D,0， 2c2c2c2-ac+a2+b2， 则AD=-a+(0-b)=42222BC1AB+AC-. 22212c2c222222=a+b+(c-a)+b-=a+b-ac+， 244BC2221从而AD=AB+AC-， 221BCAD2=AB2+AC2-. 222()23利用向量的坐标运算，用已知向量表示未知向量 AOB=150，BOC=90， 已知点O是DABC内的一点， 00设OA=a,OB=b,OC=c,且a=2,b=1,c=3,试用a,和b表示c. 解：以O为原点，OC，OB所在的直线为
19、x轴和y轴建立如图3所示的坐标系. 由OA=2，AOx=120，所以A2cos1200,2sin1200,即A-1，,3， 易求B(0，-1)，C(3,0)，设 0()()uuuruuuruuurOA=l1OB+l2OC,即-1，3=l1(0，-1)+l2(3,0)，()l=-3-1=3l21，1.3=-l1l2=-3rr1ra=-3b-c. 3 如图， 第9页 uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur00OA=OB=1,OA与OB的夹角为120，OC与OA的夹角为30,OC=5， uuuruuuruuur用OA，OB表示OC. 解：以O为坐标原点，以OA所在的直线为x轴，建立
20、如图所示的直角坐标系，则A(1,0)535， 由COA=300，所以C5cos300,5sin300,即C2，2，()13 同理可求B-2,2uuuruuuruuur53513OC=l1OA+l2OB,即，=l1，0+l221()2-2,2 531031=-121=232，. 3535=22232OC=10353OA+OB. 334利用向量的数量积解决两直线垂直问题 如图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且C1CB=C1CD=BCD. (1)求证：C1CBD. (2)当证明. CD的值为多少时，能使A1C平面C1BD？请给出CC1uuuruuuruuuruuuur
21、(1)证明：设CD=a, CD=b,CC1=c,依题意，|a|=|b|，CD、CB、CC1中两两所成夹角为，于是BD=CD-DB=ab，CC1BD=c(ab)=cacb=|c|a|cos|c|b|cos=0,C1CBD. (2)解：若使A1C平面C1BD，只须证A1CBD，A1CDC1， 由CA1C1D=(CA+AA1)(CD-CC1) =(a+b+c)(ac)=|a|2+abbc|c|2=|a|2|c|2+|b|a|cos|b|c|cos=0,得 第10页 当|a|=|c|时，A1CDC1，同理可证当|a|=|c|时，A1CBD， CD=1时，A1C平面C1BD. CC1 如图，直三棱柱AB
22、CA1B1C1，底面ABC中，CA=CB=1，BCA=90，AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点. (1)求BN的长； (2)求cos的值； (3)求证：A1BC1M. 解：(1)如图，以C为原点建立空间直角坐标系Oxyz. 依题意得：B(0，1，0)，N(1，0，1) |BN|=(1-0)2+(0-1)2+(1-0)2=3. (2)解：依题意得：A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2). BA1=(1,-1,2),CB1=(0，1，2) BA1CB1=10+(1)1+22=3 |BA1|=(1-0)2+(0-1)2+(2-0)2=6 |CB1|=(0-0)2+(1-
23、0)2+(2-0)2=5 cos=BA1CB1|BC1|CB1|=365=30. 10(3)证明：依题意得：C1(0，0，2)，M(,2) 112211C1M=(,0),A1B=(-1,1,-2) 2211A1BC1M=(-1)+1+(-2)0=0,A1BC1M, 22A1BC1M. 5利用向量的数量积解决有关距离的问题，距离问题包括点到点的距离，点的线的距离，点到面的距离，线到线的距离，线到面的距离，面到面的距离. 求平面内两点A(x1,y1),B(x2,y2)间的距离公式 第11页 解：设点A(x1,y1),B(x2,y2) ，AB=(x2-x1,y2-y1) |AB|=(x2-x1)2+
24、(y2-y1)2 ,而|AB|=|AB| 点A与点B之间的距离为：|AB|=(x2-x1)2+(y2-y1)2 6.利用向量的数量积解决线与线的夹角及面与面的夹角问题. 证明: cos(a-b)=cosacosb+sinasinb 证明：在单位圆O上任取两点A,B，以Ox为始边，以OA,OB为终边的角分别为b,a，则A点坐标为(cosb,sinb),B点坐标为(cosa,sina)； 则向量OA=(cosb,sinb),OB=(cosa,sina)，它们的夹角为a-b， |OA|=|OB|=1,OAOB=cosacosb+sinasinb,由向量夹角公式得： cos(-)=OAOB|OA|OB
25、|=cosacosb+sinasinb,从而得证. 注：用同样的方法可证明cos(a+b)=cosacosb-sinasinb 7.利用向量的数量积解决有关不等式、最值问题. 证明柯西不等式(x1+y1)(x2+y2)(x1x2+y1y2)2 2222rr证明：令a=(x1,y1),b=(x2,y2) rrrrrr 当a=0或b=0时，ab=x1x2+y1y2=0，结论显然成立； rrrrrr 当a0且b0时，令q为a,b的夹角，则q0,p rrrr Qab=x1x2+y1y2=|a|b|cosq. 又Q|cosq|1 rrrrrr |ab|a|b| |x1x2+y1y2| 22x1+y1x2
26、+y2 222222 (x1+y1)(x2+y2)(x1x2+y1y2)2. y1y2 第12页 求y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最值 解：原函数可变为y=2+sin2x+cos2x， 所以只须求y=sin2x+cos2x的最值即可， 构造a=sin2x,cos2x,b=1,1， 那么sin2x+cos2x=abab=故ymax=2+2,ymin=2-2. 三角形ABC中，A(5，1)、B(1，7)、C(1，2)，求：(1)BC边上的中线 AM的长；(2)CAB的平分线AD的长；(3)cosABC的值. 解：(1)点M的坐标为xM=2. -1+17+299=0;yM=,M(
27、0,) 2222221. 29|AM|=(5-0)2+(-1-)2=2(2)|AB|=(5+1)2+(-1-7)2=10,|AC|=(5-1)2+(-1-2)2=5 D点分BC的比为2. xD=-1+2117+2211=,yD= 1+231+2311114|AD|=(5-)2+(-1-)2=2. 333(3)ABC是BA与BC的夹角，而BA=(6，8），BC=(2，5）. cosABC=BABC|BA|BC|=62+(-8)(-5)62+(-8)222+(-5)2=521029=2629 145解斜三角形 已知ABC的三个内角A、B、C满足A+C=2B.求cos112+=-，cosAcosCc
28、osBA-C的值. 2解法一：由题设条件知B=60，A+C=120. 第13页 设=A-C，则AC=2，可得A=60+，C=60， 21111所以+=+cosAcosCcos(60+a)cos(60-a) 11cosacosa=+=,1331313cos2a-sin2acos2a-cosa-sinacosa+sina4442222cosacos2a-34=-2, cosB依题设条件有1cosaQcosB=,=-22. 32cos2a-4整理得42cos2+2cos32=0(M) (2cos2)(22cos+3)=0，22cos+30， 2cos2=0.从而得cosA-C2=. 22解法二：由题
29、设条件知B=60，A+C=120 Q-211=-22,+=-22 cos60cosAcosC，把式化为cosA+cosC=22cosAcosC ， 利用和差化积及积化和差公式，式可化为 2cosA+CA-Ccos=-2cos(A+C)+cos(A-C) 22， 将cos11A+C=cos60=，cos(A+C)=代入式得： 222A-C2cos=-2cos(A-C) 22 将cos(AC)=2cos2(A-CA-CA-C)1代入 ：42cos2+2cos32=0，(*)，222A-CA-C(2cos-22)(22cos+3)=0,22A-CA-CA-C2Q22cos+3=0,2cos-2=0,
30、从而得:cos=.2222 第14页 在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北30东，俯角为60的B处，到11时10分又测得该船在岛北60西、俯角为30的C处。 (1)求船的航行速度是每小时多少千米； (2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？ 解：(1)在RtPAB中，APB=60 PA=1，AB=3 (千米) 在RtPAC中，APC=30，AC=在ACB中，CAB=30+60=90 3 (千米) 3BC=AC2+AB2=(301=230(千米/时)363230)+(3)2=33 (2)DAC=9060=30 sinD
31、CA=sin(180ACB)=sinACB=AB=BC3303=310 10sinCDA=sin(ACB30)=sinACBcos30cosACBsin30=310. 10313(33-1)10-1-(10)2= 221020在ACD中，据正弦定理得ADAC， =sinDCAsinCDA3310ACsinDCA9+3310AD= =sinCDA13(33-1)10209+3答：此时船距岛A为千米. 13 已知ABC的三内角A、B、C满足A+C=2B，设x=cosf(x)=cosB(11). +cosAcosCA-C，2(1)试求函数f(x)的解析式及其定义域； (2)判断其单调性，并加以证明；
32、 第15页 (3)求这个函数的值域. 解：(1)A+C=2B，B=60，A+C=120 A+CA-Ccos1cosA+cosC22f(x)=2cosAcosCcos(A+C)+cos(A-C)x2x=2,14x-32-+2x-122cosA-CA-C1|60，x=cos(，1 2223331又4x230，x，定义域为(，)(，1. 22220|(2)设x1x2，f(x2)f(x1)=2x24x2-32-2x14x1-32=2(x1-x2)(4x1x2+3)(4x1-3)(4x22213，若x1，x2(,)，则4x1230，4x2230，4x1x2+322-3)0，x1x20，f(x2)f(x1
33、)0 即f(x2)f(x1)，若x1，x2(3，1，则4x1230. 24x2230，4x1x2+30，x1x20，f(x2)f(x1)0. 313,)和(，1上都是减函数. 22211(3)由(2)知，f(x)f=或f(x)f(1)=2. 22即f(x2)f(x1)，f(x)在(故f(x)的值域为(， 在DABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c若b-c=2acos(60+C)，求角A 1)2，+). 2解：由正弦定理，将已知等式中的边转化为角可得 sinB-sinC=2sinAcos(60+C). 因为A+B+C=，故有sin(A+C)-sinC=sinAcosC-3sinAsinC
34、， cosAsinC-sinC=-3sinAsinC. 又 sinC0, 第16页 cosA+3sinA=1, 1即sinA+=， 62由0Ap，可解得A= 2 3 在ABC中，已知y=2+cosCcos(A-B)-cos2C. 若任意交换A,B,C的位置，y的值是否会发生变化?试证明你的结论； 求y的最大值. 解： y=2+cosCcos(A-B)-cos2C =2-cos(A+B)cos(A-B)-cos2C =2-=2-1(cos2A+cos2B)-cos2C 212cos2A-1+2cos2B-1-cos2C 2()=3-cos2A-cos2B-cos2C =sin2A+sin2B+s
35、in2C， 任意交换A,B,C的位置，y的值不会发生变化 解法1：将y看作是关于cosC的二次函数. y=2+cosCcos(A-B)-cos2C 11=-cosC-cos(A-B)+cos2(A-B)+2. 242所以，当cosC=1cos(A-B)，且cos2(A-B)取到最大值1时，也即A=B=C=时，23y取得最大值 解法2：用调整的方法, 也即对于每个固定的C的值，去调整A,B，求出y取得最大值时A,B所满足的条件 对于y=2+cosCcos(A-B)-cos2C，如果固定C，则可将y看作是关于cos(A-B)的 第17页 94一次或常数函数为了讨论其最大值，显然应该考虑cosC的符
36、号，并由此展开讨论 若cosC0，则A-B0，所以， 2y(A,B,C)=2+cosCcos(A-B)-cos2C2-cos2C=2-cos2(-C)2+cos(-C)-cos2(-C)CC=2+cos(-C)cos-cos2(-C)22CC=y,-C22所以，只需考虑cosC0的情形此时y是关于cos(A-B)的常数函数或单调递增的一次函数，因此，最大值必可在cos(A-B)=1时取得所以， 22199y=2+cosCcos(A-B)-cosC2+cosC-cosC=-cosC-+， 24422等号当且仅当A=B=C= 六、专题练习 时取得 3一、选择题： 1、下列各式中正确的是 (a) b
37、=(a b)=a (b), |ab|=|a|b|, (a b) c=a (b c), (a+b) c= ac+bc A B C D以上都不对. 2、在ABC中,若(CA+CB)(CACB)=0,则ABC为 A正三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D无法确定 3、若|a|=|b|=|ab|,则b与a+b的夹角为 A30 B60 C150 D120 第18页 4、已知|a|=1,|b|=2 ,且(ab)和a垂直,则a与b的夹角为 A60 B30 C135 D45 5、若ABBC + AB= 0,则ABC为 A直角三角形 B钝角三角形 C锐角三角形 D等腰直角三角形 26、设|a|= 4,|b|=
38、3, 夹角为60, 则|a+b|等于 A37 B13 C37 D13 7、己知|a|=1,|b|=2, a与b的夹角为600,c =3a+b, d =ab ,若cd,则实数的值为 (ab)c(ca)b=0 |a| |b| |ab| (bc)a(ca)b不与c垂直 (3a+2b)(3a2b)= 9|a|24|b|2 其中真命题 A B C D 二、填空题： 9、已知e是单位向量,求满足ae且ae=18的向量a=_.18e 10、设a=(m+1)i3j, b=i+(m1)j, (a+b) (ab), 则m=_.2 11、|a|=5, |b|=3,|ab|=7,则a、b的夹角为_. 120 12、
39、a与d=ba(ab)|a|2关系为_. ab 三、解答题： 13、已知| a|=4,|b|=5,|a+b|=21 ,求： ab ；(2ab) (a+3b) 解：|a+b|2=2=a2+2ab+b2=|a|2+2ab+|b|2， rrb=|ra+rb|2-|ra|2-|rb|2a2=21-16-252=-10. =2a2+5ab3b2=2|a|2+5ab3|b|2 =242+5352=93. 第19页 ） 是 14、四边形ABCD中,AB= a, BC= b,CD= c, DA= d,且ab=bc=cd=d a，判断四边形ABCD是什么图形？ 分析：在四边形ABCD中，a+b+c+d=0，这是一
40、个隐含条件， 对a+b=，两边平方后，用ab=bc=dc代入， 从四边形的边长与内角的情况来确定四边形的形状. 解：a+b+c+d=0，a+b=， 2=2，即|a|2+2ab+|b|2=|c|2+2cd+|d|2， ab=cd，|a|2+|b|2=|c|2+|d|2 同理：|a|2+|d|2=|b|2+|c|2 ，两式相减得：|b|2=|d|2，|a|2=|c|2，即|b|=|d|，|a|=|c|. ABCD为平行四边形. 又ab=bc，即b=0，而a=c， b=0 ab， 四边形ABCD为矩形. 15、已知：|a|=5,|b|=4,且a与b的夹角为60,问当且仅当k为何值时,向量kab与 a+2b 垂直？ 解：Q(ka-b)(a+2b) (ka-b)(a+2b)=0,即ka+(2k-1)ab-2b=0,k5+(2k-1)54cos60-24=0k=14. 152222一、选择题 1.设A、B、C、D四点坐标依次是(1，0)，(0，2)，(4，3)，(3，1)，则四边形ABCD为( ) A.正方形 C.菱形 B.矩形 D.平行四边形 第
