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1、高二数学上册各章节知识点总结不等式单元知识总结 一、不等式的性质 1两个实数a与b之间的大小关系 (1)ab0ab；(2)ab=0a=b；(3)ab0ab a(4)b1ab；若 a、bR+，则(5)ab=1a=b；(6)ab1ab 2不等式的性质 (1)abba(对称性) (2)ab bc ac(传递性) (3)abacbc(加法单调性) abc0 acbc (4) (乘法单调性) ab c0 acbc (5)abcacb(移项法则) (6)abcdacbd(同向不等式可加) (7)abcdacbd(异向不等式可减) (8)ab0cd0acbd(同向正数不等式可乘) 1 (9)ab00cdab
2、cd(异向正数不等式可除)(10)ab0nnnNab(正数不等式可乘方) (11)ab0N nannb(正数不等式可开方)(12)ab01a1b(正数不等式两边取倒数) 3绝对值不等式的性质 (1)|a|a；|a|=a (a0)，a (a0) (2)如果a0，那么 |x|ax2a2axa； |x|ax2a2xa或xa (3)|ab|a|b| (4)|ab|a|b| (b0)(5)|a|b|ab|a|b| (6)|a1a2an|a1|a2|an| 二、不等式的证明 1不等式证明的依据 (1)实数的性质：a、b同号ab0；a、b异号ab0ab0ab；ab0ab；ab=0a=b(2)不等式的性质(略
3、) (3)重要不等式：|a|0；a20；(ab)20(a、bR) a2b22ab(a、bR，当且仅当a=b时取“=”号) a+bab(a、bR+2，当且仅当a=b时取“=”号) 2不等式的证明方法 (1)比较法：要证明ab(ab)，只要证明ab0(ab0)，这种证明不等式的方 2 法叫做比较法 用比较法证明不等式的步骤是：作差变形判断符号 (2)综合法：从已知条件出发，依据不等式的性质和已证明过的不等式，推导出所要证明的不等式成立，这种证明不等式的方法叫做综合法 (3)分析法：从欲证的不等式出发，逐步分析使这不等式成立的充分条件，直到所需条件已判断为正确时，从而断定原不等式成立，这种证明不等式
4、的方法叫做分析法 证明不等式除以上三种基本方法外，还有反证法、数学归纳法等 三、解不等式 1解不等式问题的分类 (1)解一元一次不等式 (2)解一元二次不等式 (3)可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式 解一元高次不等式； 解分式不等式； 解无理不等式； 解指数不等式； 解对数不等式； 解带绝对值的不等式； 解不等式组 2解不等式时应特别注意下列几点： (1)正确应用不等式的基本性质 (2)正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性 (3)注意代数式中未知数的取值范围 3不等式的同解性 (1)f(x)g(x)0与 f(x)0 g(x)0 或f(x)0同解 g(x)0 (2)f(x)g(x
5、)0与f(x)0f(x)0g(x)0 或同解g(x)0 3 f(x)0f(x)0f(x)(3)0与 或同解(g(x)0)g(x)g(x)0g(x)0 f(x)0f(x)0f(x)(4)0与 或 同解(g(x)0)g(x)g(x)0g(x)0 (5)|f(x)|g(x)与g(x)f(x)g(x)同解(g(x)0) (6)|f(x)|g(x)与f(x)g(x)或f(x)g(x)(其中g(x)0)同解；与g(x)0同解 f(x)g(x)2 (7)f(x)g(x)与 f(x)0或f(x)0g(x)同解g(x)00 (8)f(x)g(x)与f(x)g(x)20同解f(x) (9)当a1时，af(x)ag
6、(x)与f(x)g(x)同解，当0a1时，af(x)ag(x)与f(x)g(x)同解 (10)当a1时，logf(x)g(x)af(x)logag(x)与同解f(x)0 f(x)g(x)当0a1时，logaf(x)logag(x)与 f(x)0同解g(x)0 单元知识总结 一、坐标法 1点和坐标 建立了平面直角坐标系后，坐标平面上的点和一对有序实数(x，y)建立了一一对应的关系 2两点间的距离公式 设两点的坐标为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则两点间的距离 |P1P2|=(x2-x1)2+(y2-y1)2 4 特殊位置的两点间的距离，可用坐标差的绝对值表示： (1)当x1=x2时(两
7、点在y轴上或两点连线平行于y轴)，则 |P1P2|=|y2y1| (2)当y1=y2时(两点在x轴上或两点连线平行于x轴)，则 |P1P2|=|x2x1| 3线段的定比分点 (1)定义：设P点把有向线段P1P2分成P1P和PP2两部分，那么有向线段P1P和PP2的数量的比，就是P点分P1P2所成的比，通常用表示，即=P1PPP，点P叫做分线段P1P2为定比的定比分点2当P点内分P1P2时，0；当P点外分P1P2时，0 (2)公式：分P1(x1，y2)和P2(x2，y2)连线所成的比为的分点坐标是 x=x1+x21+(-1)y=y1+y21+ 特殊情况，当P是P1P2的中点时，=1，得线段P1P
8、2的中点坐标 公式 x=x1+x22y=y1+y22 二、直线 1直线的倾斜角和斜率 (1)当直线和x轴相交时，把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角，叫做这条直线的倾斜角 当直线和x轴平行线重合时，规定直线的倾斜角为0 所以直线的倾斜角0，) (2)倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜 5 率，直线的斜率常用k表示，即k=tan(2)当k0时，=arctank(锐角) 当k0时，=arctank(钝角) (3)斜率公式：经过两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线的斜率为 k=y2-y1x-x(x1x2)21 2直线的方程 (1)点斜式 已知直线
9、过点(x0，y0)，斜率为k，则其方程为：yy0=k(xx0) (2)斜截式 已知直线在y轴上的截距为b，斜率为k，则其方程为：y=kxb (3)两点式 已知直线过两点(x1，y1)和(x2，y2)，则其方程为： y-y1y=x-x1-x(x1x2)2-y1x21 (4)截距式 已知直线在x，y轴上截距分别为a、b，则其方程为： xya+b=1 (5)参数式 已知直线过点P(x0，y0)，它的一个方向向量是(a，b)， 则其参数式方程为x=x0+aty=y(t为参数)，特别地，当方向向量为0+bt v(cos，sin)(为倾斜角)时，则其参数式方程为 x=x0+tcos=y(t为参数)y0+t
10、sin 这时，t的几何意义是tv=p0p，|t|=|p0p|=|p0p| (6)一般式 AxByC=0 (A、B不同时为0) (7)特殊的直线方程 垂直于x轴且截距为a的直线方程是x=a，y轴的方程是x=0 垂直于y轴且截距为b的直线方程是y=b，x轴的方程是y=0 3两条直线的位置关系 (1)平行：当直线l1和l2有斜截式方程时，k1=k2且b1b2 6 ABC当l11和l2是一般式方程时，1A=12B2C2 (2)重合：当l1和l2有斜截式方程时，k1=k2且b1=b2，当l1和l2是 一般方程时，A1B1C1A=2B2C2 (3)相交：当l1，l2是斜截式方程时，k1k2 当llA2B1
11、1，2是一般式方程时，A2B2 交点：A1x+B1y+C1=0A2x+B2y+C2=0的解斜到角：ltan=k2-k11到l2的角(1+k1k2交1+k1k0)2夹角公式：l和l夹角tan=|k2-k1|(1+k121+k1k20)1k2 垂直当l1和l2有叙截式方程时，k1k2=1当l1和l2是一般式方程时，A1A2B1B2=0 4点P(x0，y0)与直线l：AxByC=0的位置关系： Ax0By0C=0P在直线l上(点的坐标满足直线方程)Ax0By0C0P在直线l外 点P(x0，y0)到直线l的距离为：d=|Ax0+By0+C|A2+B25两条平行直线l1AxByC1=0，l2AxByC2
12、=0间 的距离为：d=|C1-C2|A2+B26直线系方程 具有某一共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程的特点是除含坐标变量x，y以外，还含有特定的系数(也称参变量) 确定一条直线需要两个独立的条件，在求直线方程的过程中往往先根据一个条件写出所求直线所在的直线系方程，然后再根据另一个条件来确定其中的参变量 (1)共点直线系方程： 7 经过两直线l1A1xB1yC1=0，l2A2xB2yC2=0的交点的直线系方程为：A1xB1yC1(A2xB2yC2)=0，其中是待定的系数 在这个方程中，无论取什么实数，都得不到A2xB2yC2=0，因此它不表示l2当=0时，即得A1xB1yC1=0，此
13、时表示l1 (2)平行直线系方程：直线y=kxb中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程与直线AxByC=0平行的直线系方程是AxBy=0(C)，是参变量 (3)垂直直线系方程：与直线AxByC=0(A0，B0)垂直的直线系方程是：BxAy=0 如果在求直线方程的问题中，有一个已知条件，另一个条件待定时，可选用直线系方程来求解 7简单的线性规划 (1)二元一次不等式AxByC0(或0)表示直线AxByC=0某一侧所有点组成的平面区域 二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，即各个不等式所表示的平面区域的公共部分 (2)线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最
14、大值或最小值的问题，称为线性规划问题， 例如，z=axby，其中x，y满足下列条件： A1xB1yC10(或0)A2xB2yC20(或0)(*)AnxBnxCn0(或0)求z的最大值和最小值，这就是线性规划问题，不等式组(*)是一组对变量x、y的线性约束条件，z=axby叫做线性目标函数满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，使线性目标函数取得最大值和最小值的可行解叫做最优解 三、曲线和方程 1定义 在选定的直角坐标系下，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)=0的实数解 8 建立了如下关系： (1)曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)=0的解(一点
15、不杂)； (2)以方程f(x，y)=0的解为坐标的点都是曲线C上的点(一点不漏) 这时称方程f(x，y)=0为曲线C的方程；曲线C为方程f(x，y)=0的曲线(图形) 设P=具有某种性质(或适合某种条件)的点，Q=(x，y)|f(x，y)=0，若设点M的坐标为(x0，y0)，则用集合的观点，上述定义中的两条可以表述为： (1)MP(x0，y0)Q，即PQ；(2)(x0，y0)QMP，即QP 以上两条还可以转化为它们的等价命题(逆否命题)： (1)(x0，y0)QMP；(2)MP(x0，y0)Q 显然，当且仅当PQ且QP，即P=Q时，才能称方程f(x，y)=0 为曲线C的方程；曲线C为方程f(x
16、，y)=0的曲线(图形) 2曲线方程的两个基本问题 (1)由曲线(图形)求方程的步骤： 建系，设点：建立适当的坐标系，用变数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；立式：写出适合条件p的点M的集合p=M|p(M)； 代换：用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)=0； 化简：化方程f(x，y)=0为最简形式； 证明：以方程的解为坐标的点都是曲线上的点 上述方法简称“五步法”，在步骤中若化简过程是同解变形过程；或最简方程的解集与原始方程的解集相同，则步骤可省略不写，因为此时所求得的最简方程就是所求曲线的方程 (2)由方程画曲线(图形)的步骤： 讨论曲线的对称性(关于x轴、y轴和原点)； 求截
17、距： 方程组f(x，y)=0y=0的解是曲线与x轴交点的坐标； 9 方程组f(x，y)=0x=0的解是曲线与y轴交点的坐标；讨论曲线的范围； 列表、描点、画线 3交点 求两曲线的交点，就是解这两条曲线方程组成的方程组 4曲线系方程 过两曲线f1(x，y)=0和f2(x，y)=0的交点的曲线系方程是f1(x，y)f2(x，y)=0(R) 四、圆 1圆的定义 平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆 2圆的方程 (1)标准方程(xa)2(yb)2=r2(a，b)为圆心，r为半径 特别地：当圆心为(0，0)时，方程为x2y2=r2 (2)一般方程x2y2DxEyF=0 配方(x+D2E2D22
18、)+(y+2)=+E2-4F4 当D2E24F0时，方程表示以(DE2，2)为圆心，以12D2+E2-4F为半径的圆； 当D2E24F=0时，方程表示点(D2，E2) 当D2E24F0时，方程无实数解，无轨迹 (3)参数方程 以(a，b)为圆心，以r为半径的圆的参数方程为 x=a+rcosy=b+rsin(为参数) 特别地，以(0，0)为圆心，以r为半径的圆的参数方程为 10 x=rcosy=rsin(为参数) 3点与圆的位置关系 设点到圆心的距离为d，圆的半径为r (1)点在圆外dr；(2)点在圆上d=r；(3)点在圆内dr 4直线与圆的位置关系 设直线l：AxByC=0和圆C：(xa)2(
19、yb)2=r2，则 d=|Aa+Bb+C|A2+B2(1)相交直线与圆的方程组成的方程组有两解，0或dr；(2)相切直线与圆的方程组成的方程组有一组解，=0或d=r；(3)相离直线与圆的方程组成的方程组无解，0或dr5求圆的切线方法 (1)已知圆x2y2DxEyF=0 若已知切点(x0，y0)在圆上，则切线只有一条，其方程是 xD(x+x0)E(y+0x=y0y+2+y0)2+F=0 当(xx0+xy0+y0，y0)在圆外时，x0xy0yD(2)E(2)F=0表示 过两个切点的切点弦方程 若已知切线过圆外一点(x0，y0)，则设切线方程为yy0=k(xx0)，再利用相切条件求k，这时必有两条切
20、线，注意不要漏掉平行于y轴的切线 若已知切线斜率为k，则设切线方程为y=kxb，再利用相切条件求b，这时必有两条切线 (2)已知圆x2y2=r2 若已知切点P0(x0，y0)在圆上，则该圆过P0点的切线方程为x0xy0y=r2 已知圆的切线的斜率为k，圆的切线方程为y=kxrk2+1 6圆与圆的位置关系 已知两圆圆心分别为O1、O2，半径分别为r1、r2，则 11 (1)两圆外切|O1O2|=r1r2；(2)两圆内切|O1O2|=|r1r2|；(3)两圆相交|r1r2|O1O2|r1r2 单元知识总结 一、圆锥曲线 1椭圆 (1)定义 定义1：平面内一个动点到两个定点F1、F2的距离之和等于常
21、数(大于|F1F2|)，这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点) 定义2：点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常 数eca(0e1)时，这个点的轨迹是椭圆(2)图形和标准方程 81的标准方程为：x2y2图a2b21(ab0)82的标准方程为：x2y2图b2a21(ab0)(3)几何性质 12 条件M|MF1|+|MF2|=2a，2a|F1F2|MF|MF|M|1|点M到l=21的距离 点M到le，0e12的距离=标准方程x22+y2=1(abx2ya2b20)b2+a2=1(ab0)顶点A1(a，0)，A2(a，0)A1(0，a)，A2(0，a)B1(0，b)，B2(0，b)B1(
22、b，0)，B2(b，0)轴对称轴：x轴，y轴长轴长|A1A2|=2a，短轴长|B1B2|=2b焦点F1(c，0)，F2(c，0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F2|=2c(c0)，c2=a2b2离心率eca(0e1)准线方程la21：x-c；la22：xcl：y-a2a21c；l2：yc焦点半径|MF1|aex0，|MF1|aey0，|MF2|aex0|MF2|aey0外点和椭圆x20y20的关系a2+b2=1(x0,y0)在椭圆上内(k为切线斜率)，(k为切线斜率)，ykxa2k2+b2ykxb2k2+a2切线方程x0xx0xy0ya2y0yb21b2a21(x0，y0)为切点(x
23、0，y0)为切点切点弦(xx0x，y0y)在椭圆外(x00yx0，y0)在椭圆外0x方程a2b21b2y0ya21|x12x1|1+k2或|y1y2|1+弦长公式k2其中(x1，y1)，(x2，y2)为割弦端点坐标，k为割弦所在直线的斜率2双曲线 (1)定义 定义1：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线(这两个定点叫双曲线的焦点) 13 定义2：动点到一定点的距离与它到一条定直线的距离之比是常数e(e1)时，这个动点的轨迹是双曲线(这定点叫做双曲线的焦点) (2)图形和标准方程 图83的标准方程为： x2y2a2b21(a0，b0) 图8
24、4的标准方程为： y2a2x2b21(a0，b0) (3)几何性质 14 PM|MF1|MF2|2a，a0，2a|F1F2|条件PM|MF1|MF2|点M到lM到le，e11的距离点2的距离标准方程x2y2y2x2a2b21(a0，b0)a2b21(a0，b0)顶点A1(a，0)，A2(a，0)A1(0，a)，A2(0，a)轴对称轴：x轴，y轴，实轴长|A1A2|2a，虚轴长|B1B2|2b焦点F1(c，0)，F2(c，0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F2|2c(c0)，c2a2b2离心率eca(e1)a2a22准线方程l1：xc；laa22：xcl1：yc；l2：yc渐近线2yb
25、yyay2x方 程ax(或x22a2b20)bx(或a2b20)共渐近线的双曲线x2y2x2系方程a2y2b2k(k0)a2b2k(k0)焦点半径|MF1|ex0a，|MF1|ey0a，|MFy2kx|ex0a2k2a-b2|MFy2kx|ey0b2ka2-a2(k为切线斜率)(k为切线斜率)kb或kbka或ka切线方程x0xaay0ybxba2y0yb21a20xb21(x0，y0)为切点(x0，y0)为切点xya2的切线方程：x0y+y0x2a2(x0，y0)为切点切点弦(x0，y0)在双曲线外(x0，y0)在双曲线外方 程x0xy0ya2y0yb21a2x0xb21|x12x1|1+k2
26、或|y1y2|1+k2弦长公式其中(x1，y1)，(x2，y2)为割弦端点坐标，k为割弦所在直线的斜率3抛物线 (1)定义 15 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线 (2)抛物线的标准方程，类型及几何性质，见下表： 抛物线的标准方程有以下特点：都以原点为顶点，以一条坐标轴为对称轴；方程不同，开口方向不同；焦点在对称轴上，顶点到焦点的距离等于顶点到准线距离 p的几何意义：焦点F到准线l的距离 弦长公式：设直线为ykxb抛物线为y22px，|AB|1+k2 |x2x1|1+1k2|y2y1| 焦点弦长公式：|AB|px1
27、x2 4圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义 与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线，定点叫做焦点，定直线叫做准线、常数叫做离心率，用e表示，当0e1时，是椭圆，当e1时，是双曲线，当e1时，是抛物线 二、利用平移化简二元二次方程 1定义 缺xy项的二元二次方程Ax2Cy2DxEyF0(A、C不同时为0)，通过配方和平移，化为圆型或椭圆型或双曲线型或抛物线型方程的标准形式的过程，称为利用平移化简二元二次方程 AC是方程为圆的方程的必要条件 A与C同号是方程为椭圆的方程的必要条件 A与C异号是方程为双曲线的方程的必要条件 A与C中仅有一个为0是方程为
28、抛物线方程的必要条件 2对于缺xy项的二元二次方程： Ax2Cy2DxEyF0(A，C不同时为0)利用平移变换，可把圆锥曲线的一般 16 方程化为标准方程，其方法有：待定系数法；配方法 椭圆：(x-h)2(y-k)2(x-h)2(a2b21或y-k)2b2a21中心O(h，k) (x-h)2(y-k)2(y-k)2(x-h)2双曲线：a2b21或a2b21中心O(h，k) 抛物线：对称轴平行于x轴的抛物线方程为 (yk)22p(xh)或(yk)22p(xh)， 顶点O(h，k) 对称轴平行于y轴的抛物线方程为：(xh)22p(yk)或(xh)22p(yk) 顶点O(h，k) 以上方程对应的曲线按向量a(h，k)平移，就可将其方程化为圆锥曲线的标准方程的形式 17
