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1、高二数学选修21知识点总结高二数学选修21知识点 第一章 常用逻辑用语 1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句； 假命题：判断为假的语句. 2、“若p，则q”形式的命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论. 3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p，则q”，它的逆命题为“若q，则p”. 4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称
2、为原命题的否命题. 若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若p，则q”. 5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题. 若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若q，则p”. 6、四种命题的真假性： 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 真 假 假 假 假 四种命题的真假性之间的关系： (1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； (2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系 7、若pq，则p是q的充分条件，q是
3、p的必要条件 若pq，则p是q的充要条件 8、用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作pq 当p、q都是真命题时，pq是真命题； 当p、q两个命题中有一个命题是假命题时，pq是假命题 用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作pq 当p、q两个命题中有一个命题是真命题时，pq是真命题； 当p、q两个命题都是假命题时，pq是假命题 对一个命题p全盘否定，得到一个新命题，记作p 快乐的学习,快乐的考试! 1 若p是真命题，则p必是假命题；若p是假命题，则p必是真命题 9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“”表示 含有全称量词的命题称
4、为全称命题 全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”，记作“xM，p(x)” 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“$”表示 含有存在量词的命题称为特称命题 特称命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”，记作“$xM，p(x)” 10、全称命题p：xM，p(x)，它的否定p：$xM，p(x) 全称命题的否定是特称命题 第二章 圆锥曲线与方程 11、平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹称为椭圆这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距 12、椭圆的几何性质： 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 顶点 轴长 焦点 焦
5、距 对称性 离心率 准线方程 x2y2+=1(ab0) a2b2-axa且-byb A1(-a,0)、A2(a,0) B1(0,-b)、B2(0,b) F1(-c,0)、F2(c,0) y2x2+=1(ab0) a2b2-bxb且-aya A1(0,-a)、A2(0,a) B1(-b,0)、B2(b,0) F1(0,-c)、F2(0,c) 短轴的长=2b 长轴的长=2a F1F2=2c(c2=a2-b2) 关于x轴、y轴、原点对称 cb2e=1-2(0e0)上，焦点为F，则RF=x0+p； 23 yx-=1(a0,b0) 22aby-a或ya，xR A1(0,-a)、A2(0,a) F1(0,
6、-c)、F2(0,c) 22xy-=1(a0,b0) 22abx-a或xa，yR A1(-a,0)、A2(a,0) F1(-c,0)、F2(c,0) 22虚轴的长=2b 实轴的长=2a F1F2=2c(c2=a2+b2) 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称 cb2e=1+2(e1) aaa2x= cby=x aa2y= cay=x bMF1d1=MF2d2=e 快乐的学习,快乐的考试! 若点R(x0,y0)在抛物线y2=-2px(p0)上，焦点为F，则RF=-x0+若点R(x0,y0)在抛物线x2=2py(p0)上，焦点为F，则RF=y0+p； 2p； 2p若点R(x0,y0)在抛物线x2=
7、-2py(p0)上，焦点为F，则RF=-y0+ 221、抛物线的几何性质： y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py 标准方程 (p0) (p0) (p0) (p0) 图形 顶点 (0,0) x轴 pF,0 2pF-,0 2pF0, 2对称轴 y轴 pF0,- 2焦点 准线方程 x=-p 2x=p 2y=-p 2y=p 2离心率 e=1 范围 x0 x0 y0 y0 第三章 空间向量与立体几何 22、空间向量的概念： (1)在空间，具有大小和方向的量称为空间向量 (2)向量可用一条有向线段来表示有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向 uuuruuur，记作
8、AB (3)向量AB的大小称为向量的模(4)模为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量 (5)与向量a长度相等且方向相反的向量称为a的相反向量，记作-a (6)方向相同且模相等的向量称为相等向量 快乐的学习,快乐的考试! 4 rrr23、空间向量的加法和减法： 它遵循平行四边(1)求两个向量和的运算称为向量的加法，rr形法则即：在空间以同一点O为起点的两个已知向量a、b为uuurr邻边作平行四边形OACB，则以O起点的对角线OC就是a与r这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则 b的和，它遵循三角形法(2)求两个向量差的运算称为向量的减法，uuurrruuurrrruuu则即：在
9、空间任取一点O，作O则BA=a-b A=a，OB=b，rrrr24、实数l与空间向量a的乘积la是一个向量，称为向量的数乘运算当l0时，la与a方rrrrrr向相同；当l0时，la与a方向相反；当l=0时，la为零向量，记为0la的长度是a的长度的l倍 rr25、设l，m为实数，a，b是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律 rrrrrr分配律：la+b=la+lb；结合律：l(ma)=(lm)a ()26、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线 rrrrr27、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a，bb0，
10、a/b的充要条件是存在实数()rrl，使a=lb 28、平行于同一个平面的向量称为共面向量 29、向量共面定理：空间一点R位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对x，y，使uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurAR=xAB+yAC；或对空间任一定点O，有OR=OA+xAB+yAC；或若四点R，A，B，C共uuuruuuruuuruuur面，则OR=xOA+yOB+zOC(x+y+z=1) uururrruuurrrA=a，OB=b，30、已知两个非零向量a和b，在空间任取一点O，作O则AOB称为向量a，rrrrrb的夹角，记作a,b两个向量夹角的取值范围是：a,b0,p 快
11、乐的学习,快乐的考试! 5 rrrrprrrr31、对于两个非零向量a和b，若a,b=，则向量a，b互相垂直，记作ab 2rrrrrrrrrra,b称为a，b的数量积，记作ab即32、已知两个非零向量a和b，则abcosrrrrrrab=abcosa,b零向量与任何向量的数量积为0 rrrrrrrrr33、ab等于a的长度a与b在a的方向上的投影bcosa,b的乘积 rrr34、若a，b为非零向量，e为单位向量，则有: (1)ea=ae=acosa,e； rrrr2()abab=0； rrrrrrr2rrrrraba与b同向，aa=a，a=aa； (3)ab=rrrr-aba与b反向rrrrr
12、rrabr(4)cosa,b=rr；(5)abab abrrrrrrr()()35、向量数乘积的运算律： rrrrrrrrrrrrrrrrr(1)ab=ba； (2)(la)b=lab=alb； (3)a+bc=ac+bc ()()()rrrr36、若i，j，k是空间三个两两垂直的向量，则对空间任一向量p，存在有序实数组x,y,z，rrrrrrrrrrrp=xi+yj+zk使得，称xi，yj，zk为向量p在i，j，k上的分量 rrrr37、空间向量基本定理：若三个向量a，b，c不共面，则对空间任一向量p，存在实数组rrrrx,y,z，使得p=xa+yb+zc rrr38、若三个向量a，b，c不
13、共面，则所有空间向量组成的集合是 rrrrrrrrrrra,b,c称为空间的b这个集合可看作是由向量，生成的，acpp=xa+yb+zc,x,y,zRrrr一个基底，a，b，c称为基向量空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 快乐的学习,快乐的考试! 6 uruurur39、设e1，e2，e3为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量，uruurururuurur以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立r空间直角坐标系Oxyz则对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重uruururuuurrrr合，得到向量OR
14、=p存在有序实数组x,y,z，使得p=xe1+ye2+ze3把x，y，z称作向量puruururrr在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p=(x,y,z)此时，向量p的坐标是点R在空间直角坐标系Oxyz中的坐标(x,y,z) rr40、设a=(x1,y1,z1)，b=(x2,y2,z2)，则: rrrr(1)a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2) (2)a-b=(x1-x2,y1-y2,z1-z2) (3)la=(lx1,ly1,lz1) rr(4)ab=x1x2+y1y2+z1z2 rrrrrr(5)若a、b为非零向量，则abab=0x1x2+y1y2+z1z2=0 rrrr
15、rr6a/ba=lbx1=lx2,y1=ly2,z1=lz2 若，则()b0rrra=aa=x12+y12+z12 rrrxx+yy+zzabr(8)cosa,b=rr=212221221222 abx1+y1+z1x2+y2+z2r(7)(9)A(x1,y1,z1)，B=(x2,y2,z2)，则dABuuur=AB=(x2-x1)+(y2-y1)+(z2-z1)222 uuur41、在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点R的位置可以用向量OR来表示向uuur量OR称为点R的位置向量 42、空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定点A是直线l上uuurrr一点
16、，向量a表示直线l的方向向量，则对于直线l上的任意一点R，有AR=ta，这样点A和向量ra不仅可以确定直线l的位置，还可以具体表示出直线l上的任意一点 43、空间中平面a的位置可以由a内的两条相交直线来确定设这两条相交直线相交于点O，uuurrrrr它们的方向向量分别为a，bR为平面a上任意一点，存在有序实数对(x,y)，使得OR=xa+yb，rr这样点O与向量a，b就确定了平面a的位置 快乐的学习,快乐的考试! 7 rr44、直线l垂直a，取直线l的方向向量a，则向量a称为平面a的法向量 rr45、若空间不重合两条直线a，b的方向向量分别为a，b，则: rrrrrrrra/ba/ba=lb(
17、lR)，ababab=0 rrr46、若直线a的方向向量为a，平面a的法向量为n，且aa，则a/aa/a rrrrrrrrranan=0，aaaaa/na=ln rrrr47、若空间不重合的两个平面a，b的法向量分别为a，b，则a/ba/b rrrrrra=lb，ababab=0 rrabrr48、设异面直线a，b的夹角为q，方向向量为a，b，其夹角为j，则有cosq=cosj=rr abrrrr49、设直线l的方向向量为l，平面a的法向量为n，l与a所成的角为q，l与n的夹角为j，rrln则有sinq=cosj=rr lnuruururuur50、设n1，n2是二面角a-l-b的两个面a，b的法向量，则向量n1，n2的夹角uruurn1n2就是二面角的平面角的大小若二面角a-l-b的平面角为q，则cosq=uruur n1n2uuuruuur51、点A与点B之间的距离可以转化为两点对应向量AB的模AB计算 r52、在直线l上找一点R，过定点A且垂直于直线l的向量为n，则定点A到直线l的距离为uuurrRAnuuuruuurrd=RAcosRA,n=r nr53、点R是平面a外一点，A是平面a内的一定点，n为平面a的一个法向量，则点R到平面uuurrRAnuuuruuurra的距离为d=RAcosRA,n=r n快乐的学习,快乐的考试! 8
