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1、高等数学小结第一章 函数与极限 重要的知识点： 1） 函数的左右极限 xx0+f(x)=e在x=0处的左右极限：lime=0，lime=+； x0-x0+1x1xf(x)=arctanx当x-;x+；x的极限： x+limarctanx=p2；x-limarctanx=-p2；limarctanxx不存在 2） 极限存在的夹逼准则，如lim(n12n+L+) n2+n+1n2+n+2n2+n+n单调有界准则，如：判断下列数列是否收敛，若收敛，则求出极限： 设a为正常数，x00，xn+1=1a(xn+) 2xn3） 两个重要极限：limsinx=1 x0x11x lim(1+)=e；lim(1+
2、x)x=e xx0x4） 无穷小量： 特别：有界函数与无穷小量的积仍为无穷小； xx0xxxx 无穷小的阶的比较：a,b是无穷小 b=0，则b是比a的高阶无穷小，记b=o(a)； ab=c0，则b与a是同阶无穷小，bca 同阶：若limab=1，则b是a的等价无穷小，ab 等价：若lima高阶：若lim k阶：若f(x)=c0，则f(x)是x-x0的k价无穷小 xx0(x-x)k0lim 等价无穷小的替换 常用的等价无穷小： 当x0时，xsinx； xtanx；xarcsinx；xarctanx x21-cosx2 e5） 连续：若x1+；ln(x)x；n1+x-11x n-1x； xx0li
3、mf(x)=f(x0)，则f(x)在x=x0处连续 6） 间断点的定义：若1）或2）右极限不存在；或或3）则f(x)在x=x0处无定义； f(x)在x=x0处无极限； f(x)在x=x0处左右极限存在且相等但不等于函数值f(x0)， f(x)在x=x0处间断。 7） 间断点的分类：左右极限存在的间断点称第一类间断点；其余的间断点称第二类间断点。 在第一类间断点中，1）在xf(x)在x=x0处的左极限、右极限都存在，但不相等的间断点为跳跃间断点；2）f(x)=x0处左右极限存在且相等但不等于函数值f(x0)，或无定义的间断点为可去间断点。 8） 根的存在定理或零值点定理 定理：若使f(x)在闭区
4、间a,b上连续，且f(a)f(b)0，则至少存在一点x(a,b)， f(x)=0。 2一些结论：1）等比级数求和a+aq+aq+L+aqn-1a(1-qn)=(q1) 1-q 2）当q1时，limqn=0 na0b,n=mnn-1a0x+a1x+L+an-1x+an0=0,nmv(x)=a0(常数）=ab ，limv(x)=b(有限常数），则limu(x)xx0 4）若limu(x)xx0xx0第二章 导数与微分 重要的知识点： 1）导数在一点x0处的定义：f(x0)=limDx0f(x0+Dx)-f(x0)； Dx2）点x0处的左右导数的定义与记号： 左导数f-(x0)=lim-Dx0f(x
5、0+Dx)-f(x0)Dxf(x0+Dx)-f(x0)Dx右导数f+(x0)=lim+Dx03）分段函数在分界点处的导数必须用导数的定义或左右导数的定义做 4）基本导数公式P56页与导数的四则运算法则P51页 5）微分基本公式P66页与微分运算法则，微分不变性 y=f(x)的微分：dy=f(x)dx 6）高阶导数： (ax(n)=(lna)nax;np);2(ex)(n)=ex (cosx)(n)=cos(x+np) 2(sinx)(n)=sin(x+7）隐函数求导方法 8）对数求导法 9）参数方程确定的函数的导数、二阶导数 x=j(t)dyy(t)=如 ，可导时：，求二阶导数时，应把t看成中
6、间变量。 dxj(t)y=y(t)10）曲线在点的切线方程与法线方程的求法 第三章 中值定理与导数的应用要点 知识点： 1）三个中值定理； 罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 2）单调区间与极值的判定 一般方法：定义域； 求一阶导数，求不可导点与驻点； 分区间讨论一阶导数的符号； 结论：递增区间为：. 递减区间为： 极大值为.,极小值 3）利用单调性证明不等式 4）利用导数为0证明恒等式 5）洛必达法则的运用 1）一般的未定型0,02）其他的未定型要化为一般的未定型 函数图形0,00,1未定型如何化） y=f(x)的凹凸区间与拐点 一般方法：定义域； 求一阶、二阶导数，求二阶不可导点与二阶导数为0的点； 分区间讨论二阶导数的符号； 结论：凹区间为：. f(x)0） 拐点坐标为：. 7）曲线y=f(x)的渐近线 =limx若存在kf(x)，b=limf(x)-kx，则有渐近线y=kx+b xx 若limxaf(x)=，则有渐近线x=a
