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1、高等数学1小结第一章 函数与极限 重要的知识点： 1） 函数的左右极限 xx0-xx0+f(x)=e在x=0处的左右极限：lime=0，lime=+； x0-x0+1x1x1xf(x)=arctanx当x-;x+；x的极限： x+limarctanx=p2；limarctanx=-x-p2；limarctanx不存在 x2） 极限存在的夹逼准则，如lim(n12n+L+) n2+n+1n2+n+2n2+n+n单调有界准则，如：判断下列数列是否收敛，若收敛，则求出极限： 设a为正常数，x00，xn+1=3） 两个重要极限：lim1a(xn+) 2xnsinx=1 x0x11x lim(1+)=e
2、；lim(1+x)x=e xx0x4） 无穷小量： 特别：有界函数与无穷小量的积仍为无穷小； xx0xxxx 无穷小的阶的比较：a,b是无穷小 b=0，则b是比a的高阶无穷小，记b=o(a)； ab同阶：若lim=c0，则b与a是同阶无穷小，bca ab等价：若lim=1，则b是a的等价无穷小，ab a高阶：若lim k阶：若limf(x)=c0，则f(x)是x-x0的k价无穷小 xx0(x-x)k0 等价无穷小的替换 常用的等价无穷小： 当x0时，xsinx； xtanx；xarcsinx；xarctanx 1x2nb0）1+x-1x； 5） 连续：若limf(x)=f(x0)，则f(x)在
3、xx0xx=x0处连续 6） 间断点的定义：若1）f(x)在x=x0处无定义； 或2）f(x)在x=x0处无极限； 或3）f(x)在x=x0处左右极限存在且相等但不等于函数值f(x0)， 则f(x)在x=x0处间断。 7） 间断点的分类：左右极限存在的间断点称第一类间断点；其余的间断点称第二类间断点。 在第一类间断点中，1）f(x)在x=x0处的左极限、右极限都存在，但不相等的间断点为跳跃间断点；2）f(x)在x=x0处左右极限存在且相等但不等于函数值f(x0)，或无定义的间断点为可去间断点。 8） 根的存在定理或零值点定理 定理：若f(x)在闭区间a,b上连续，且f(a)f(b)0，则至少存在一点x(a,b)， 使f(x)=0。 一些结论：1）等比级数求和a+aq+aq+L+aq 2）当q1时，limq=0 nn2n-1a(1-qn)=(q1) 1-qa0,n=mba0xn+a1xn-1+L+an-1x+an0=0,nmv(x)imu(x)=a0(常数），limv(x)=b(有限常数），=ab 4）若l则limu(x)xx0xx0xx0
