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1、高等数学讲义第三章高等数学 第三章 一元函数积分学 不定积分 一、 基本概念与性质 1、 原函数与不定积分的概念 设函数f(x)和F(x)在区间I上有定义，若F(x)= f(x)在区间I上成立。则称F(x)为f(x)在区间I的原函数，f(x)在区间I中的全体原函数成为f(x)在区间I的不定积分，记为f(x)dx。 其中称为积分号，x称为积分变量，f(x)称为被积分函数，f(x)dx称为被积 表达式。 2、 不定积分的性质 设f(x)dxF(x)C ,其中F(x)为f(x)的一个原函数，C为任意常数。 则 (1)F(x)dxF(x)C 或dF(x)F(x)C (2)= f(x) 或 df(x)d
2、xf(x)dxf(x)dx dx=f(x)dxg(x)dx (4)f(x)g(x) (3)kf(x)dxkf(x)dx 3、原函数的存在性 设f(x)在区间I上连续，则f(x)在区间I上原函数一定存在，但初等函数的原函数不一定22是初等函数，例如sin(x)dx，cos(x)dx ，sinxcosxdxx2dxdxe， ，xxlnxdx等被积函数有原函数，但不能用初等函数表示，故这些不定积分均称为积不出来。 二、 基本积分表 三、 换元积分法和分部积分法 1、 第一换元积分法 设则fj(x)j(x)dxfj(x)dj(x)f(u)du=F(u)+C,又j(x)可导，令uj(x)f(u)du=F
3、(u)+C=Fj(x)+C 这里要求读者对常用的微分公式要“倒背如流” ，也就是非常熟练地凑出微分。 2、 第二换元积分法 j(t)dtG(t)C ，则f(x)dx令xj(t) 设xj(t)可导，且j(t)0，若fj(t)-1fj(t)j(t)dtGCGj(x)+C 其中tj(x)为xj(t)的反函数。 -13、 分部积分法 设 u(x)，v(x)均有连续的导数，则u(x)dv(x)u(x)v(x)v(x)du(x)或u(x)v(x)dxu(x)v(x)u(x)v(x)dx Pn(x)eax，Pn(x)sinax，Pn(x)cosax情形，Pn(x)为n次多项式，a为常数。要进行axn次分部积
4、分法，每次均取e，sinax，cosax为v(x)；多项式部分为u。 Pn(x)lnx，Pn(x)arcsinx，Pn(x)arctanx情形，Pn(x)为n次多项式取Pn(x)为v(x)，而lnx，arcsinx，arctanx为u，用分部积分法一次，被积函数的形式发生变化，再考虑其它方法。 49 高等数学 定积分和广义积分 一、 定积分的概念与性质 1、 定积分的定义及其几何意义 2、 定积分的性质 中值定理，设f在a,b上连续，则存在xa,b使得定义：我们称baf(x)dx=f(x)(b-a) 1bf(x)dx为f在a,b上的积分平均值。 b-aax二、 基本定理 1、 变上限积分的函数
5、 定理：设f在a,b上连续，则F(x)推广形式，设F(x)af(t)dt在a,b上可导，且F(x)=f(x) j()1j2(x)xf(t)dt，j1(x),j2(x)可导，f(x)连续， 则F(x)fj2(x)j2(x)-fj1(x)j1(x) 2、 牛顿莱布尼兹公式 设 f在a,b上可积，F(x)为f在a,b上任意一个原函数，则有baf(x)dxF(x)1、baF(b)F(a) 三、定积分的换元积分法和分部积分法 j(a)a，j(b)b） 2、baf(x)dxafj(t)j(t)dtbab在a,b上是有界的，如果积分区间推广到无穷区间或f推广到无界函数就是两种不同类型的广义积分。 1、 无穷
6、区间上的广义积分 定义：afdxlimfdx bab若极限存在，则称广义积分则称广义积分afdx是收敛的，它的值就是极限值；若极限不存在，afdx是发散的。而发散的广义积分没有值的概念。 bfdxlimcaabfdx 同样有收敛和发散的概念，收敛的广义积分有值的概念。 fdxfdxcfdxlimaacfdxlimbcbfdx 2、无界函数的广义积分 f，则称b为f的瑕点。 (1)设f在a，b)内连续，且limxb定义fdxlimabb0afdx b若极限存在，则称广义积分广义积分50 afdx收敛，且它的值就是极限值，若极限不存在，则称bafdx发散。发散的广义积分没有值的概念。 高等数学 f
7、，则称a为f的瑕点 (2)设f在(a，b内连续，且limxa定义bafdxlimfdx 0ab若极限存在，则称广义积分bafdx收敛，且它的值就是极限值， 若极限不存在，则称广义积分设f在a，c)和(c，b皆连续，且limf，则称C为f的瑕点 xcbafdx发散，它没有值。 定义bbafdxcafdxbcfdx10limc1afdx20limfdx c2定积分的应用 一、平面图形的面积 1直角坐标系 模型 S1其中 y2(x)y1(x)， xa,b 模型 S2y(x)-y(x)dx， a21bx2(y)-x1(y)dy， 其中 x2(y)x1(y)，yc,d dc注：复杂图形分割为若干个小图形
8、，使其中每一个符合模型I或模型加以计算，然后再相加。 2. 极坐标系 模型 S1 1b2r(q)dq 2a1b22模型 S2r2(q)-r1(q)dq 2a3参数形式表出的曲线所围成的面积 设 曲线C的参数方程j(a)a，j(b)b，j(t)在a，b上有连续导数，且j(t)不变号，y(t)0且连续。 则曲边梯形面积xj(t) (atb) yy(t)Sydxy(t)j(t)dt abba三、绕坐标轴旋转的旋转体的体积 平面图形由曲线y=f(x) (0) 与直线xa，xb 和x轴围成绕x轴旋转一周的体积 51 高等数学 Vx=pbabf2(x)dx 绕y轴旋转一周的体积 Vy=2pxfa(x)dx 平面图形由曲线x=g(y) (0) 与直线yc，yd 和y轴围成绕y轴旋转一周的体积 d Vy=pg2(y)dy c绕x轴旋转一周的体积 Vdx=2pcyg(y)dy 52
