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1、仅供学习交流之用,第三讲 单元类型及单元分析,平面问题的有限元分析说明了有限元方法的基本方法和分析步骤，利用有限元方法来分析诸如空间问题、杆梁结构问题、板壳结构等问题时，也象分析平面问题一样，要对弹性体进行离散，形成有限元离散体，构建不同问题类型的单元模式，或是说建立不同类型的单元以分别适应空间问题、杆系问题、板壳等不同类型结构问题，而这也正是有限元理论本身的核心问题，即构建不同类型的单元。这其中设定单元位移模式，利用虚功原理建立单元节点力与节点位移关系并组建单元刚度矩阵的过程，我们将其称为单元分析。,为了使有限元法的解在单元尺寸逐步趋小时能够收敛于精确解，所构造的单元位移函数必须满足以下三方
2、面的条件：1）位移模式中必须包括反映刚体位移的项；2）位移模式中必须包括反映常应变的线性位移项；3）位移模式中必须能保证单元之间的连续性。满足条件1）和2）的单元叫做完备单元，满足条件3）的单元叫做协调单元，同时满足以上三个条件的单元称为完备协调单元。,对于不同物理性质、不同单元类型的问题，有限元法求解的基本步骤是相同的，只是具体公式推导和求解运算不同。仅说明单元分析。就单元应用而言，要了解单元属性。单元属性包括单元材料特性和单元几何特性。单元材料特性说明了构成单元的材料力学特性与物理特性，如弹性模量、泊松比、密度等。单元几何特性则说明了单元的截面几何尺寸、单元厚度及空间位置特性等。大型通用软
3、件都形成了单元库，供用户选用，而且可以添加新的单元类型。,部分结构单元简图概览,本讲内容如下：,1.一维单元分析；2.二维单元分析；3.三维单元分析；4.板壳单元；5.其它各种单元介绍；6.单元选用；,1.一维单元分析,主要有：杆单元、梁单元、管单元等。1.1杆单元-最简单的两节点一维单元，用于杆件承受轴向力分析。设杆单元横截面积为，长度为l，轴向分布载荷为。单元2个节点的位移向量为：单元位移模式可设为：待定常数可由节点位移条件确定:,拉压直杆单元仅有轴向应变:相应：用应变矩阵可写为：由应力应变关系：单元刚度矩阵可由一般形式推出：杆单元的特征是不能传递力矩，与能够传递力矩的梁单元的特性不同。用
4、来处理杆构件的建模问题。需要输入的单元特性参数主要有材料性质、截面面积A，极惯性矩 等。,1.2 梁单元-最简单的等截面2节点梁单元，节点位移为挠度和转角，节点力为剪力和弯矩。,单元每个节点有两个自由度，单元形状函数应是三次多项式：由单元两端点的条件：；，可解出四个待定系数，将位移模式写成标准形函数形式，则有：,按梁单元的受力状态，其节点力向量为：节点位移向量为：式中为剪力，为弯矩，为转角，为挠度。按照梁的平面弯曲公式：单元弯曲应变和应力：单元刚度矩阵为：,目前使用的梁单元除一次梁单元外，还有二次梁单元、曲梁单元和锥梁单元等。二次梁单元是由三个节点确定的抛物线，曲梁单元是由两个节点决定的、具有
5、曲率半径的圆弧，而锥梁单元则是采用两个节点处截面积不等的线性梁。,上述在局部坐标系中得出的杆单元或梁单元刚度矩阵，由于整体结构中各杆梁位置不同、倾角不同，有限元模型要求一个单元在整体坐标系中能够任意定位，这就需要建立两种坐标系下的转换关系。对平面桁架、空间桁架、平面刚架与空间刚架，都需要建立这种坐标变换关系。对平面桁架，根据坐标旋转公式 即可。整体坐标系与局部坐标系下的单元刚度矩阵的形式：,对于空间等参梁单元主要有2节点直梁单元，3节点曲梁单元。空间梁单元的每个节点有六个自由度，两个节点共由十二个位移分量组成。空间梁单元节点力列矩阵也由十二个力的分量组成，即轴向拉压、扭转以及在xy、xz两平面
6、内的剪切和弯曲。空间梁单元采用了平截面假设，既变形前垂直于梁中性轴的截面，变形后仍保持平面，但不一定垂直中性轴。这种假设包含了剪切变形影响，这种梁单元可以处理大变形小应变的几何非线性问题和材料非线性问题。需要强调指出的是，由于单元刚度矩阵等都是在局部坐标中生成的，而单元总装是在整体坐标中进行的，因此在总装之前，这些矩阵还要经过一次方向变换，而方向余弦值则由局部坐标与整体坐标之间的关系决定。,空间梁单元定位,对于空间梁单元，其局部坐标需要通过梁的两个节点i、j，再加上梁主惯性平面中的任一参考点k，才可确定。这样空间梁单元就由3个节点组成，点必须在一个平面内，但不能共线。i节点到j节点为单元坐标系
7、的x轴，y轴(或z轴)在节点i、j和k构成的平面上且与x轴垂直，应用右手定则可以确定另一坐标z轴(或y轴)。三点确定后，单元坐标系即确定，梁单元的截面方位也就完全确定下来。所增加的一个用于定向的参考点k，也是构建空间刚架有限元模型的内容，不能忽略。,需要输入的单元特性参数有材料性质参数、截面面积A、截面惯性矩I，截面极惯性矩等。或者直接输入梁截面尺寸，如长宽高等，工程上多采用型材，可查表获得。,2.二维单元分析 平面问题的有限元分析中，目前通用程序中主要采用三角形三节点、三角形六节点、四边形四节点和四边形八节点单元。,三角形六节点单元,形状函数为完全二次多项式 矩形四节点单元：八节点的曲边等参
8、元：,平面高阶单元特性分析，可以建立单元应变矩阵、应力矩阵、刚度矩阵和节点力向量等计算公式。由于被积函数非常复杂，刚度矩阵k已不可能写成显式积分，需要用数值积分计算。通常的方法是在单元内选出某些积分点，算出被积函数在这些积分点的值，然后用一些加权系数乘上这些函数值，再求出总和作为近似的积分值。数值积分将积分问题化为求和问题处理。数值积分有多种方法，而高斯积分法是数值积分法中具有较高精度的方法，所以在有限元法中都采用高斯积分法，,由于采用高斯积分，相应截面上的应力等量值也是在积分点上获得的，再由积分点外推到节点，在查看计算结果输出时要注意输出点的位置。,3.三维单元分析,利用有限单元法来分析空间
9、问题时，也像分析平面问题时一样，要将弹性体进行离散，形成有限元离散体。空间问题时弹性体的离散可用多种不同单元，如四节点四面体单元、八节点六面体单元、20节点六面体单元及各种等参单元。其中四节点单元是最简单的空间单元，它是一种常应变单元。,3.1 四节点四面体单元,四面体单元不象六面体单元只适用于几何形状规则的单元，它对结构的划分有良好的适应性。每个节点有三个方向的位移自由度，四个节点共有12个位移分量。单元位移函数为：,3.2 八节点六面体单元,几何形状规则的结构三维分析时，可选用六面体单元，它有八个节点，节点参数为三个坐标轴方向的位移分量。边长分别为的平行六面体单元，也称为砖形单元。每个节点
10、的形状函数为：,3.3 20节点六面体等参元,提高解的精度，要从设计新的单元和新的位移模式着手。线性位移模式单元是实际位移分布的最低级逼近形式，精度是受到局限的。而对具有曲线边界的问题，采用直线边界单元，则存在着用折线代替曲线所带来的误差，而这种误差不能用提高单元位移模式的精度来补偿，因此需要构造一些曲边高精度单元，以便在给定的精度下用较少数目的单元去解决实际问题。等参单元既能适应复杂结构的曲面边界，又便于构造高阶单元，20节点六面体等参元就是其中一种。,空间20节点等参元是由边长为2的立方体单元经过坐标变换得到的。为插值表示出曲面的单元形状，每个边至少应有3个节点。在单元内建立曲线坐标系，将
11、此曲面六面体单元变换映射成一个20节点正方体单元。,形函数的构成要分成八个角点的形函数和各棱边中节点的形函数两种情况表述。其表达式如下：,由空间弹性力学几何方程，得应变表达式：由空间弹性力学物理方程，单元内的应力可以表示成：单元刚度矩阵为：,实体单元可以直接利用三维CAD所做好的实体模型，所以非常容易理解。实体单元能够适用于所有的结构，但其节点数或单元数可能非常之多。虽然板梁结构都可以采用实体单元建模，但对于符合板或梁形式的结构还是采用梁单元或板壳单元为佳，其精度完全满足工程结构设计要求。采用实体单元分析所花费时间一般较采用梁单元与板单元为多，另外三维网格调整是比较困难的，用板梁单元建立的模型
12、，截面内力容易判断，在初期设计阶段，更易于评价计算结果。实体单元无须输入除材料性质参数以外的任何单元特性参数。,4 板壳单元,1.薄板矩形单元 薄板弯曲只研究中面的变形，矩形板单元也只研究其一个矩形平面。每个节点有三个位移分量，即挠度w及绕x、y轴的转角、，取四个角点i、j、m、p为四个节点，挠度以沿z轴正向为正，转角则按右手法则标出矢量，沿坐标轴正向为 正。节点i的三个位移分量可表示为：,位移模式,矩形单元有12个自由度，仅取挠度为独立位移变量，其位移模式可取为下列多项式：上式中的前三项反映了单元的刚体位移；3个二次项反映了单元中面变形的常应变形式；完全的三次多项式和不完全的四次多项式，使得
13、挠度函数具有三次多项式的精度，可以保证单元间挠度的连续性，但是不能保证相邻单元在公共边界上转角的连续性。这种单元位移模式是完备的，但是一个不完全协调单元。这种单元能够通过分片试验，相应计算精度还是较好的。,2.薄板三角形单元,图示三节点三角形薄板单元，单元的节点位移仍为节点处的挠度w和绕x、y轴的转角、，单元位移模式应包含9个参数，因此所取的位移函数应包括9项，但一个完整的三次多项式包含10项：所以必须从上式中删去1项，式中前3项代表刚体位移，次3项反映常量应变，都必须保留，以满足收敛的必要条件。为了减少一个独立项，只能从后面的4个三次项中删去一项，但任意删去一项，则位移模式将不再关于x,y对
14、称，引起计算上的很大不便。采用面积坐标，单元位移函数可假设为：,矩形平板壳单元 三角形平板壳单元 以薄板弯曲单元推演出的壳体单元，是将薄板弯曲单元和平面应力单元简单地叠加在一起，因而单元形状是平面的。对于更复杂的曲面，需要采用曲面单元来描述壳体的真正几何形状，不但可以用较少的单元来代替复杂形状的壳体，还能得到具有相当精度的结果。这方面有四节点的曲面壳体单元和八节点的等参单元等。板壳单元需要输入的单元特性参数有材料性质参数、板厚等。,实例,5.其它各种单元介绍,1.质量单元 质量单元只有一个节点，用以表示在该节点处存在一个集中质量。质量单元是最多具有6个自由度的点单元，即沿节点坐标系方向的平动和
15、绕轴的转动，也可以仅具有3个平动自由度。质量单元可以承受节点力、节点力矩及各种体积力作用，单元物理属性包括单元质量和转动惯量，可以输出位移和反作用力。一般用来处理那些不参与分析的部件，将它们按集中载荷处理。例如在分析车架结构问题时，经常采用质量单元来处理如发动机、水箱、油箱等附件载荷。所需输入的单元特性参数就是质量。,2.弹簧单元,弹簧单元有两个节点，般位于模型内部。可分为拉压弹簧元和扭转弹簧元两种类型。拉压弹簧元的每个节点具有三个移动自由度，因此可以承受节点力的作用；扭转弹簧元节点具有三个旋转自由度，故可承受节点力矩的作用。弹簧元的物理特性是三个方向的拉伸或扭转刚度值，如果其中两个为零，则弹
16、簧元只能在某个方向上提供弹性力。弹簧元可以输出位移、单元力或约束反力，它不具有质量。在划分网格时必须控制线上的单元份数，一般将线控制为一份单元，一条线划分成两个单元则相当于两个弹簧串联。在有限元建模中，弹簧单元可用于模拟结构的某种约束。,3.刚性单元,刚性单元与普通结构单元有所不同，其单元形状表现为在各节点之间定义刚体连接。刚性连接确定了各节点的主从关系，在独立自由度和从属自由度之间用刚体方程式连接，相互之间没有变形。而在程序中从属自由度从整个方程式中除去。无须输入任何单元特性参数。刚性单元有两种用法，一是刚性梁，有6个自由度，能够同时传递力和力矩，具有刚性梁连接作用；另一是刚性杆，有3个自由
17、度，只能传递力不能传递力矩，只能限制两个连接点之间的相对位移，不能约束相对转动，相当于两端铰接的连杆。,目前大型通用有限元软件的单元库包含的单元十分丰富，有上百种之多。除了本书多介绍的结构类型单元外，还有大量的专用功能单元以及适用于不同学科领域的单元（如热单元、流体单元、电磁单元等）。利用这些单元可以进行线性和非线性分析，各物理场间单元的配合，还可进行热弹性、热弹塑性、流-固耦合、声-固耦合等多物理场耦合分析。而单元库中单元描述一般包括适用场合与范围（弹性、塑性、应力硬化、大变形、大应变等），每个节点自由度数目，单元假设与限制，需要输入的参量（实参数、材料性能数据、载荷数据要求），单元输出数据
18、（节点位移、单元应力、内力）等。,6.单元选用,针对实际结构采用何种单元，需要综合考虑结构特点、计算精度以及计算时间等因素。在实际结构分析中，要充分了解单元的特点、属性和应用范围，多查看程序中关于单元说明的帮助文件，正确理解单元的属性才能保障有限元计算的准确度。在选用各种新的单元时，要通过了解单元假设，学习单元理论来掌握单元用途。只有对单元属性的充分了解与掌握，才能做好有限元分析任务。,1、不是井里没有水，而是你挖的不够深。不是成功来得慢，而是你努力的不够多。2、孤单一人的时间使自己变得优秀，给来的人一个惊喜，也给自己一个好的交代。3、命运给你一个比别人低的起点是想告诉你，让你用你的一生去奋斗
19、出一个绝地反击的故事，所以有什么理由不努力!4、心中没有过分的贪求，自然苦就少。口里不说多余的话，自然祸就少。腹内的食物能减少，自然病就少。思绪中没有过分欲，自然忧就少。大悲是无泪的，同样大悟无言。缘来尽量要惜，缘尽就放。人生本来就空，对人家笑笑，对自己笑笑，笑着看天下，看日出日落，花谢花开，岂不自在，哪里来的尘埃!25、你不能拼爹的时候，你就只能去拼命！26、如果人生的旅程上没有障碍，人还有什么可做的呢。27、我们无法选择自己的出身，可是我们的未来是自己去改变的。励志名言：比别人多一点执着，你就会创造奇迹28、伟人之所以伟大，是因为他与别人共处逆境时，别人失去了信心，他却下决心实现自己的目标
20、。29、人生就像一道漫长的阶梯，任何人也无法逆向而行，只能在急促而繁忙的进程中，偶尔转过头来，回望自己留下的蹒跚脚印。30、时间，带不走真正的朋友；岁月，留不住虚幻的拥有。时光转换，体会到缘分善变；平淡无语，感受了人情冷暖。有心的人，不管你在与不在，都会惦念；无心的情，无论你好与不好，只是漠然。走过一段路，总能有一次领悟；经历一些事，才能看清一些人。31、我们无法选择自己的出身，可是我们的未来是自己去改变的。32、命好不如习惯好。养成好习惯，一辈子受用不尽。33、比别人多一点执着，你就会创造奇迹。50、想像力比知识更重要。不是无知，而是对无知的无知，才是知的死亡。51、对于最有能力的领航人风浪
21、总是格外的汹涌。52、思想如钻子，必须集中在一点钻下去才有力量。53、年少时，梦想在心中激扬迸进，势不可挡，只是我们还没学会去战斗。经过一番努力，我们终于学会了战斗，却已没有了拼搏的勇气。因此，我们转向自身，攻击自己，成为自己最大的敌人。54、最伟大的思想和行动往往需要最微不足道的开始。55、不积小流无以成江海，不积跬步无以至千里。56、远大抱负始于高中，辉煌人生起于今日。57、理想的路总是为有信心的人预备着。58、抱最大的希望，为最大的努力，做最坏的打算。59、世上除了生死，都是小事。从今天开始，每天微笑吧。60、一勤天下无难事，一懒天下皆难事。61、在清醒中孤独，总好过于在喧嚣人群中寂寞。
22、62、心里的感觉总会是这样，你越期待的会越行越远，你越在乎的对你的伤害越大。63、彩虹风雨后，成功细节中。64、有些事你是绕不过去的，你现在逃避，你以后就会话十倍的精力去面对。65、只要有信心，就能在信念中行走。66、每天告诉自己一次，我真的很不错。67、心中有理想 再累也快乐68、发光并非太阳的专利，你也可以发光。69、任何山都可以移动，只要把沙土一卡车一卡车运走即可。70、当你的希望一个个落空，你也要坚定，要沉着！71、生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。72、只要路是对的，就不怕路远。73、如果一个人爱你、特别在乎你，有一个表现是他还是有点怕你。74、先知三日，富贵十年。付诸行动，
23、你就会得到力量。75、爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。1、这世上，没有谁活得比谁容易，只是有人在呼天抢地，有人在默默努力。2、当热诚变成习惯，恐惧和忧虑即无处容身。缺乏热诚的人也没有明确的目标。热诚使想象的轮子转动。一个人缺乏热诚就象汽车没有汽油。善于安排玩乐和工作，两者保持热诚，就是最快乐的人。热诚使平凡的话题变得生动。3、起点低怕什么，大不了加倍努力。人生就像一场马拉松比赛，拼的不是起点，而是坚持的耐力和成长的速度。只要努力不止，进步也会不止。4、如果你不相信努力和时光，那么时光第一个就会辜负你。不要去否定你的过去，也不要用你的过去牵扯你的未来。不是因为有
24、希望才去努力，而是努力了，才能看到希望。5、人生每天都要笑，生活的下一秒发生什么，我们谁也不知道。所以，放下心里的纠结，放下脑中的烦恼，放下生活的不愉快，活在当下。人生喜怒哀乐，百般形态，不如在心里全部淡然处之，轻轻一笑，让心更自在，生命更恒久。积极者相信只有推动自己才能推动世界，只要推动自己就能推动世界。6、人性本善，纯如清溪流水凝露莹烁。欲望与情绪如风沙袭扰，把原本如天空旷蔚蓝的心蒙蔽。但我知道，每个人的心灵深处，不管乌云密布还是阴淤苍茫，但依然有一道彩虹，亮丽于心中某处。7、每个人的心里，都藏着一个了不起的自己，只要你不颓废，不消极，一直悄悄酝酿着乐观，培养着豁达，坚持着善良，只要在路上
25、，就没有到达不了的远方！8、不要活在别人眼中，更不要活在别人嘴中。世界不会因为你的抱怨不满而为你改变，你能做到的只有改变你自己！9、欲戴王冠，必承其重。哪有什么好命天赐，不都是一路披荆斩棘才换来的。10、放手如拔牙。牙被拔掉的那一刻，你会觉得解脱。但舌头总会不由自主地往那个空空的牙洞里舔，一天数次。不痛了不代表你能完全无视，留下的那个空缺永远都在，偶尔甚至会异常挂念。适应是需要时间的，但牙总是要拔，因为太痛，所以终归还是要放手，随它去。11、这个世界其实很公平，你想要比别人强，你就必须去做别人不想做的事，你想要过更好的生活，你就必须去承受更多的困难，承受别人不能承受的压力。12、逆境给人宝贵的
26、磨炼机会。只有经得起环境考验的人，才能算是真正的强者。自古以来的伟人，大多是抱着不屈不挠的精神，从逆境中挣扎奋斗过来的。13、不同的人生，有不同的幸福。去发现你所拥有幸运，少抱怨上苍的不公，把握属于自己的幸福。你，我，我们大家都可以经历幸福的人生。14、给自己一份坚强，擦干眼泪；给自己一份自信，不卑不亢；给自己一份洒脱，悠然前行。轻轻品，静静藏。为了看阳光，我来到这世上；为了与阳光同行，我笑对忧伤。15、总不能流血就喊痛，怕黑就开灯，想念就联系，疲惫就放空，被孤立就讨好，脆弱就想家，不要被现在而蒙蔽双眼，终究是要长大，最漆黑的那段路终要自己走完。21、每个人都有潜在的能量，只是很容易：被习惯所
27、掩盖，被时间所迷离，被惰性所消磨。22、不论你在什么时候开始，重要的是开始之后就不要轻言放弃。23、恨别人，痛苦的却是自己。24、每天醒来，敲醒自己的不是钟声，而是梦想。25、你不能拼爹的时候，你就只能去拼命！26、如果人生的旅程上没有障碍，人还有什么可做的呢。27、我们无法选择自己的出身，可是我们的未来是自己去改变的。励志名言：比别人多一点执着，你就会创造奇迹28、伟人之所以伟大，是因为他与别人共处逆境时，别人失去了信心，他却下决心实现自己的目标。29、人生就像一道漫长的阶梯，任何人也无法逆向而行，只能在急促而繁忙的进程中，偶尔转过头来，回望自己留下的蹒跚脚印。30、时间，带不走真正的朋友；岁月，留不住虚幻的拥有。时光转换，体会到缘分善变；平淡无语，感受了人情冷暖。有心的人，不管你在与不在，都会惦念；无心的情，无论你好与不好，只是漠然。走过一段路，总能有一次领悟；经历一些事，才能看清一些人。31、我们无法选择自己的出身，可是我们的未来是自己去改变的。32、命好不如习惯好。养成好习惯，一辈子受用不尽。33、比别人多一点执着，你就会创造奇迹。,
