沪科版九年级数学上册第23章解直角三角形教学ppt课件.ppt

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1、,23.1 锐角的三角函数,第23章 解直角三角形,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,九年级数学上（HK）教学课件,1.锐角的三角函数,第1课时 正切,1.理解锐角的三角函数中正切的概念及其与现实生活的联系；（重点）2.能在直角三角形中求出某个锐角的正切值，并进行简单计算；(重点)3.了解坡度、坡角的概念，能解决与坡度、坡角有关的简单实际问题.（难点）,学习目标,智者乐水，仁者乐山,图片欣赏,导入新课,思考：衡量山“险”与“不险”的标准是什么呢？,陡,陡意味着倾斜程度大！,想一想:你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？,铅直高度,水平宽度,梯子与地面的夹角称为倾斜角,从梯子的顶端A到

2、墙角C的距离，称为梯子的铅直高度,从梯子的底端B到墙角C的距离，称为梯子的水平宽度,A,C,B,讲授新课,相关概念,问题1:你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？,合作探究1,A,B,C,D,E,F,倾斜角越大梯子越陡,问题2:如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？,当铅直高度一样，水平宽度越小，梯子越陡,当水平宽度一样，铅直高度越大，梯子越陡,甲,乙,问题3:如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？,当铅直高度与水平宽度的比相等时，梯子一样陡,3m,6m,D,E,F,问题4:如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？,当铅直高度与水平宽度的比越大，梯子越陡.,3m,2m

3、,6m,5m,A,B,C,D,E,F,倾斜角越大，梯子越陡.,若小明因身高原因不能顺利测量梯子顶端到墙脚的距离B1 C1,进而无法刻画梯子的倾斜程度，他该怎么办？你有什么锦囊妙计？,A,C1,B1,合作探究2,两个直角三角形相似,(1)RtAB1C1和RtAB2C2有什么关系?,(3)如果改变B2在梯子上的位置(如B3C3)呢?,思考：由此你得出什么结论?,想一想,相等,相似三角形的对应边相等,在RtABC中,如果锐角A确定，那么A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做A的正切,记作tanA,即,归纳总结,结论：tanA的值越大，梯子越陡.,定义中的几点说明：1.初中阶段，正切是在直角三角形中

4、定义的，A是一个锐角.2.tanA是一个完整的符号，它表示A的正切.但BAC的正切表示为:tanBAC.1的正切表示为:tan1.3.tanA0 且没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中锐角A的对边与邻边的比（注意顺序：）.4.tanA不表示“tan”乘以“A”.5.tanA的大小只与A的大小有关，而与直角三角形的边长无关.,A,B,C,锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？可以大于1吗？,对于锐角A的每一个确定的值，tanA都有唯一的确定的值与它对应.,解：可以等于1，此时为等腰直角三角形；也可以大于1，甚至可逼近于无穷大.,议一议,例1：下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?,解:甲

5、梯中,乙梯中,tantan,乙梯更陡.,提示:在生活中,常用一个锐角的正切表示梯子的倾斜程度.,典例精析,1.在RtABC中，C=90，AC=7，BC=5，则 tan A=_，tan B=_,互余两锐角的正切值互为倒数.,2.下图中ACB=90，CDAB,垂足为D.指出A和B的对边、邻边.,BC,AD,BD,AC,4.如图,在RtABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,tanA的值（）A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定,C,3.已知A,B为锐角，(1)若A=B,则tanA tanB;(2)若tanA=tanB,则A B.,=,=,正切通常也用来描述山坡的坡度.,坡

6、度越大，坡角越大，坡面就越陡.,例如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m,那么山坡的坡度i(即tan)就是:,坡角：坡面与水平面的夹角称为坡角；坡度（坡比）：坡面的铅直高度与水平宽度的比称 为坡度i(或坡比),即坡度等于坡角的正切.,例2 如图所示，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度i13，坝高BC2米，则斜坡AB的长是(),解析：ACB90，i13，,B,【方法总结】理解坡度的概念是解决与坡度有关的计算题的关键,BC2米，AC3BC326(米),(1)在RtABC中C=90，BC=5,AC=12,tanA=().,(2)在RtABC中C=90，BC=5,AB=13,tanA=(),ta

7、nB=().,(3)在RtABC中C=90，BC=5,tanA=,AC=().,1.完成下列填空：,当堂练习,2.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，ABC的三个顶点均在格点上，则tanA=（）,A.B.C.D.,D,C,A,B,3.如图,P是 的边 OA 上一点，点 P的坐标为，则=_.,记得构造直角三角形哦！,O,P(12,5),A,x,y,4.如图,某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B.已知山顶B到山脚下的垂直距离是55m,求山坡的坡度(结果精确到0.001m).,解：,5.在等腰ABC中,AB=AC=13,BC=10,求tanB.,提示:过点A作AD垂直于BC于点D.求锐

8、角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.,解：如图，过点A作ADBC于点D，在RtABD中，易知BD=5，AD=12.,6.在RtABC中,C=90,AB=15,tanA=,求AC和BC.,4k,3k,7.如图,正方形ABCD的边长为4,点M在BC上,M、N两点关于对角线AC对称,若DM=1，求tanADN的值.,解：由正方形的性质可知，ADN=DNC，BC=DC=4，,M、N两点关于对角线AC对称,DM=1BN=DM=1.,如图，在平面直角坐标系中，P(x,y)是第一象限内直线y=-x+6上的点,点A(5,0)，O是坐标原点，PAO 的面积为S.（1）求S与x的函数关系式；（2）当S=10时

9、,求tanPAO 的值.,解：(1)过点P作PMOA于点M，,（2）当S=10时,求tanPAO 的值.,解：,又点P在直线y=-x+6上，,x=2.,AM=OA-OM=5-2=3.,课堂小结,正切,定义,坡度,A越大，tanA越大,梯子越陡,与梯子倾斜程度的关系,23.1 锐角的三角函数,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,九年级数学上（HK）教学课件,1.锐角的三角函数,第2课时 正弦和余弦,1.理解并掌握锐角正弦、余弦的定义，并进行相关计 算；（重点、难点）2.在直角三角形中求正弦值、余弦值.(重点),学习目标,导入新课,回顾与思考,1.分别求出图中A，B的正切值.,2.如图，在Rt

10、ABC中，C90，当锐角A确定时，A的对边与邻边的比就随之确定.想一想，此时，其他边之间的比是否也确定了呢？,任意画RtABC 和RtABC，使得CC90，AA，那么 与 有什么关系你能试着分析一下吗？,讲授新课,合作探究,在图中，由于CC90，AA，所以RtABCRtABC,这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，A的对边与斜边的比也是一个固定值,A的对边与斜边的比叫做A的正弦（sine），记作sinA，即,c,a,b,对边,斜边,概念学习,典例精析,例1 如图，在RtABC中，B=90，AC=200，sinA=0.6，求BC的长.,解：在RtABC中，,即,B

11、C=2000.6=120.,变式：在RtABC中,C=90,BC=20,求:ABC的周长和面积.,解:在RtABC中,合作探究,任意画RtABC 和RtABC，使得CC90，AA，那么 与 有什么关系你能试着分析一下吗？,在图中，由于CC90，AA，所以RtABCRtABC,这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，A的邻边与斜边的比也是一个固定值,A的邻边与斜边的比叫做A的余弦（cosine），记作cosA，即,c,a,b,对边,斜边,概念学习,例2：如图:在等腰ABC中,AB=AC=5,BC=6.求:sinB,cosB,tanB.,老师提示:过点A作ADBC于D

12、.,如图，梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关系吗？,A,sinA的值越大,梯子越 _;cosA的值越 _,梯子越陡.,陡,小,A,议一议,例3：sin70，cos70，tan70的大小关系是()Atan70cos70sin70Bcos70tan70sin70 Csin70cos70tan70Dcos70sin70tan70,解析：根据锐角三角函数的概念，知sin701，cos701，tan701.又cos70sin20，锐角的正弦值随着角的增大而增大，sin70sin20cos70.故选D.,【方法总结】当角度在0cosA0.当角度在45A90间变化时，tanA1.,D,如图：在Rt AB

13、C中，C90，,正弦,余弦,归纳总结,定义中应该注意的几个问题:,1.sinA,cosA,tanA是在直角三角形中定义的,A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).2.sinA,cosA,tanA是一个完整的符号,分别表示A的正弦,余弦,正切(习惯省去“”号).3.sinA,cosA,tanA 是一个比值.注意比的顺序.且sinA,cosA,tanA均0,无单位.4.sinA,cosA,tanA的大小只与A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.5.角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.,例4：在RtABC中,C=90,如图,已知AC=3,AB=6,求sinA和c

14、osB.,想一想:我们发现sinA=cosB,其中有没有什么内有的关系?,求:AB,sinB.,变式：如图:在RtABC中,C=900,AC=10,思考:我们再次发现sinA=cosB,其中的内在联系你可否掌握?,如图：在Rt ABC中，C90，,归纳总结,sinA=cosB,1.如图,在RtABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,sinA的值（）A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定,2.已知A,B为锐角(1)若A=B,则sinA sinB;(2)若sinA=sinB,则A B.,C,=,=,当堂练习,3.如图,C=90CDAB.,4.在上图中,若BD=6,CD=1

15、2.则cosA=_.,()()(),()()(),CDBC,ACAB,ADAC,5.如图：P是的边OA上一点，且P点的坐标为（3，4），则cos=_,tan=_.,3,4,P,6.如图，在RtABC中，C90，AB=10，BC6，求sinA、cosA、tanA的值,解：,又,10,变式1：如图，在RtABC中，C90，cosA，求sinA、tanA的值,解：,设AC=15k，则AB=17k,所以,变式2：如图，在RtABC中，C90，AC8，tanA，求sinA、cosB的值,A,B,C,8,解：,7如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，求sinECM.,解：设正方形ABCD

16、的边长为4x，M是AD的中点，BE=3AE，AMDM2x,AEx,BE3x由勾股定理可知，,7如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，求sinECM.,由勾股定理逆定理可知，EMC为直角三角形.,8如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为(10，0)，点B在第一象限内，BO=5，sinBOA,(1)求点B的坐标；(2)求cosBAO的值,A,B,H,解：(1)如图所示，作BHOA，垂足为H在RtOHB中，BO5，sinBOA,BH=3，OH4，,点B的坐标为(4，3),8如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为(10，0)，点B在第一象限内，BO=5，sinBO

17、A,(2)求cosBAO的值,A,B,H,(2)OA10，OH4，AH6在RtAHB中，BH=3，,在RtABC中,课堂小结,23.1 锐角的三角函数,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,九年级数学上（HK）教学课件,2.30,45,60角的三角函数值,第1课时 30,45,60角的三角函数值,1.运用三角函数的概念，自主探索，求出30、45、60角的三角函数值；（重点）2.熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加 以运用.(难点),学习目标,猜谜语一对双胞胎，一个高，一个胖，3个头,尖尖角,我们学习少不了,思考：你能说说伴随你九个学年的这副三角尺所具有的特点和功能吗？,导入新课,情境引

18、入,45,45,90,60,30,90,思考：你能用所写的知识，算出图中表示角度的三角函数值吗？,讲授新课,两块三角尺中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值,30,60,45,45,合作探究,设30所对的直角边长为a，那么斜边长为2a，,另一条直角边长=,设两条直角边长为 a，则斜边长=,30、45、60角的正弦值、余弦值和正切值如下表：,归纳：,1,例1 求下列各式的值：,提示：cos260表示(cos60)2，即(cos60)(cos60).,解：cos260+sin260,典例精析,(1)cos260+sin260；,(2),解：,练一练,计算：(1)sin30+

19、cos45；,解：原式=,(2)sin230+cos230tan45.,解：原式=,1.通过特殊角的三角函数值，进一步巩固锐角三角函数之间的关系.（互余关系、倒数关系、相除关系、平方关系）,2.观察特殊三角函数值表，你能得出三角函数的增减性规律吗？,锐角三角函数的增减性：当角度在090之间变化时，正弦值和正切值随着角度的增大（或减小）而；余弦值随着角度的增大（或减小）而.,增大（或减小）,减小（或增大）,两点反思,小试牛刀:,1.如果是等边三角形的一个内角，则cos=_.2.在ABC中，C=90，若B=2A,则tanA=_.3.若tanA=1，则锐角A=_.4.在RtABC中，sinB=,则B

20、=_.,5.sincos，则锐角取值范围（）A 30 45 B 0 45 C 45 60 D 0 90,B,填一填,逆向思维,例2：如图，在RtABC中，C90，求A的度数,解：在图中，,典例精析,解：在图中，,=60.,tan=，,如图，AO 是圆锥的高，OB 是底面半径，AO=OB，求 的度数.,练一练,例3 一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为60,且两边摆动的角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到0.01m).,最高位置与最低位置的高度差约为0.34m.,AOD OD=2.5m,解:如图,根据题意可知,AC=2.5-2.

21、1650.34(m).,例4 已知为锐角，且tan是方程x2+2x-3=0的一个根，求2sin2+cos2-tan（+15）的值,解：解方程x2+2x-3=0，得x1=1，x2=-3，tan0，tan=1，=45.2sin2+cos2-3 tan（+15）=2sin245+cos245-3 tan60,例5 已知 ABC 中的 A 与 B 满足(1tanA)2|sinB|0，试判断 ABC 的形状,解：(1tanA)2|sinB|0，,tanA1，sinB A45，B60，C180456075，ABC 是锐角三角形,练一练,已知：|tanB|(2 sinA)2 0，求A，B的度数.,解：|ta

22、nB|(2 sinA)2 0，,tanB，sinA B60，A60.,2.在ABC中，若，则C=（）A30 B60 C90 D120,1.tan(+20)1，锐角的度数应是（）A40 B30 C20 D10,D,D,当堂练习,3.已知cos，锐角a取值范围（）A 60 90 B 0 60 C 30 90 D 0 30,A,4.求下列各式的值：（1）12 sin30cos30（2）3tan30tan45+2sin60（3）,解：,（1）12 sin30cos30,（2）3tan30tan45+2sin60,5.如图，在ABC中，A=30，求AB.,D,解：过点C作CDAB于点D，,A=30，,6

23、.在RtABC中，C90，求A、B的度数,B,A,C,解：由勾股定理,A=30,B=90 A=9030=60,7.升国旗时，小明站在操场上离国旗20m处行注目礼.当国旗升至顶端时，小明看国旗视线的仰角为45（如图所示），若小明双眼离地面1.60m，你能帮助小明求出旗杆AB的高度吗？,=20+1.6=21.6（m）,30、45、60角的正弦值、余弦值和正切值如下表：,对于sin与tan，角度越大，函数值也越大；对于cos，角度越大，函数值越小.,课堂小结,23.1 锐角的三角函数,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,九年级数学上（HK）教学课件,2.30，45，60角的三角函数值,第2课时

24、互余两角的三角函数,1.理解并掌握任意两个锐角互余时，正、余弦之间的关系；（重点）2.会利用互余的角进行正、余弦函数的互换，进行简单地三角变换或相应的计算.(难点),学习目标,30、45、60角的正弦值、余弦值和正切值如下表：,导入新课,回顾与思考,30、45、60角的正弦值、余弦值和正切值如下表：,1,导入新课,回顾与思考,从上面的练习中我们不难发现：你还能从中发现什么规律呢？,sin30=cos60 sin60=cos30 sin45=cos45,规律：这些角的正（余）弦的值，分别等于它们余角的余（正）弦值.,问题 这个规律是否适合任意一个锐角呢？你能够用所学的知识证明你的结论吗？,提示：

25、使用三角函数的定义证明.,讲授新课,问题引导,在直角三角形中,若一个锐角确定,那么这个角的对边,邻边和斜边之间的比值也随之确定.,sinA=cosB,cosA=sinB.,sinA=cosB,cosA=sinB.A+B=90，B=90A，即sinA=cosB=cos（90A），cosA=sinB=sin（90A）.,试一试：你能用文字叙述你发现的结论吗？,任意一个锐角的正（余）弦值，等于它的余角的余（正）弦值.,归纳总结,几何语言：,A+B=90，sinA=cosB，cosA=sinB.,例1 如图，在ABC中，C90，若sinB，则cosA的值为(),解析：利用互余两角的正弦和余弦之间的关系

26、可快速帮助我们解决问题，但要注意的是该结果只对互余的两个角成立,典例精析,A,例2 已知cos，90，则cos(),C,解析：cos，90，sincos.设是一个直角三角形中的锐角，且sin，设b3k，c5k，则另一直角边的长度为a4k，cos=,利用互为余角的锐角三角函数关系时，先判断两角关系，然后再寻求锐角三角函数之间的关系将角放到直角三角形中，画出图形，根据图形设出比例式，表示出各边,方法总结,下列式子中，不成立的是（）Asin35=cos55Bsin30+sin45=sin75C cos30=sin60Dsin260+cos260=1,B,练一练,在直角三角形中,若一个锐角确定,那么这

27、个角的对边和邻边之间的比值也随之确定.,结论：互余两个锐角的正切值互为倒数.,例3 在ABC中，A，B是锐角，tanA，tanB是方程3x2tx30的两个根，则C_,解析：tanA，tanB为方程3x2tx30的两根，A，B是锐角 tanAtanB1.AB90，C180AB90.,90,【方法总结】利用tanAtan(90A)1，可得A与B之间的关系，从而求出C的大小,解：在ABC中，C=90，tanA=，tanB=.又 sinA=，cosB=sinA=.,1.在ABC中，C=90，tanA=，sinA=,求tanB，cosB.,当堂练习,2.计算：tan33tan34tan35tan55tan56tan57,解：原式=(tan33 tan57)(tan34 tan56)(tan35 tan55)=111=1,互余两角的三角函数,任意一个锐角的正（余）弦值，等于它的余角的余（正）弦值.,课堂小结,互余两个锐角的正切值互为倒数.,