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1、等差数列前n项和公式,复习回顾,(1)等差数列的通项公式:已知首项a1和公差d,则有:an=a1+(n-1)d 已知第m项am和公差d,则有:an=am+(n-m)d,d=（an-am）/（n-m）(2)等差数列的性质:在等差数列an中,如果m+n=p+q(m,n,p,qN),那么:an+am=ap+aq,问题1：1+2+3+100=？,这个问题，德国著名数学家高斯（1777年1855年）10岁时曾很快求出它的结果。（你知道应如何算吗？）,这个问题，可看成是求等差数列 1，2，3，n，的前100项的和。,100个101,设等差数列a1,a2,a3,它的前n 项和是 Sn=a1+a2+an-1+
2、an(1)若把次序颠倒是Sn=an+an-1+a2+a1(2)由等差数列的性质 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=由(1)+(2)得 2sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+.即 Sn=n(a1+an)/2,因为 an=a1+（n-1）d所以 Sn=na1+n(n-1)d/2,下面将对等差数列的前n项和公式进行推导,即前n项的和与首项末项及项数有关,若已知a1，n，d，则如何表示Sn呢？,由此得到等差数列的an前n项和的公式,即：等差数列前n项的和等于首末项的和与项数乘积的一半。,上面的公式又可以写成,解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。,知三求二,例1 如图，一个
3、堆放铅笔的 V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多一支，最上面一层放120支。这个V形架上共放着多少支铅笔？,解：由题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔，且自下而上各层的铅笔数成等差数列，记为an,其中 a1=1,a120=120.根据等差数列前n项和的公式，得,答：V形架上共放着 7 260支铅笔。,例2 等差数列-10，-6，-2，2，前多少项的和是54？,解：设题中的等差数列为an，前n项和是 Sn，则a1=-10，d=-6-(-10)=4,设 Sn=54，根据等差数列前 n项和公式，得,n1=9，n2=-3(舍去),等差数列-10，-6，-2，2，前9项的和是54。,例3 已知等差数列an中a2+a5+a12+a15=36.求前16项的和?,解:由等差数列的性质可得:a1+a16=a2+a15=a5+a12=36/2=18 sn=（16/2）18=144 答:前16项的和为144。,分析：可以由等差数列性质，直接代入前n 项和公式,例4 已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，求Sn.,解：,S10=310，S20=1 220,1：在a，b之间插入10个数，使它们同这两个数成AP,求这10个数的和。,巩固练习,2/(1).求1000以内能被11整除的所有自然数之和。,3.求一切被7除余1的三位数之和。,
