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1、00i%swkq第十四章 勾股定理尤新教育辅导学校 、 . 我们打败了敌人。 我们把敌人打败了。 第十四章：勾股定理 14.1勾股定理 一 知识点： 1. 对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、 b，斜边为c，那么一定有abc，这种关系我们称为勾股定理 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系 2. 直角三角形的判定：如果三角形的三边长a、 b、 c有关系： abc，那么这个三角形是直角三角形。 222222二学习过程： 1按教材的思路讲解，带领同学一起做推导的例子，并归纳相关的知识点。 2. 和学生一起完成课后习题。 3. 讲下关
2、于勾股定理的史话。 三例题及习题： 教材中的题目。 14.2 勾股定理的应用 一 知识点： 1. 能够用勾股定理解决涉及直角三角形的实际问题。 二学习过程： 1按教材的思路讲解，带领同学一起做推导的例子，并归纳相关的知识点。 2. 和学生一起完成课后习题。 三例题及习题： 1 尤新教育辅导学校 教材中的题目。 勾股定理经典例题 1勾股定理是把形的特征，转化为数量关系，不仅可以解决一些计算问题，而且通过数的计算或式的变形来证明一些几何问题，特别是证明线段间的一些复杂的等量关系. 在几何问题中为了使用勾股定理，常作高等辅助线构造直角三角形. 2勾股定理的逆定理是把数的特征转化为形的特征，可以有机地
3、与式的恒等变形，求图形的面积，图形的旋转等知识结合起来，构成综合题，关键是挖掘“直角”这个隐含条件. ABC中 CRta2b2=c2 3为了计算方便，要熟记几组勾股数： 3、4、5； 6、8、10； 5、12、13； 8、15、17； 9、40、41. 4勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法之一. 一般地说，在平面几何中，经常利用直线间的位置关系，角的相互关系而判定直角，从而判定直角三角形，而勾股定理则是通过边的计算的判定直角三角形和判定直角的. 利用它可以判定一个三角形是否是直角三角形，一般步骤是： 确定最大边； 算出最大边的平方，另外两边的平方和； 比较最大边的平方与另外两边的平方和是否
4、相等，若相等，则说明是直角三角形； 5勾股数的推算公式 罗士琳法则 任取两个正整数m和n(mn),那么m2-n2，2mn, m2+n2是一组勾股数。 k2-1k2+1 如果k是大于1的奇数，那么k, ,是一组勾股数。 22KK 如果k是大于2的偶数，那么k, -1,+1是一组勾股数。 22 如果a,b,c是勾股数，那么na, nb, nc (n是正整数)也是勾股数。 典型例题分析 22 3 尤新教育辅导学校 例1 在直线l上依次摆放着七个正方形(如图1所示)，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4=_ 依据这
5、个图形的基本结构，可设S1、S2、S3、S4的边长为a、b、c、d 则有a2+b2=1，c2+d2=3，S1=b2，S2=a2，S3=c2，S4=d2 S1+S2+S3+S4=b2+a2+c2+d2=1+3=4 4 尤新教育辅导学校 例2 已知线段a，求作线段5a 分析一：5a5a24a2+a2 5a是以2a和a为两条直角边的直角三角形的斜边。 分析二：5a9a-4a2 5a是以3a为斜边，以2a为直角边的直角三角形的另一条直角边。 作图 例3 如图：(1)以RtABC的三边长为边作三个等边三角形，则这三个等边的面积，S1、S2、S3之间有何关系，说明理由。 (2)如图(2)，以RtABC的三
6、边长为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积S1，S2，S3之间有何关系？ (3)如果将图(2)中斜边上的半圆沿斜边翻折180，成为图(3)，请验证：“两个阴影部分的面积之和正好等于直角三角形的面积”(此阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙) 2 分析： S3的表示均与直角三角形的边长有关。 (1)中S1，S2， 所以根据勾 5 尤新教育辅导学校 股定理可得出S1，S2，S3的关系，S1+S2=S3 (2)类似于(1)：S1+S2=S3 (3)图中阴影部分的面积是S1+S2+SABC-S3 S阴影=SABC 例4. 如图3，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若所有的正方形的
7、面积之和为507cm2，试求最大的正方形的边长。 分析：此题显然与勾股定理的几何意义有关，即 S1+S2=S3，S5+S6=S4，S3+S4=S阴 所以S1+S2+S5+S6=S3+S4=S阴 从而有3S阴=507，即S阴=169(cm2) 6 尤新教育辅导学校 最大的正方形的边长为13cm 例5 图(7)中，若大正方形EFGH的边长为1，将这个正方形的四个角剪掉，得到四边形ABCD，试问怎么剪才能使剩下的图形ABCD仍为正方形，且剩下图形的面积为原正方形面积的5/9 (3)设剪去的四个直角三角形的直角边长为a，b且ab， 则 将正方形EFGH的边长三等分，使 顺次连结A、B、C、D，所得正方
8、形ABCD的面积即为原正方形面积的 ，只要剪去ABE，BCF，CDG，DAH即可。 二、要学会用方程观点解题 例6. 已知：如图7，ABC中，AB=3，BC=4，B=90，若将ABC折叠，使C点与A点重合，求折痕EF的长。 分析：当解这样的问题时，由轴对称的概念，自然想到连AF。 由已知，可得 ，因此欲求EF，只要求AF的长。 7 尤新教育辅导学校 设AF=x，则FC=x，BF=4-x 只要利用RtABF中，AF2-BF2=AB2这个相等关系布列方程 x2-(4-x)2=9，问题就可以解决 例7. 在RtABC中，C=90，若a，b，c为连续整数(ab0， 只有x=4 8 尤新教育辅导学校 a
9、+b+c=(x-1)+x+(x+1)=3x=12 例8. 已知：如图8，ABC中，AB=13，BC=21，AC=20，求ABC的面积。 分析：为了求ABC的面积，只要求出BC边上的高AD 若设BD=x，则DC=21-x，只要利用AB2-BD2=AD2=AC2-DC2 这个相等关系，列方程132-x2=202-(21-x)2，求出x的值 问题就能解决 例9 细心观察图，认真分析各式，然后解答问题： (1)用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律； (2)推算出OA10的长； (3)求出 的值。 答案 (1)例10.如图已知ABC中，ADBC，ABCDACBD,求证：ABAC 证明：设AB，A
10、C，BD，CD分别为b,c,m,n 9 尤新教育辅导学校 则c+n=b+m, c-b=m-n ADBC，根据勾股定理，得 AD2c2-m2=b2-n2 c2-b2=m2-n2, BcmAbnC (c+b)(c-b)=(m+n)(m-n) D(c+b)(c-b) =(m+n)(c-b) (c+b)(c-b) (m+n)(c-b)0 (c-b)(c+b)(m+n)0 c+bm+n, c-b=0 即c=b ABAC 例11 .已知：正方形ABCD的边长为1，正方形EFGH内接于ABCD，AEa，2AFb,且SEFGH 求：b-a的值 3 10 尤新教育辅导学校 解：根据勾股定理 AEDH2 a2+b
11、2=EF2SEFGH ; 3FBC14SAEFSABCDSEFGH 2ab= 331得 2= b-a 33G例12 .已知ABC中，ARt，M是BC的中点，E，F分别在AB，AC，MEMF 求证：EF2BE2CF2 答案 .延长EM到N，使MNEM，连结CN，显然MNCMEB，NCBE，NFEF A(11)EFBMC例13 .RtABC中，ABC90o，C600，BC2，D是AC的中点，从D作DEAC与CB的延长线交于点E，以AB、BE为邻边作矩形ABEF，连结DF，则DF的长是。 FA(12)DEBC答案与提示：. 可证DFDE23 11 尤新教育辅导学校 例14 如图，圆柱的高为10 cm
12、，底面半径为2 cm.，在下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处，需要爬行的最短路程是多少? BAC BACA12 尤新教育辅导学校 答案(2p)2+102 练习 1 在边长为整数的ABC中，ABAC，如果AC = 4，BC = 3，求AB的长. 分析：此题没有指明是直角三角形，因此只能用三角形三边的关系定理求解，从AC AB AC+ BC知：4 AB7，得AB为5或6. 2 如图，在等腰ABC中，ACB=90，D、E为斜边AB上的点，且DCE=45。 求证：DE2=AD2+BE2。 CCFBADEADEB分析：利用全等三角形的旋转变换，进行边角的全等变换，将边转移到一个
13、三角形中，并构造直角三角形。 3 如图，在A BC中，AB=13,BC=14,A C=15，则BC边上的高A D= 。 A答案12。BDC4 如图，长方形ABCD中，AB=8，BC=4，将长方形沿AC折叠，点D落在点 13 尤新教育辅导学校 E处，则重叠部分AFC的面积是 。 DCAFBE设EF=x，那么AF=CF=8-x，AE2+EF2=AF2,所以42+x2=(8-x)2,解得x=3， S=4*8/2-3*4/2=10 答案：10 5 如图，长方体的高为3 cm，底面是边长为2 cm的正方形. 现有一小虫从顶点A出发，沿长方体侧面到达顶点C处，小虫走的路程最短为多少厘米? 14 尤新教育辅
14、导学校 答案AB=5 AC6 在ABC中，AB=15 ,AC=20,BC边上的高A D=12，试求BC边的长. 答案25或7 7 在A BC中，D是BCABAABDCCBD所在A直线上一点，若BDCCBDAB=l0,BD=6,AD=8,AC=17，求ABC的面积。 答案84或36 15 尤新教育辅导学校 勾股定理练习题 一、选择题 1如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( ) A7，24，25 B311111，4，5 C3，4，5 D4，7，8 222222如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( ) A1倍 B2倍 C3倍 D4倍 3在下列说法中是错误的 A在ABC中，CA一B，则ABC为直角三角形 B在ABC中，若ABC523则ABC为直角三角形 34C在ABC中，若ac，bc，则ABC为直角三角形 55D在ABC中，若abc224，则ABC为直角三角形 4四组数:9，12，15；7，24，25；32，42，52；3a，4a，5a(a0)中， 16
