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1、001025数值计算方法数值计算方法复习题 一、简述求解非线性方程的常用的方法有哪些？ px=0在0，1之间的一个根，要求误差不用二分法求解方程e-x-sin21超过5。 2 一、答案：求解非线性方程的常用的方法有二分法、迭代法、牛顿法、弦截法 px令f(x)=e-x-sin，则f(0)=10，f(1)=-0.63210， 2ppx0 且f(x)=-e-x-cos22f(x)在0,1之间有且仅有一个根x*，其计算过程为： 误差限 1f(0.5)=-0.1006 0.5) (0，1 21f(0.25)=0.3961 0.5) (0.25，2 221f(0.375)=0.1317 0.5) (0.
2、375，3 231f(0.4375)=-0.0113 0.5) (0.4375，4 240.4375+0.51=0.46875为x*的近似值，且x4-x*5 取x4=22二、举例说明误差的来源主要有哪些？在数值计算中值得注意的问题主要有什么？ 二、答案：误差的主要来源有： 模型误差； 观测误差； 截断误差； 舍入误差。 在数值计算中值得注意的问题主要有： 防止相近的两数相减； 防止大数“吃掉”小数； 防止除法中除数的数量级远小于被除数。 三、简述LU分解法求解线性方程组的步骤； 已知 n 函数值符号 有根区间 1 2231223477=2131 6-245-121试用LU分解法求解方程组 22
3、3x13477x=1。 2-245x3-7三、答案：LU分解法求解线性方程组的步骤： 对于方程组AX=b，首先对系数矩阵A进行LU分解：A=LU；则 = b LYAX=bLUX=b ，接下来分别求解两个三角方程组即可： UX=Y LY=b和UX=Y 首先对系数矩阵A进行LU分解 1223A=LU=21g31 -1216由LY=b，可解得Y=(3,-5,6) 再由UX=Y，得X=(2,-2,1) 四、用一般迭代法求解方程x3-x2-1=0在x=1.4 , 1.5间的根，要求： 构造迭代公式，并验证所得迭代公式是收敛的； 求近似根，使xk-x*0 (x1.，33x2+12()1.5) 且j(x)1
4、 (x1.4，迭代法收敛，迭代公式为 2xk+1=31+xk (k0) 取x0=1.45，代入迭代公式 x1=1.4585 2 x2=1.4624 x3=1.4611 x4=1.4691 x5=1.4653 x6=1.4654 *Qx6-x5=10-4l2l3Lln 则称l1为A的主特征值，其对应的特征向量为主特征向量 算法： V0=y0 Vk=Ayk-1 yk=Vkmax(Vk)则 limyk=kx1max(x1)limmax(Vk)=l1 kl1-6.42106 0.04，62- x1(-0.，3)74 91T九、已知函数表如下： x x 100 10 121 11 144 12 169
5、13 试构造差商表，用三次牛顿基本插值多项式计算117的值。 九、答案： 构造差商表： x 100 121 144 169 f(x) 10 11 12 13 一阶差商 0.047619 0.043478 0.040000 5 二阶差商 -0.000094 -0.000072 三阶差商 0.00000031 N3(x)=10+0.047619(x-100)-0.000094(x-100)(x-121) +0.00000031(x-100)(x-121)(x-144) 把x=117代入上式，可得117=10.817 十、名词解释 1相对误差 2向量的范数 3插值函数 4代数精度 x*-x十、1.若x是准确值，x是x的一个近似值，则e=称为x*的相对误差 x*r2. x是一个n维向量，若存在xR满足： x0且x=0当且仅当x=0； aR，有ax=agx； x+yx+y 则称x为x的范数 3.设函数y=f(x)在区间a,b上有定义，x0,x1,xn是a,b上n+1个互异点，且f(x)在其上的函数值分别为y0,y1,yn。若存在函数j(x)使j(xi)=yi(i=0,1,n)，则称j(x)为f(x)的插值函数。 4.若数值积分公式对任意小于或等于m次的代数多项式都准确成立，而对于xm+1却不能准确成立，则称该数值积分公式的代数精度为m 6
