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1、02 第二节 矩阵的特征值与特值向量第二节 矩阵的特征值与特征向量 内容分布图示 特征值与特征向量的概念 例1 例2 例3 例4 例5 特征值与特征向量的性质 ( 1 ) 例6 特征值与特征向量的性质 ( 2 ) 例7 例8 定理 例9 例10 例11 内容小结 课堂练习 习题4-2 返回 内容要点: 一、特征值与特征向量 定义1 设A是n阶方阵, 如果数l和n维非零向量X使 AX=lX 成立, 则称数l为方阵A的特征值, 非零向量X称为A的对应于特征值l的特征向量. 注：1. n阶方阵A的特征值l，就是使齐次线性方程组 (lE-A)X=0 有非零解的值, 即满足方程 |lE-A|=0 的l都
2、是矩阵A的特征值. 称关于l的一元n次方程|lE-A|=0为矩阵A的特征方程，称l的一元n次多项式 f(l)=|lE-A| 为矩阵A的特征多项式. 根据上述定义，即可给出特征向量的求法： 设l=li为方阵A的一个特征值，则由齐次线性方程组 (liE-A)X=0 可求得非零解pi，那么pi就是A的对应于特征值li的特征向量，且 A的对应于特征值li的特征向量全体是方程组(liE-A)X=0的全体非零解。即设p1,p2,ps为(liE-A)X=0的基础解系，则A的对应于特征值li的特征向量全体是 p=k1p1+k2p2+ksps(k1,ks不同时0). 二、特征值与特征向量的性质 性质1 n阶矩阵
3、A与它的转置矩阵AT有相同的特征值. 性质2 设A=(aij)是n阶矩阵，则 l-a11 f(l)=|lE-A|=-a21L-an1-a12l-a22L-an2L-a1nL-a2nLLLl-annnn-1l+L+(-1)kSkln-k+L+(-1)n|A| =l-aiii=1nS其中Sk是A的全体k阶主子式的和. 设l1,l2,L,ln是A的n个特征值，则由n次代数方程的根与系数的关系知，有 (1) l1+l2+L+ln=a11+a22+L+ann; (2) l1l2Lln=|A|. 其中A的全体特征值的和a11+a22+L+ann称为矩阵A的迹, 记为 tr(A). 性质3 设A=(aij)
4、是n阶矩阵,如果 (1) 或 (2) |aij|1(i=1,2,L,n) j=1nn|aij|1(j=1,2,L,n) i=1有一个成立, 则矩阵A的所有特征值li的模小于1, 即|li|1(i=1,2,L,n) 定理1 n阶矩阵A的互不相等的特征值l1,L,lm对应的特征向量p1,p2,L,pm线性无关. 注：1. 属于不同特征值的特征向量是线性无关的; 2. 属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量 3. 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的, 一个特征值具有的特征向量不唯一; 一个特征向量不能属于不同的特征值. 例题选讲： 31例1 (讲义例1) 求矩阵A
5、=5-1的特征值和特征向量. -211例2 (讲义例2) 设A=020, 求A的特征值与特征向量. -413a0L00aL0例3 (讲义例3) 求n阶数量矩阵A=的特征值与特征向量. LLLL00Laa110例4 试求上三角矩阵A的特征值: A=L0a12a22L0La1nLa2n. LLLann11122333,B=,A+B=,AB=例5 令A=则01212221. 例6 (讲义例4) 试证: n阶矩阵A是奇异矩阵的充分必要条件是A有一个特征值为零. 注: 此例也可以叙述为：n阶矩阵A可逆它的任一特征值不为零. 例7 (讲义例5) 设l是方阵A的特征值, 证明 (1) l2是A2的特征值;
6、(2) 当A可逆时, 1是A-1的特征值. l注：易进一步证明：若l是A的特征值, 则lk是Ak的特征值，j(l)是j(A)的特征值，其中j(x)=a0xn+a1xn-1+an-1x+an, 特别地, 设特征多项式f(l)=|lE-A|, 则f(l)是f(A)的特征值, 且 An-(a11+a22+L+ann)An-1+L+(-1)n|A|E=0. 例8 设3阶矩阵A的特征值为1,-1,2, 求|A*+3A-2E|. 1-11例9 求3阶矩阵A=13-1的特征值以及相应的线性无关的特征向量组. 111例10 设l1和l2是矩阵A的两个不同的特征值, 对应的特征向量依次为p1和p2, 证明p1+p2不是A的特征向量. 例11(讲义例6) 正交矩阵的实特征值的绝对值为1. 注:A的特征值l是特征方程|lE-A|=0的根，也是|A-lE|=0的根.A的对应特征值l的特征向量是齐次方程组(lE-A)X=0的非零解，也是(A-lE)X=0的非零解. 课堂练习 3-11.求矩阵A=-13的特征值和特征向量. 6042.求矩阵A=-3-50的特征值与特征向量. -3 -61
