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1、02概率论第二章练习答案 概率论第二章 练习答案 一、填空题： 1设随机变量X的密度函数为f(x)=2x o1则用Y表示对X的3次独立重复的观察中事件0其它(X12)出现的次数，则P 。 P(X112)=122xdx= 04p(Y=2)=C2123193(4)(4)=64 2. 设连续型随机变量的概率密度函数为： ax+b 0x1 f (x) = 0 其他 且EX13，则a = _-2_， b = _2_。 1(ax+b)dx=10 1x(ax+b)dx=103解之 3. 已知随机变量X在 10，22 上服从均匀分布，则EX= 16 ， DX= 12 4. 设x为随机变量，Ex=3，Ex2=1
2、1，则E= 4Ex+10=22 D(4x+10)=16Dx=16Ex2-2=32 5. 已知X的密度为j(x)= ax+b0x13) a= , b = +j-xdx=1P=P10dx=dx3a=-32，b=74+6若f(x)为连续型随机变量X的分布密度，则-f(x)dx=1。 第 1 页 共 14 页 ， 则 0,x020x1，则 7. 设连续型随机变量的分布函数F(x)=x/4,1,x2P= 0 ；P(0.2x6)= 0.99 。 100(x100 8. 某型号电子管，其寿命为一随机变量，概率密度j(x)x20(其他)，某一个电子设备内配有3个这样的电子管，则电子管使用150小时都不需要更换
3、的概率为8/27。 j(x)= 0 其它 P=1F(150)=1P(x150)3=(100x2 x100 150100x2100dx=1+100x150100=1+23-1=2323)3=8279. 设随机变量X服从B分布，已知EX1.6，DX1.28，则参数n_，P_。 EX = np = 1.6 DX = npq = 1.28 ，解之得：n = 8 ，p = 0.2 10. 设随机变量x服从参数为的二项分布，Y服从参数为的二项分布，若P解： 59，则P65/81。 p(X1)=q259p(X1)=23,p=1349=p(X=0)=49q=p(Y1)=1-P(Y=0)=1-C04pqo4=1
4、-1681=6581=80.2%11. 随机变量XN，且P=0.3，则P=0.2 P=P-P=F-F=0.32s)-F0(0)=0.3,从而F0(0-22s)=0.3+0.5=0.82)=1-F0(2)=1-0.8=0.2再代入P=F=F0(-ss第 2 页 共 14 页 12. 设随机变量X服从参数为1的指数分布，则数学期望E(X+e E=EX+Ee-2X=1+0e-2xe-xdx=1+13 13. 已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松分布，则随机变量Z= 3X2的期望 E (Z)3EX-2=3x2-2=4 。 14设随机变量X服从参数为l的泊松分布，且P ( X= 1) = P ( X=
5、2 ) 则E (X) = _2_. D (X) = _2_. l1!e-l=l22!e-ll-2l=0 2l=2(l=0舍) 15. 若随机变量服从参数=0.05的指数分布，则其概率密度函数为： 0.05e-0.05xf(x)=0x0x15/x10)=P(x15)P(x10)=0.20.7=27=0.286 17. 某一电话站为300个用户服务，在一小时内每一用户使用电话的概率为0.01，则在一小时内有4个用户使用电话的概率为 P3(4)=0.168031 Xb(300,0.01)300 解：P(X=4)=44296*0.01*0.99, 算：利用泊松定理作近似计一小时内使用电话的用户数服从l
6、=np=3000.01=3的泊松分布 18 通常在n比较大，p很小时，用 泊松分布 近似代替二项分布的公式，其期望为 l=np ，方差为 l=np 2 19XN(m,s),P(X-5)=0.045,P(X3)=0.618，则m1.8，s4。 二、单项选择： 1设随机变量X的密度函数为： 4x3, 0xa)=P(xa)=+aaf(x)dx=a4xoa13dx P(xa)=-f(x)dx=4xdx,联立,3ao4xdx,=31a4xdx解之得:a=31422设F1与F2分别为随机变量X1与X2的分布函数，为使FaF1(x)bF2(x)是某一随机变量的分布函数，在下列给它的各组值中应取 Aa=35,
7、 b =2532Ba=Da=2312, b=23Ca= 12, b=, b=32F(+)=a F1 (+)-BF2 (+)=1a-b=1 a=35,b=-25适合 3. 已知随机变量的分布函数为F= A + B arctgx ，则： A、A=12 B=p B、A=12 B=1p C、 A=p B=12 D、A=1p B=12 解：要熟悉arctgx的图像 QF(+)=A+Barctg(+),1=A+BQF(-)=A+Barctg(-),0=A-B联立求解即可。p2; p24. 设离散型随机变量X仅取两个可能值X1和X2，而且X10x00B、j(x)= e0-(x-a)xa其它C、j(x)= s
8、inx0x03x0,p其它-1x1其它D、j(x)= j0依据密度函数的性质：+进行判断得出：B为正确答案 jdx=1-8. 设X的概率密度为j(x)，其分布函数F，则成立。 A、P(x=+)=F(x) B、0j(x)1 第 5 页 共 14 页 C、P(x=+)=j(x) D、P(x+)F(x) x0x19. 如果xj(x)，而j(x)= 2-x 1x2 ，则P= 0 A、 其它1.51.501(2-x)dx B、1.50x(2-x)dx C、0.875 D、(2-x)dx -0xdx+1.51dx=78=0.875 10. 若随机变量X的可能取值充满区间，那么Sinx可以作为一个随机变量的
9、概率密度函数。 A0，p B0.5p, p C0, 1.5p Dp, 1.5p j0 依据密度函数的性质：+进行判断得出：B为正确答案 jdx=1-11. 某厂生产的产品次品率为5%，每天从生产的产品中抽5个检验，记X为出现次品的个数，则E(X)为。 A0.75 B0.2375 C0.487 D0.25 此题X服从二项分布b(5,0.05),EX=np=5*0.05=0.25 12. 设X服从二项分布，若P不是整数，则K取何值时，P最大？ AKP CKnP 解：根据二项分布的正态近似知，当X接近于EX=np时取到最大值，由于P不是整数，因此需要寻找最接近np的整数。 13设X服从泊松分布，若l
10、不是整数，则K取何值时，P最大？ Al Bl Cl1 Dl1 解：根据二项分布的泊松近似，以及泊松分布的正态近似知： 当EX=l时取到最大值，因为l不是整数，而K必须为整数，因此需要对l取整 14. XN(0,1)，Y=2X1，则Y A、N B、N C、N D、N DY=D=4DX=4，EY=E=2EX-1=-1 15. 已知随机变量X服从参数为2的指数分布，则其标准差为： BKPi DKP A2 B1/4 C1/2 D22第 6 页 共 14 页 随机变量的参数为2，即方差为1/4，标准差则为1/2 16当满足下列条件时，二项分布以正态分布为极限分布更准确。 An,npl Bn,p0 Cp0
11、,npl Dn pX2017. 设XN(10,25),已知F0(1)0.8413，F0(2)0.97725，则的概率分别为 C A. 0.0228 , 0.1587 B. 0.3413 , 0.4772 C. 0.1587 , 0.0228 D. 0.8413 , 0.97725 和P=F=F=1-F=1-0.8413=0.15870020-105P=1-P=1-F=1-F=0.02280 1. 设随机变量X的密度函数是连续型函数，其密度函数为： AX 0X1 f(x) = X 1X2 B0 其它 1232试求：常数A、B。分布函数FP由X为连续型随机变量， X） limx1+f(x)=f(1
12、),即:limx1+(B-X)=f(1) B-1=ALL 同时：-+f(x)dx=1 A+2B=5LL 、式联系解得：A=1，B=2 F(x)=-xf(t)dt, 则当x0时，F(x)=0; x12 当ox1,F(x)=001tdt=x; 2 当12时，F(x)=1. 0x012x0x12 F(x)=12121 P( 12X33131321123 )=F-F=2-1-=2222222242. 设已知Xj(x)= 2x00x1其它 ，求： P F 解： P= 0.502xdx=14F=x-jdt=x02tdt=x20，x02F=x，0x11，x1 1(0x1)XfX(x)=0(其他）YFY(y)
13、=p(Yy)=p(3X+1y)=p(X fY(y)=FY(y)=fX(y-13)=FX(y-13)y-13)1312y- 3. 设随机变量X的密度函数为： ax 0x2 f(x)= cx + b 2x4 0 其他 已知 EX2， P34，求a、b、c的值 第 8 页 共 14 页 解：0axdx022+2(cx+b)dx24=2a+6c+2b=1 EX=axdx+224(cx2+bx)dx=83a+56332c+6b=2 p(1X3)=1axdx+23(cx+b)dx=-14a+52c+b=34 联系解得=a= 14,b=1,c= 4假定在国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量X,
14、已知X服从2000,4000上的均匀分布，设每出售这种商品1t，可为国家挣得 *3万元，但假如销售不出而囤积于仓库，则每吨需浪费保养费1万元，问应组织多少货源，才能使国家的收益最大？ 解：Y：每年该商品的出口量 R：收益 1,2000x4000 X的密度函数：-f(x)=2000， 0,其他3yxyx 0的指数分布，当三包元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作，试求电路正常工作的时间的概率分布。 解：设Xi表示第i个电气之元件无故障工作的时间，i=1,2,3,则X1X2X3独立且同分布，分布函数为：1-e-lxF(x)=0x0x0设G是T的分布函数。 当tt=1-PX1t,X3
15、2t,X23t3=1-PX1tPX=1-P(Xt)=1-1-F(t)1-1-(1-e=1-(e-lt-lt33tPXt)3=1-e-3lt1-e-3lt,(t0)G(t)=0,(t0)T服从参数为3l的指数分布212. 设从一批材料中任取一件测出这种材料的强度XN，求： 取出的该材料的强度不低于180的概率； 若某项工程要求所用的材料强度要以99%的概率保证不低于150，问这批材料是否合乎要求？解： P(X180)=0.8665 P(X150)=0.9973 大于0.99，故这批材料合要求。 13. 生产某种产品的废品率为0.1，抽取20件产品，初步检查已发现有2件废品，则这20件产品中，第
16、12 页 共 14 页 废品不少于3件的概率为多大？ 解： l=“20件产品中废品数目”,lb(20,0.1) “初步检查已发现有2件废品”=“l2” “废品数不少于3件”=“ l3” p=0.1 q=0.9 n=20. 20p(l3l2)=p(l3)p(l2)=k=320Ck20k200.10.9k20-kk=2C0.10.9k20-kC=1-1-C02022000.10.9202180.10.9-C120=53.1%0.90.11914. 某公司作信件广告，依以往经验每送出100封可收到一家定货。兹就80个城市中的每一城市发出200封信。求无一家定货的城市数；有三家定货的城市数。 解：设发
17、出200封信后有家定货，则B 近似服从参数为l=np=2的泊松分布 P=200!e-2=e-20.1353 ，P=233!e-2=43e-20.1804 无一家定货的城市数为800.1353=10.82 有三家定货的城市数为800.1804=14.43 15. 某企业准备通过考试招收300名职工，其中招正式工280人、临时工20人，报考人数为1657人，考试满分是400分。考后得知，考试平均成绩为166分，在360分以上的高分考生有31人。求： 为录取到300人，录取分数线应设定到多少？ 某考生的分数为256分，他能否被录取为正式工？ 解： 第 13 页 共 14 页 XNP=1-P=1-F=0.98122360-166s）=311657194ss=2.08s=93.3XNP=a-16693.330016571-F=0.181F=0.819=0.91a=250.9因此，分数线应定在250.9分。 P=1-P=1-F=1-0.835=0.1652801657故第 14 页 共 14 页
