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1、05 第五节 线性变换的矩阵表示第五节 线性变换的矩阵表示 分布图示 线性变换的标准矩阵 例1 线性变换在给定基下的矩阵 线性变换与其矩阵的关系 例2 例3 例4 线性变换在不同基下的矩阵 例5 内容小结 课堂练习 习题6-5 内容要点 一、线性变换的标准矩阵 根据上节例5，若定义R中的变换y=T(x)为 T(x)=Ax(xRn), n那么T为一个线性变换，设e1,e2,L,en为单位坐标向量, 则有 ai=Aei=T(ei)(i=1,2,L,n), 因此,如果一个线性变换T有关系式T(x)=Ax,那么矩阵A应以T(ei)为列向量.反之,如果一个结性变换T使 T(ei)=ai(i=1,2,L,
2、n), 则有 T(x)=Te1,e2,L,en=T(x1e1+x2e2+L+xnen) =x1T(e1)+x2T(e2)+L+xnT(en) =(T(e1),T(e2),L,T(en)x=(a1,a2,L,an)x=Ax, 综上所述知, R中任何线性变换T都可以用关系式 T(x)=Ax(xRn) n表示,其中A=(T(e1),T(e2),L,T(en).称为线性变换T的标准矩阵. 一个线性变换T,无论是用图示还是文字描述,我们都希望得到T(x)的“计算式”。下面nn的讨论表明,从R到R的每个线性变换实际上都是一个矩阵变换xaAx,并且T的主要性质与矩阵A的性质密切相关. 求A的关键,要注意T完
3、全由它在单位矩阵En列上的作用所确定的. 二、线性变换在给定基下的矩阵 定义1 设T是线性空间Vn中的线性变换，在Vn中取定一个基a1,a2,L,an, 如果这个基在变换T下的象为 T(a1)=a11a1+a21a2+L+an1an,T(a2)=a12a1+a22a2+L+an2an, T(an)=a1na1+a2na2+L+annan,记 T(a1,a2,L,an)=(T(a1),T(a2),L,T(an), 则上式可表示为 T(a1,a2,L,an)=(a1,a2,L,an)A， a11a21其中A=Lan1La1nLa2n, 那末，则称A为线性变换T在基a1,a2,L,an下的矩阵. L
4、LLann显然，矩阵A由基的象T(a1),T(a2),L,T(an)唯一确定. a12a22Lan2三、线性变换与其矩阵的关系 设A是线性变换T在基a1,a2，L,an下的矩阵，即基a1,a2,L,an在变换T下的象为 T(a1,a2,L,an)=(a1,a2,L,an)A, 结论 在Vn中取定一个基后，由线性变换T可唯一地确定一个矩阵A，由一个矩阵A也可唯一地确定一个线性变换T. 故在给定基的条件下，线性变换与矩阵是一一对应的. 四、线性变换在不同基下的矩阵 已知同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵，那么这些矩阵之间有什么关系呢？ 定理1 设线性空间Vn中取定两个基a1,a2,L,an；b
5、1,b2,Lbn，由基a1,a2,L,an到基b1,b2,Lbn的过渡矩阵为P，Vn中的线性变换T在这两个基下的矩阵依次为A和B，则 B=P-1AP. 定理表明：B与A相似，且两个矩阵之间的过渡矩阵P就是相似变换矩阵. 定义2 线性变换T的象空间T(Vn)的维数，称为线性变换T的秩. 结论 () 若A是T的矩阵，则T的秩就是r(A). () 若T的秩为r，则T的核Sr的维数为n-r. 例题选讲 线性变换的标准矩阵 101023例1 (E01) 设E2=0,e2=1.如果T是从R到R的线01,E2中的列为e1=性变换: 2-3T(e1)=-6,T(e2)=0. 78求任意xR的像的公式. 解 x
6、=232x110=x+x=x1e1+x2e2 1201x2因为T是从R到R的线性变换, 所以 2-32x1-3x2 T(x)=x1T(e1)+x2T(e2)=x1-6+x20=-6x1. 787x+8x21线性变换与其矩阵的关系 例2 (E02) 在Px3中, 取基p1=x3,p2=x2,p3=x,p4=1,求微分运算D的矩阵. Dp1=3x2=0p1+3p2+0p3+0p4Dp=2x=0p1+0p2+2p3+0p4解 2, Dp3=1=0p1+0p2+0p3+1p4Dp=0=0p+0p+0p+0p12344所以D在这组基下的矩阵为 03A=000020000100. 00例3 (E03) 实
7、数域R上所有一元多项式的集合，记作Px,Px中次数小于n的所有一元多项式(包括零多项式)组成的集合记作Pxn, 它对于多项式的加法和数与多项式的乘法，构成R上的一个线性空间。在线性空间Pxn中，定义变换 d s(f(x)=f(x),f(x)Pxn dx则由导数性质可以证明：s是Pxn上的一个线性变换, 这个变换也称为微分变换. 现取Pxn的基为1，x,x2,L,xn-1，则有 s(1)=0，s2(x)=1，s(x2)=2x，s(xn-1)=(n-1)xn-2, . Ln-1L0LLL00L因此，s在基1,x,x,L,xn-1下的矩阵为 010002LLLA=000000例4 (E04) 在R3
8、中，T表示将向量投影到xOy平面的线性变换，即 T(xi+yj+zk)=xi+yj, (1) 取基为i,j,k，求T的矩阵； (2) 取基为a=i,b=j,g=i+j+k, 求T的矩阵. rrTi=i100rrrrrrrr解 (1) Tj=j, 即T(i,j,k)=(i,j,k)010. rr000Tk=0rTa=i=a101r(2) Tb=j=b, 即T(a,b,g)=(a,b,g)011. rr000Tg=i+j=a+b由此可见: 同一个线性变换在不同的基下一般有不同的矩阵. 线性变换在不同基下的矩阵 a11a12，求T在例5 (E05) 设R22中的线性变换T，在基a，b下的矩阵为A=aa2221基b, a下的矩阵. 010101-1P=解 (b,a)=(a,b) 即 求得,P=101010, 于是T在基b,a下的矩阵为 01a11a1201a21a2201=B=1010=aaaa1022122111a22a12a21. a11课堂练习 1.已知R22的两个线性变换 T(X)=XN，S(X)=MX，XR22 1011N其中M=，=-201-1, 试求T+S在基E11,E12,E21,E22下的矩阵.
