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1、08文科导数重庆卷小问6分，小问6分.） 设函数f(x)=x3+ax2-9x-1(ap0).若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行，求： a的值; 函数f(x)的单调区间. (19)(本小题12分) 解：()因f(x)=x2+ax2-9x-1 所以f(x)=3x2+2ax-9 a2a2. =3(x-)-9-33aa2. 即当x=-时，f(x)取得最小值-9-33 因斜率最小的切线与12x+y=6平行，即该切线的斜率为-12， a2=-12,即a2=9. 所以-9-3 解得a=3,由题设a0,故f(x)在(-，-1）上为增函数； 当x(-1,3)时，f(x)0,故f(x)在上
2、为增函数.由此可见，函数f(x)的单调递增区间为(-,-1）和；单调递减区间为.浙江卷已知a是实数，函数f(x)=x2(x-a)。 若f(1)=3，求a的值及曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程； 求f(x)在区间0,2上的最大值。 解：f(x)=3x-2ax， 因为f(1)=3-2a=3， 所以a=0 又当a=0时，f(1)=1，f(1)=3， 1 2所以曲线y=f(x)在(1，f(1)处的切线方程为3x-y-2=0 解：令f(x)=0，解得x1=0，x2=当2a 32a0，即a0时，f(x)在0，2上单调递增，从而 3fmax=f(2)=8-4a 当2a2，即a3时，f(x)在0
3、，2上单调递减，从而 3fmax=f(0)=0 当02a2a2a2，即0a3时，f(x)在0，上单调递减，在，2上单调递增，从333而fmax=0a2，8-4a，0，2a20，综上所述， fmax=天津卷21 设函数f(x)=x4+ax3+2x2+b(xR)，其中a，bR 当a=-10时，讨论函数f(x)的单调性； 3若函数f(x)仅在x=0处有极值，求a的取值范围； 若对于任意的a-2，2，不等式f(x)1在-11，上恒成立，求b的取值范围 21本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、函数的最大值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力满分14分 322解：f(x)=4x+3
4、ax+4x=x(4x+3ax+4) 当a=-10时， 3f(x)=x(4x2-10x+4)=2x(2x-1)(x-2) 令f(x)=0，解得x1=0，x2=1，x3=2 2当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表： x f(x) (-，0) 0 0 10， 21 20 2 12 ，2- 2 (2，+) - + 0 + f(x) 极小值 极大值 极小值 所以f(x)在0，(2，+)内是增函数，在(-，0)，2内是减函数 解：f(x)=x(4x2+3ax+4)，显然x=0不是方程4x+3ax+4=0的根 为使f(x)仅在x=0处有极值，必须4x+3ax+40恒成立，即有D=9a-640 解此
5、不等式，得-a这时，f(0)=b是唯一极值 因此满足条件的a的取值范围是-， 33解：由条件a-2，2可知D=9a-640恒成立 222221212838388当x0时，f(x)0时，f(x)0 因此函数f(x)在-11，上的最大值是f(1)与f(-1)两者中的较大者 为使对任意的a-2，2，不等式f(x)1在-11，上恒成立，当且仅当 f(1)1，b-2-a， 即 f(-1)1，b-2+a在a-2，2上恒成立 所以b-4，因此满足条件的b的取值范围是(-，-4 四川20 设x=1和x=2是函数f(x)=x+ax+bx+1的两个极值点. ()求a、b的值； ()求f(x)的单调区间. ：因为f
6、53(x)=5x4+3ax2+b 由假设知：f(1)=5+3a+b=0 f解得a=(2)=245+223a+b=0 25,b=20 3由知 42=5 f(x)=5x+3ax+b(2x-1)(4x-)4=(5x+1)(x+2)(x-1) x-2)(当x(-,-2)U(-1,1)U(2,+)时，f当x(-2,-1)U(1,2)时，f(x)0 (x)0，求函数f(x)的单调区间； 当函数y=f(x)与y=g(x)的图象只有一个公共点且g(x)存在最小值时，记g(x)的最小值为h(a)，求h(a)的值域； 若f(x)与g(x)在区间(a,a+2)内均为增函数，求a的取值范围 22解：Q f(x)=3x
7、+2ax-a=3(x-)(x+a)，又a0， a3aa时，f(x)0；当-ax时，f(x)0， 33aaf(x)在(-,-a)和(,+)内是增函数，在(-a,)内是减函数 33 当x由题意知 x+ax-ax+1=ax-2x+1， 即xx2-(a2-2)=0恰有一根 a-20，即-2a2， 又a0， a-2,0)U(0,2 2当a0时，g(x)才存在最小值，a(0,2Q g(x)=a(x-)+a-322221a1， a12 h(a)=a-,a(0,2 h(a)的值域为(-,1-a2当a0时，f(x)在(-,-a)和(,+)内是增函数，g(x)在(,+)内是增函数 a31aa0a由题意得a，解得a
8、1； 31aa当a3，f(x)=0求得两根为x= 32-a-a2-3-a+a2-3-a-a2-3即f(x)在-，递增，递减， 333-a+a2-3，+递增 3-a-a2-32-332，且a3 1-a+a2-3-337解得：a 4辽宁卷(22) 设函数f(x)=ax3+bx23a2x+1(a、bR)在x=x1，x=x2处取得极值，且|x1x2|=2. ()若a=1，求b的值，并求f(x)的单调区间； ()若a0，求b的取值范围. 解：f(x)=3ax+2bx-3a 2分 当a=1时，f(x)=3x+2bx-3； 2224b2+36由题意知x1，x2为方程3x+2bx-3=0的两根，所以x1-x2
9、= 32由x1-x2=2，得b=0 4分 从而f(x)=x-3x+1，f(x)=3x-3=3(x+1)(x-1) 22，时，f(x)0 当x(-11)，单调递减，在(-，-1)，(1，+)单调递增 故f(x)在(-11) 6分 由式及题意知x1，x2为方程3x+2bx-3a=0的两根， 224b2+36a322所以x1-x2=从而x1-x2=2b=9a(1-a)， 3a由上式及题设知00) 43求函数y=f(x)的单调区间； 若函数y=f(x)的图像与直线y=1恰有两个交点，求a的取值范围 21. 解：因为f(x)=x3+ax2-2a2x=x(x+2a)(x-a) 令f(x)=0得x1=-2a
10、,x2=0,x3=a 由a0时，f(x)在f(x)=0根的左右的符号如下表所示 x f(x) f(x) (-,-2a) -2a 0 极小值 (-2a,0) 0 0 极大值 (0,a) a 0 极小值 (a,+) - + - + 所以f(x)的递增区间为(-2a,0)与(a,+) f(x)的递减区间为(-，-2a)与(0，a) 由得到f(x)极小值=f(-2a)=-a，f(x)极小值=f(a)=53474a 12f(x)极大值=f(0)=a4 要使f(x)的图像与直线y=1恰有两个交点，只要-a1453474a或a412或0a1. 77 21 149x+x3-x2+cx有三个极值点。 42证明：
11、-27c5； 已知函数f(x)=若存在实数c，使函数f(x)在区间a,a+2上单调递减，求a的取值范围。 解：因为函数f(x)=149x+x3-x2+cx有三个极值点, 42所以f(x)=x3+3x2-9x+c=0有三个互异的实根. 设g(x)=x3+3x2-9x+c,则g(x)=3x2+6x-9=3(x+3)(x-1), 当x0, g(x)在(-,-3)上为增函数; 当-3x1时，g(x)1时，g(x)0, g(x)在(1,+)上为增函数; 所以函数g(x)在x=-3时取极大值,在x=1时取极小值. 当g(-3)0或g(1)0时,g(x)=0最多只有两个不同实根. 因为g(x)=0有三个不同
12、实根, 所以g(-3)0且g(1)0,且1+3-9+c-27,且c5,故-27c5. 由的证明可知，当-27c5时, f(x)有三个极值点. 不妨设为x1，x2，x3，则f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3). 所以f(x)的单调递减区间是(-，x1,x2,x3 若f(x)在区间a,a+2上单调递减， 则a,a+2(-，x1, 或a,a+2x2,x3, 若a,a+2(-，x1,则a+2x1.由知，x1-3,于是a-5. 若a,a+2x2,x3,则ax2且a+2x3.由知，-3x21. 又f(x)=x+3x-9x+c,当c=-27时，f(x)=(x-3)(x+3); 当c=5时，f(x)
13、=(x+5)(x-1). 因此, 当-27c5时，1x3-3,且a+23. 8 2322即-3a1.故a-5,或-3a1.反之, 当a-5,或-3a得x2或x0, 10 2m+60，所以m=-3, 23故f(x)的单调递增区间是，； 由f(x)0得0x2, 故f(x)的单调递减区间是. ()由得f(x)3x(x-2), 令f(x)0得x=0或x=2. 当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表： X f(x) f(x) (-.0) + 0 0 极大值 (0,2) 2 0 极小值 (2,+ ) 由此可得： 当0a1时，f(x)在内有极大值f(O)=-2,无极小值； 当a=1时，f(x)在内无
14、极值； 当1a3时，f(x)在内有极小值f(2)6，无极大值； 当a3时，f(x)在内无极值. 综上得：当0a1时，f(x)有极大值2，无极小值，当1a3时，f(x)有极小值6，无极大值；当a=1或a3时，f(x)无极值. 已知函数f(x)=x+ax+3bx+c(b0),且g(x)=f(x)-2是奇函数. 求a,c的值； 求函数f(x)的单调区间. 解：因为函数g(x)=f(x)-2为奇函数， 所以，对任意的xR，g(-x)=-g(x)，即f(-x)-2=-f(x)+2 32又f(x)=x+ax+3bx+c所以-x+ax-3bx+c-2=-x-ax-3bx-c+2 323232所以a=-a，解
15、得a=0，c=2 c-2=-c+232由得f(x)=x+3bx+2所以f(x)=3x+3b(b0) 当b0时，由f(x)=0得x=-bx变化时，f(x)的变化情况如下表： x f(x) (-，-b) -b (-b，-b) -b 0 + 0 - + 所以，当b0时，f(x)0，所以函数f(x)在(-，+)上单调递增 安徽卷已知函数f(x)= ax33-32x+(a+1)x+1，其中a为实数. 2已知函数f(x)在x=1处取得极值，求a的值； 已知不等式f(x)x2-x-a+1对任意a(0,+)都成立，求实数x的取值范围. 解: (1)f(x)=ax2-3x+(a+1)，由于函数f(x)在x=1时
16、取得极值，所以 f(1)=0 即 a-3+a+1=0,a=1 (2) 方法一 由题设知：ax2-3x+(a+1)x2-x-a+1对任意a(0,+)都成立 即a(x2+2)-x2-2x0对任意a(0,+)都成立 设 g(a)=a(x2+2)-x2-2x(aR), 则对任意xR，g(a)为单调递增函数(aR) 所以对任意a(0,+)，g(a)0恒成立的充分必要条件是g(0)0 2 即 -x-2x0，-2x0， 于是x的取值范围是x|-2x0 方法二 由题设知：ax-3x+(a+1)x-x-a+1对任意a(0,+)都成立 即a(x+2)-x-2x0对任意a(0,+)都成立 2222x2+2xx2+2x0 于是a2对任意a(0,+)都成立，即2x+2x+2-2x0， 于是x的取值范围是x|-2x0 12
