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1、08级08级热力学统计物理期末考试b卷一、选择题 1. 下列关于状态函数的定义正确的是。 A系统的吉布斯函数是：G=U-TS+pV B系统的自由能是：F=U+TS C系统的焓是：H=U-pV D系统的熵函数是：S=Q T2. 以T、p为独立变量，特征函数为( 2.D )。 A.内能； B.焓； C.自由能； D.吉布斯函数。 3. 下列说法中正确的是。 A不可能把热量从高温物体传给低温物体而不引起其他变化； B功不可能全部转化为热而不引起其他变化； C不可能制造一部机器，在循环过程中把一重物升高而同时使一热库冷却； D可以从一热源吸收热量使它全部变成有用的功而不产生其他影响。 4. 要使一般气
2、体满足经典极限条件，下面措施可行的是。 A.减小气体分子数密度； B.降低温度； C.选用分子质量小的气体分子； D.减小分子之间的距离。 5. 下列说法中正确的是。 A由费米子组成的费米系统，粒子分布不受泡利不相容原理约束； B由玻色子组成的玻色系统，粒子分布遵从泡利不相容原理； C系统宏观物理量是相应微观量的统计平均值； D系统各个可能的微观运动状态出现的概率是不相等的。 6. 正则分布是具有确定的的系统的分布函数。 A内能、体积、温度； B体积、粒子数、温度； C内能、体积、粒子数； D以上都不对。 二、填空题 不随时间改变的常数。 三、简答题 2. 什么是特性函数？若吉布斯函数为特性函
3、数，其自然变量是什么？ 2如果适当选择独立变量，只要知道一个热力学函数，就可以通过求偏导数而求得均匀系统的全部热力学函数，从而把均匀系统的平衡性质完全确定。这个热力学函数即称为特性函数。吉布斯函数的自然变量是：温度T和体积p。 3. 证明在F、T不变的情形下，平衡态的V 最小。 3假设系统发生一虚变动，在虚变动中，有dF-SdT-pdV。在F,T不变的情形下, 有dF=0,dT=0，因此必有dV1时，玻色系统、费米系统以及玻耳兹曼系统的微观状态数满 足关系WB.EWF.DQ=-W=RTlnV2 V1WM.B。 N!等温膨胀过程引起的系统的熵变： DS=7. 玻色爱因斯坦凝聚现象是指在TTC时，
4、有宏观量级的粒子在能级e=0凝聚。 8. 在低温下，如果计及电子和离子振动的话，金属的定容热容量可表为CV=gT+AT3。 9. 按费米分布，处在能量为es的量子态s上的平均粒子数为fs=VQ=Rln2 TV1五、定域系统含有N个近独立粒子，每个粒子有两个非简并能级e1和e2，假设e1e2。求在温度为T的热平衡状态下系统的内能和熵。 解：定域系统可以用玻尔兹曼分布处理。系统的配分函数为 1ea+bes+1。 10刘维尔定理表明，如果随着一个代表点沿正则方程所确定的轨道在相空间中运动，其邻域的代表点密度是Z1=wle-bel=e-be1+e-be2=e-be11+e-b(e2-e1) l 1 得
5、系统的内能为 U=-NblnZeN(e2-e1)N(e2-e1)1=N1+1+eb(e2-e1)=Ne1+1+e(e2-e1) kT系统的熵为 S=Nk(lnZ1-bblnZ1+e-b(e2-e1)+b(e2-e1)1)=Nkln1+eb(e2-e1) =Nkln1+e-(e2-e1)kT+(e2-e1) kT(1+e(e2-e1)kT)七、试应用正则分布求单原子分子理想气体的物态方程、内能和熵。 (提示: +ax2p-e-dx=a ） 解：由N个单原子分子组成的理想气体，其能量为 3N E=p2i2mi=1配分函数 3Np23NZ=1i=12mN!h3N-beidq1dq3Ndp1dp3N=
6、VN2pm2N!(bh2) 物态方程 p=1NbVlnZ=bVlnV=NkTV 内能 U=-blnZ=-3N2bln1b=3N2kT 熵 S=k(lnZ-bblnZ)=k(lnZ+bU) =3V2NkT+NklnN+Nkln(2pmk325h2)+2 (2分) 2 2. 1 mol 理想气体，保持在室温下等温压缩，其压强从1pn准静态变为10pn，则气体在该过程所放出的热量为：RT ln 10=5.74103焦耳。 4. 已知巨热力学势的定义为J=F-Nm，这里F是系统的自由能，N是系统的粒子数，m是一个粒子的化学势，则巨热力学势的全微分为：dJ=-SdT-pdV-Ndm。 5. 已知粒子遵从
7、经典玻耳兹曼分布，其能量表达式为e=常数，则粒子的平均能量为：2kT。 6. 温度T时，粒子热运动的热波长可以估算为：l=1222px+py+pz+ax+bx2+c，其中a,b,c是2m()h2mpkT或者l=h2mkT。 7. 正则分布给出了具有确定的粒子数N、体积V、温度T的系统的分布函数。假设系统的配分函数为Z，微观状态s的能量为Es，则处在微观状态s上的概率为：rs=e-ESkTZ。 二. 简答题(本题共 3 题，总共 30 分) 1. 请从微观和统计物理的角度解释：热平衡辐射的吉布斯函数为零的原因。 (10分) 答：热力学中研究的热平衡辐射系统，是一个和腔壁达到热力学平衡的系统，热力
8、学理论可以证明，它的吉布斯函数为零。 从微观角度看，平衡辐射场可以认为是光子气体，每一个单色平面波对应于一个能量和动量确定的光子，腔壁中的辐射场对应于能量和动量从零到无穷大连续取值的光子气体。辐射场和腔壁不断发生热交换，从微观角度来看，相当于交换光子，因此，腔壁中的光子数不守恒。 光子是玻色子，满足玻色分布。在确定玻色分布公式的时候，由于光子数不守恒，因此确定第一个拉氏乘子a的条件不存在，从物理上理解，这个拉氏乘子a就应该为零，因为a=-mkT，故化学势为零。 化学势即为摩尔吉布斯函数，光子气体的吉布斯函数等于摩尔数乘上化学势，因此光子气体的吉布斯函数为零。 三. 计算题(本题共 4 题，总共
9、 49 分) 一. 填空题 1. 假设一物质的体涨系数和等温压缩系数经过实验测得为：a1V11V1，则=;kT-VTpTVppTT1T2 ，1. 一均匀杆的长度为L ，单位长度的定压热容量为cp，在初态时左端温度为 T1 ，右端温度为T2 ，从左到右端温度成比例逐渐升高，考虑杆为封闭系统，请计算杆达到均匀温度分布后杆的熵增。(10分) 该物质的物态方程为：pV=C。 T 3 答：设杆的初始状态是左端l=0 温度为 T1 ，右端l=L 为T2 ，从左到右端，位于l 到l+dl的初始温度为T=TT2-T1T-T11+Ll，达到平衡后温度为22，这一小段的熵增加值为： T1+T2T21+TdS=cd
10、T2pdl=cpdlln2 TT-TTT-T1+21LlT211+Ll 根据熵的可加性，整个均匀杆的熵增加值为 T1+T2DS=dS=L0cpdlln2TT=LcT1+T2LT-Tpdlln2-cpdllnT1+21l 2-T1001+LLl=cT+T212pLln12-cpT2-Td(T2-T1Ll)lnTT-T11+1L0Ll L=cT+T21pLln12-cpTdxln x 2-T1T2T1L=c+T21pLlnT12-cpLT-T(T2ln T2-T1ln T1-T2+T1) 212. 设一物质的物态方程具有以下形式：p=f(V)T，试证明其内能和体积无关。(10分) 证明：以(V,T
11、)作为自变量，则熵的全微分为： dS=STdT+SdV VVT利用热力学基本微分方程，有： dU=TdS-pdV=TSTdT+TSVVdV-pdV T=TSSTdT+T-pdVVVT因此有： UV=TSV-p TT由麦氏关系代入上式，可以得到： UpV=T-p TTV利用物态方程可以知： pT=f(V) V故有： UV=Tp-p=Tf(V)-p=0 TTV得证。 3. 表面活性物质的分子在液面上作二维自由运动，可以看作是二维气体。请用经典统计理论计算：二维气体分子的速度分布和速率分布。(9分) 二维气体分子的最概然速率。(4分) 答：玻耳兹曼分布的经典表达式是 a-a-beDwll=e1hr
12、0在没有外场时，二维情况下的分子质心运动能量的经典表达式为 e=p21222m=2m(px+py) 在面积A内，分子质心平动动量在dpxdpy范围内的状态数为 Ah2dpxdpy 0因此，在面积A内，分子质心平动动量在dpxdpy范围内的分子数为 A-a-12mkT(y)h2epx2+p2dpxdpy 0参数由总分子数为N的条件定出 A-a-122mkT(px2+py)h2edpxdpy=N 0积分出，得 4 e-a=1N2pmkTAh20 因此，质心动量在dpxdpy范围内的分子数为 -1N1(p2x+p2y2pmkTe2mkT)dpxdpy 用速度作为变量，px=mvx;py=mvy，上式
13、化为： mmNy)2pkTe-2kT(vx2+v2dvxdvy 这就是在面积A内，分子在dvxdvy范围内的分子数。用n=NA表示单位面积内的分子数，则在单位面积内，速度在dvxdvy范围内的分子数为 m-m2f(vx,vy)dvxdvy=n2kT(vx+vy2)2pkTedvxdvy 这就是二维情况下的速度分布律。归一化条件为： m2f(vm-x,vy)dvxdvy=n2kT(vx2+vy)2pkTedvxdvy=n 化为极坐标，并对角度进行积分，可得二维情况下的速率分布律 m-m2f(v)dv=n2kTekTvvdv 最概然速率vm满足条件： df(v)md-m22kTvdv=nkTdv(ev)=0 由此得到： vkTm=m 在这个速率附近，分子数最多。 5
