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1、115极限的应用函数的渐近线模块基本信息 一级模块名称 三级模块名称 先行知识 知识内容 2、渐近线的分类； 3、渐近线的求解方法。 能力目标 时间分配 修订 函数与极限 极限的应用-函数的渐近线 无穷小与无穷大 教学要求 2、熟悉渐近线的类别及其特征； 3、掌握渐近线的求解。 二级模块名称 模块编号 模块编号 应用模块 1-15 1-10 掌握程度 简单应用 1、函数渐近线的建模过程； 1、了解建模步骤，理解渐近线的建模过程； 1、培养学生应用数学分析问题和解决问题的能力 2、巩固运算能力 30分钟 编撰 秦小娜 校对 方玲玲 审核 危子青 危子青 熊文婷 二审 一、正文编写思路及特点： 思
2、路：预备知识三类渐近线渐近线的定义、建模过程及求法案例.学生对渐近线从不了解到掌握求解方法，是一个从无到有的过程，充分融入了数学建模的思想，既能让学生了解简单的建模，又能巩固对极限的运算能力. 特点：1、在构建渐近线的过程中，让学生了解简单的数学建模，从而培养学生分析问题、解决问题的能力； 2、在学生掌握渐近线的求解方法时巩固运算能力。 二、授课部分 (一) 预备知识 1、在自变量的某种趋势下，以零为极限的变量a(x)称为无穷小量，简称无穷小. 2、在自变量的某种变化趋势下，若变量b(x)的绝对值无限增大，则称变量b(x)为无穷大量. 三类渐近线 y y x x 1图1 图2 x分析： 11.
3、图1中，直线y=0(即x轴)是曲线y=的一条渐近线，呈x水平状； 2.图1中，直线x=0(即y轴)也是曲线y=呈垂直状； 1的一条渐近线，x3.图2中，y=x和y=-x为双曲线x2-y2=1的两条渐进线，呈倾斜状. 小结： 1的水平渐近线； x1 2.直线x=0是曲线y=的垂直渐近线； x 1.直线y=0是曲线y= 3.y=x和y=-x为双曲线x2-y2=1的两条斜渐进线. 渐近线的定义、建模过程及求法 1、定义 如果曲线上的动点沿着曲线远离原点时，该点与某定直线的距离趋于零，则称此定直线为曲线的渐近线. 2、曲线的渐近线的构建过程 第一步：模型假设、问题分析. 斜率k存在的情况. 假设y=k
4、x+b是曲线y=f(x)当x时的渐近线，等价于曲线上的点P到直线y-kx-b=0的距离d=f(x)-kx-b1+k2趋于零，即 limxf(x)-kx-b1+k2=0. 斜率k不存在的情况.即当xx0时，曲线y=f(x)的取值会趋于，即 xx0limy=. 第二步：模型建立. 斜率k存在的情况. 由于limxf(x)-kx-b1+k2=0等价于 limf(x)-kx-b=0, x从而有 limxf(x)-kx-bf(x)=lim-k=0, xxx即 k=limxf(x),b=limf(x)-kx. xxxx0y 斜率k不存在的情况. limy= 等价于 limx=x0， 从而有 x=x0为渐近
5、线. 3、渐近线的求法 水平渐近线 如果limf(x)=A或limf(x)=A，则直线y=A是曲线y=f(x)的x+x-水平渐近线. 垂直渐近线 如果limf(x)=或limf(x)=,则直线x=x0是曲线y=f(x)的xx0+xx0-垂直渐近线. 斜渐近线 如果满足下列两个条件： f(x)f(x)lim=k(k0) =k(k0)或limx-x+xxlimf(x)-kx=b或limf(x)-kx=b x+x-则曲线y=f(x)有一条斜渐近线y=kx+b. 总结：在求曲线的渐近线时，为了避免漏掉渐近线，应从 +-x+和x-两种情况考虑极限. 案例 4(x-1)例1. 求y=的渐近线. x2 解：
6、Qlim4(x-1)=0 2xxy=0为函数曲线的水平渐近线. 例2. 求y=1的渐近线. (x+2)(x-3) 解：Qlim11=，lim= x-2(x+2)(x-3)x3(x+2)(x-3)x=-2和x=3为函数曲线的两条垂直渐近线. 例3. 求y= 解：Qlim2(x-2)(x+3)的渐近线. x-12(x-2)(x+3)= x1x-1x=1为函数曲线的垂直渐近线. 又Qlimxf(x)2(x-2)(x+3)=lim=2， xxx(x-1)limx2(x-2)(x+3)2(x-2)(x+3)-2x(x-1)-2x=lim=4 xx(x-1)x-1y=2x+4为曲线的斜渐近线. 三、能力反馈部分 1、 x x y=p 2y y y=-p 2y=lnx y=arctanxy=arctanx y=p和y=-p为曲线y=arctanx的_渐近线； 22x2y2-=1 a2b2y=0为曲线y=lnx的_渐近线； 2y2bxy=x为双曲线2-2=1的_渐近线. aab2、 曲线y=1-1 xA有一条渐近线 C有三条渐近线 求下列曲线的渐近线. x2B有二条渐近线 D无渐近线 1y=xln(e+)y=xx2-1
