15机械振动习题解答.docx

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1、15机械振动习题解答第十五章 机械振动 一 选择题 1. 对一个作简谐振动的物体，下面哪种说法是正确的？( ) A. 物体在运动正方向的端点时，速度和加速度都达到最大值； B. 物体位于平衡位置且向负方向运动时，速度和加速度都为零； C. 物体位于平衡位置且向正方向运动时，速度最大，加速度为零； D. 物体处负方向的端点时，速度最大，加速度为零。 解：根据简谐振动的速度和加速度公式分析。 答案选C。 2.下列四种运动中哪一种不是简谐振动？ A. 小球在地面上作完全弹性的上下跳动； B. 竖直悬挂的弹簧振子的运动； C. 放在光滑斜面上弹簧振子的运动； D. 浮在水里的一均匀球形木块，将它部分按

2、入水中，然后松开，使木块上下浮动。 解：A中小球没有受到回复力的作用。 答案选A。 3. 一个轻质弹簧竖直悬挂，当一物体系于弹簧的下端时，弹簧伸长了l而平衡。则此系统作简谐振动时振动的角频率为 A. g B. llggl C. l D. g解 由kl=mg可得k=mg/l，系统作简谐振动时振动的固有角频率为w=k=mgl。 故本题答案为B。 4. 一质点作简谐振动，若将振动速度处于正最大值的某时刻取作t=0，则振动初相j为 A. - B. 0 C. D. 22解 由x=Acos(w t+j) 可得振动速度为v=dx=-wAsin(w t+j) 。dt速度正最大时有cos(w t+j)=0，si

3、n(w t+j)=-1，若t=0，则j=- 。 2故本题答案为A。 5. 如图所示，质量为m的物体，由劲度系数为k1和k2的两个轻弹簧连接，在光滑导轨上作微小振动，其振动频率为 ( ) A. n=2k1k2mk1 k2 m 选择题5图 B. n=2k1+k2mC. n=D. n=12k1+k2mk1.k212k1.k2m(k1+k2)解：设当m离开平衡位置的位移为x，时，劲度系数为k1和k2的两个轻弹簧的伸长量分别为x1和x2，显然有关系 x1+x2=x 此时两个弹簧之间、第二个弹簧与和物体之间的作用力相等。因此有 k1x1=k2x2 md2xdt2=-k1x1 由前面二式解出x1=k2xk1

4、+k2，将x1代入第三式，得到 d2xdt2=-k1k2x k1+k2k1.k2m(k1+k2)m将此式与简谐振动的动力学方程比较，并令w2=得振动频率 n=12k1.k2m(k1+k2)，即。 所以答案选D。 6. 如题图所示，质量为m的物体由劲度系数为k1和k2的k1 m 选择题6图 k2 两个轻弹簧连接，在光滑导轨上作微小振动，则该系统的振动频率为 ( ) A. v=21C. v=2k1k21 B. v=m2k1+k21 D. v=mk1.k22k1+k2mk1.k2m(k1+k2)解：设质点离开平衡位置的位移是x，假设x0，则第一个弹簧被拉长x，而第二个弹簧被压缩x，作用在质点上的回复

5、力为 -( k1x+ k2x)。因此简谐振动的动力学方程 md2xdt2=-(k1+k2)x 令w2=k1+k2，即v=m12k1+k2m所以答案选B 。 7. 弹簧振子在光滑水平面上作简谐振动时，弹性力在半个周期内所作的功为 ( ) A. kA B. (1/2 )kA C. (1/4)kA D. 0 解：每经过半个周期，弹簧的弹性势能前后相等，弹性力的功为0，故答案选D。 2 22 8. 一弹簧振子作简谐振动，总能量为E，若振幅增加为原来的2倍，振子的质量增加为原来的4倍，则它的总能量为 ( ) A. 2E B. 4E C. E D. 16E 解：因为E=1kA2，所以答案选B。 29. 已

6、知有同方向的两简谐振动，它们的振动表达式分别为 x1=5cos(10t+0.75)cm；x2=6cos(10t+0.25)cm 则合振动的振幅为 ( ) A. 61cm B. 11cm C. 11cm D. 61cm 解 A=2A12+A2+2A1A2cos(j2-j1) =52+62+256cos(0.25-0.75)=61 所以答案选A。 10. 一振子的两个分振动方程为x1 = 4 cos 3 t ，x2 = 2 cos (3 t +) ，则其合振动方程应为： A. x = 4 cos (3 t +) B. x = 4 cos (3 t -) C. x = 2 cos (3 t -) D

7、. x = 2 cos 3 t 解：x =x 1+ x 2= 4 cos 3 t + 2 cos (3 t +)= 4 cos 3 t - 2 cos 3 t = 2 cos 3 t 所以答案选D。 11. 为测定某音叉C的频率，可选定两个频率已知的音叉 A和B；先使频率为800Hz的音叉A和音叉C同时振动，每秒钟听到两次强音；再使频率为797Hz音叉B和C同时振动，每秒钟听到一次强音，则音叉C的频率应为： A. 800 H z B. 799 H z C. 798 H z D. 797 H z 解：拍的频率是两个分振动频率之差。由题意可知：音叉A和音叉C同时振动时，拍的频率是2 H z，音叉B

8、和音叉C同时振动时，拍的频率是1H z，显然音叉C的频率应为798 H z。 所以答案选C。 二 填空题 1. 一质量为m的质点在力F = -x作用下沿x轴运动，其运动的周期为 。 解：T=2mm=22=2mk2 。 2. 如图，一水平弹簧简谐振子振动曲线如图所示，振子处在位移为零，速度为-A、加速度为零和弹性力为零的状态，对应曲线上的 点，振子处在位移的绝对值为A、速度为零、加速度为 -A和弹性力为 -kA的状态，则对于曲线上的 点。 xx(m)2AOabde0.041ctO12t(s)-A-0.04填空题2图 填空题3图 解：b ； a、e 。 3. 一简谐振动的振动曲线如图所示，相应的以

9、余弦函数表示的该振动方程为 x =_ m。 解：0.04cos(t-)。 24. 一物体作简谐振动，其振动方程为x = 0.04 cos (5t / 3 -/ 2 ) m。 (1) 此简谐振动的周期(2) 当T = 。 t = 0.6 s时，物体的速度v = 。 解：由5/ 3 =2/ T，得到T= 1.2s；v= -0.04 5/3sin (5t / 3 -/ 2 )，当t = 0.6 s时，v = -0.209 m . s 。 15. 一质点沿x轴做简谐振动，振动中心点为x轴的原点。已知周期为T，振幅为A， (1)若t =0时刻质点过x=0处且向x轴正方向运动，则振动方程为_；(2)若t

10、=0时质点位于x=A/2处且向x轴负方向运动，则振动方程为_。 解：x=Acos(2ptT Acos(2-p/2)；t+) T36. 图中用旋转矢量法表示了一个简谐振动，旋转矢量的长度为0.04m，旋转角速度= 4rad/s，此简谐振动以余弦函数表示的振动方程为= 。 解：t=0时x=0，v0，所以振动的初相位是-/2。故x O t = 0 填空题6图 x x =0.04cos(4t-)。 27. 质量为m的物体和一个弹簧组成的弹簧振子，其固有振动周期为T，当它作振幅为A的简谐振动时，此系统的振动能量E = 。 解：因为k=mw2=m42T212A22，所以E=kA=2m22T。 8. 将质量

11、为 0.2 kg的物体，系于劲度系数k = 19 N/m的竖直悬挂的弹簧的下端。假定在弹簧原长处将物体由静止释放，然后物体作简谐振动，则振动频率为_，振幅为_。 解： 1.55 Hz； A=x+202v0w2=0.103m x(m) 9. 已知一简谐振动曲线如图所示，由图确定： 在 s0 1 2 3 t(s) 时速填空题9图 度为零； 在 s时动能最大； 在 s时加速度取正的最大值。 解：0.5(2n+1)， n=0,1,2,3； n，n=0,1,2,3； 0.5(4n+1)，n=0,1,2,3。 10. 一质点作简谐振动，振幅为A，当它离开平衡位置的位移为x=A时，其动能Ek和势能Ep的比值

12、Ek=_。 2Ep解 势能Ep=1212kx=kA 28，总机械能为E=12kA2，动能E3Ek=kA2 。故k=3。 Ep811. 两个同方向同频率简谐振动的表达式分别为 x1=6.010-2cos(2t+) (SI)，x2=4.010-2cos(2t-) (SI)，T4T4则其合振动的表达式为_(SI)。 解 本题为个同方向同频率简谐振动的合成。 (1) 解析法 合振动为x=x1+x2， x=6.010-2cos(22t+)+4.010-2cos(t-) T4T4222t)-sin(t)=7.210-2cos(t+j) TTT=210-25cos(其中 j=11.3 (2) 旋转矢量法 如

13、图所示，用旋转矢量A1和A2分别表示两个简谐振动x1和x2，合振动为A1和A2的合矢量A，按矢量合成的平行四边形法则 A=10-262+42=7.210-2m， A1 A tanj=A1sinj1+A2sinj2=1,j=11.3 A1cosj1+A2cosj25故合振动的表达式为x=7.210-2cos(2t+11.3) TO A2 x 三 计算题 1. 已知一个简谐振动的振幅A = 2 cm，圆频率= 4s-，1以余弦函数表达运动规律时的初相位j =/ 2。试画出位移和时间的关系曲线。 解：圆频率= 4s-，故周期T=2/= 2/4=0.5s ，1x(m) 0.02 0.25 -0.02

14、0.50 t(s) 又知初相位j=/ 2，故位移和时间的关系为x = 0.02cosm，振动曲线如下图所示。 2. 一质量为0.02kg的质点作简谐振动，其运动方程为x = 0.60 cos(5 t -/2) m。求：质点的初速度；质点在正向最大位移一半处所受的力。 解： v=dx=-3.0sin(5t-) dt2 v0=-3.0sin(-)=3.0 m/s 2 F=ma=-mw2x x=A/2=0.3 m时，F=-0.02520.3=-0.15 N。 3. 一立方形木块浮于静水中，其浸入部分高度为 a 。今用手指沿竖直方向将其慢慢压下，使其浸入水中部分的高度为 b ，然后放手让其运动。试证明

15、：若不计水对木块的粘滞阻力，木块的运动是简谐振动并求出周期及振幅。 证明：选如图坐标系:，静止时: mg=rgaS-(1) 任意位置时的动力学方程为： dx2mg-rgxS=m2-(2) dto x dx2将(1)代入(2)得 -rgS(x-a)=m2 dtd2xd2ydy2令y=x-a，则 2=2，上式化为：-rgSy=m2 dtdtdtdy2rgS2令w=得: 2+w2y=0-(3) mdt上式是简谐振动的微分方程,它的通解为:y=Acos(wt+j0) 所以木块的运动是简谐振动. 振动周期: T=2p=2pwma=2prgSgy+202v0t=0时，x0=b，y0=b-a，v0=0振幅:

16、A=w2=b-a 4.在一轻弹簧下悬挂m0=100g的物体时，弹簧伸长8cm。现在这根弹簧下端悬挂m=250g的物体，构成弹簧振子。将物体从平衡位置向下拉动4cm，并给以向上的21cm/s的初速度.选x轴向下，求振动方程 解：在平衡位置为原点建立坐标，由初始条件得出特征参量。 弹簧的劲度系数k=m0g/Dl。 当该弹簧与物体m构成弹簧振子，起振后将作简谐振动，可设其振动方程为：x=Acoswt+j 角频率为w=k/m代入数据后求得w=7 rad s- 1以平衡位置为原点建立坐标，有： x0=0.04 m, v0=-0.21 ms-1据A=x02+(v0/w)2得：A=0.05 m 据j=cos

17、-1x0A得j=0.64 rad,由于v00,应取j=0.64 rad 于是，所求方程为：x=0.05cos(7t+0.64) m 据j=cos-1x0A得j=p/2,由于v0 0 即sin j 0，由此得到初相位j=-。 3类似地，从振动曲线可以看到，当t=4s时有 x4=0.1cos(4w-)=0 3v4=-0.1wsin(4w-)0 31联立以上两式解得4w-=，则w=5 rad s-，因此得到振3224动表达式 5t-) m 243在P点，x=0.10cos(5t-)=0.1，因此相位(5t-)=0。 243243由(5t-)=0，解出与P点状态相应的时刻t = 1.6 s。 243x

18、=0.10cos(6. 两个质点在同方向作同频率、同振幅的简谐振动。在振动过程中，每当它们经过振幅一半的地方时相遇，而运动方向相反。求它们的相位差，并画出相遇处的旋转矢量图。 解：因为A=Acos(w t+j1)=Acos(w t+j2)，所2A2 o Dj A1 x 以 w t+j1=,w t+j2=33， 33故Dj=0 或 2，取Dj= 2。 旋转矢量图如左。 7. 如图，有一水平弹簧振子，弹簧的劲度系数k = 24N/m，重物的质量m = 6kg，重物静止在平衡m F x 位置上，设以一水平恒力F = 10 N向左作用于物体，使之由平衡位O 计算题7图 置向左运动了0.05m，此时撤去

19、力F，当重物运动到左方最远位置时开始计时，求物体的运动方程。 解：设物体振动方程为：x = A c o s (t +j)，恒外力所做的功即为弹簧振子的能量E： E = F 0.05 = 0.5 J 当物体运动到左方最远位置时，弹簧的最大弹性势能即为弹簧振子的能量E： kA2 / 2= 0.5 由此球出振幅A = 0.204 m 。 根据 = k / m = 24/6 = 4 ( r a d / s )，求出= 2 r a d / s 。 按题中所述时刻计时，初相位为j =。所以物体运动方程为 22x = 0.204 c o s (2 t +) m 8. 一水平放置的弹簧系一小球在光滑的水平面作

20、简谐振动。已知球经平衡位置向右运动时，v = 100 cms-，周期T = 11.0s，求再经过1/3秒时间，小球的动能是原来的多少倍？弹簧的质量不计。 解：设小球的速度方程为： v = vm c o s (2t/ T +j) 以经过平衡位置的时刻为t = 0，根据题意t = 0时 v = v0 = 100 cm s，且 v0。所以 -1v m = v 0，j = 0 此时小球的动能Ek0 = m v0 / 2。 经过1 / 3秒后，速度为v = v0 c o s 2/ = - 2v0 /2 。其动能 Ek = m v 2 / 2 = m v02/ 8 所以Ek / E0 = 1/ 4，即动能

21、是原来的1/ 4倍。 9. 一质点作简谐振动，其振动方程为： x = 6.010 cos (t / 3 -/ 4) m。 当x值为多大时，系统的势能为总能量的一半？ 质点从平衡位置移动到此位置所需最短时间为多少？ 解：势能Ep= kx / 2 ，总能量E = kA/2。根据题意，22-2kx2 / 2 = kA2 / 4，得到x=A/能为总能量的一半。 2=4.2410-2m，此时系统的势(2) 简谐振动的周期T = 2/ = 6 s，根据简谐振动的旋转矢量图，易知从平衡位置运动到x=A/2的最短时间t为T / 8 ，所以 t = 6 / 8 = 0.75 s 10. 如图所示，劲度系数为k，

22、质量为m0的弹簧振子静止地放置在计算题10图 k m0 v1 m x 光滑的水平面上，一质量为m的子弹以水平速度v1射入m0中，与之一起运动。选m、m0开始共同运动的时刻为 t = 0，求振动的固有角频率、振幅和初相位。 解：碰后振子的质量为m+ m0，故角频率w=km0+m。 设碰撞后系统的速度为v0，碰撞过程中动量守恒，故得到mv12v0=。系统的初始动能为1(m0+m)v0，在最大位移处全部m0+m2转换为弹性势能1kA2，即振幅 2A=m0+mv0=km2v1=k(m0+m)mv1k(m0+m)令振动方程为x=Acos(w t+j)，则速度v=dx=-wAsin(wt+j)。 dtAc

23、osj=x=0,v=-w0Asinj=v00，当t=0时，可解出初相位j=。 211. 一个劲度系数为k的弹簧所系物体质量为m0，物体在光滑的水平面上作振幅为A的简谐振动时，一质量为m的粘土从高度h处自由下落，正好在物体通过平衡位置时，物体在最大位移处时，落在物体m0上。分别求：振动的周期有何变化？振幅有何变化？ 解：物体的原有周期为T0=2动周期变为T=2(m0+m)/km0/k，粘土附上后，振，显然周期增大。不管粘土是在何时落在物体上的，这一结论都正确。 设物体通过平衡位置时落下粘土，此时物体的速度从v0变为v，根据动量守恒定律，得到 v=m0v0 m0+m又设粘土附上前后物体的振幅由A0

24、变为A，则有 1122 m0v0=kA02211(m0+m)v2=kA2 22由以上三式解出A=m0A0，即振幅减小。 m0+m物体在最大位移处时落下粘土，1kA02=1kA2，此时振幅不变。 2212. 如题图所示，一劲度系数为k的轻弹簧，一端固定在墙上，另一端连结一质量为m1的物体，放在光滑的水平面上。将一质量为m2的物体跨过一质量为m，半径为R的定滑轮与m1相连，求其系统的振动圆频率。 解 方法一：以弹簧的固有长度的端点为坐标原点，向右为正建立坐标S。对m1 和m2应用牛顿第二定律、对m应用刚体定轴转动定律，得到 d2ST1-kS=m1a=m12dt计算题12图 k m1 R m m2

25、d2Sm2g-T2=m2a=m22dt(T2-T1)R=Ja=1mR2a 2加速度和角加速度之间具有关系 a1d2Sa=RRdt2解上面的方程组得 mg1d2S(m1+m2+m)2+k(S-2)=0 2kdt令x=S-m2g，上式简化为标准的振动方程 kd2xdt2+km1+m2+m/2x=0 系统的振动圆频率 w=km1+m2+m/2方法二：在该系统的振动过程中，只有重力和弹簧的弹性力做功，因此该系统的机械能守恒。 12111kS+m1v2+Jw2+m2v2-m2gS=0 2222将w=v1和J=mR2代入，得到 R2121dSkS+(m1+m2+m)2+-m2gS=0 22dt将上式对时间

26、求一阶导数，得到 mg1d2S(m1+m2+m)2+k(S-2)=0 2dtk上式和解法一的结果一样。同样，圆频率为 w=km1+m2+m/213. 一物体同时参与两个同方向的简谐振动：x1= 0.04 cos (2t +/2) m；x2 = 0.03 cos (2t +) m 。求此物体的振动方程。 解：这是两个同方向同频率的简谐振动的合成，合成后的振动仍为同频率的简谐振动。设合成运动的振动方程为： x = A cos (t +j ) 则 A 2 = A 12 +A 22 +2 A 1A 2 cos(j2-j1) 式中j2 -j1 = -/ 2 =/ 2。代入上式得 A=又 tanj=42+

27、32=5 cm A1sinj1+A2sinj24= A1cosj1+A2cosj23根据两个分振动的初相位，可知合振动的初相位是 j 180-53.132.21 rad 故此物体的振动方程 x=0.05cos(2t+2.21) m 14.有两个同方向、同频率的简谐振动，其成振动的振幅为2m，位相与第一振动的位相差为p，已知第一振动的振幅6为1.73m，求第二个振动的振幅以及第一、第二两振动的位相差。 解：由题意可做出旋转矢量图 由图知 2A2=A12+A2-2A1Acos30=(1.73)2+(2)2-21.7323/2 =1所以 A2=1m 设角AA1O为q，则 2A2=A12+A2-2A1

28、A2cosq 2A12+A2-A2(1.73)2+12-22即 cosq=2A1A2=21.731=0即q=p，这说明，A1与A2间夹角为p，即二振动的位相差为p。 22215. 一质量为2.5kg的物体与一劲度系数为1250Nm-的弹1簧相连作阻尼振动，阻力系数h 为50.0kgs-，求阻尼振动的1角频率。 解：准周期振动的角频率为 2w=w0-g2=k/m-(h/2m)2=1250/2.5-(50/(22.5)2=20 rad/s 16. 一质量为1.0kg的物体与一劲度系数为900Nm-的弹1簧相连作阻尼振动，阻尼因子g 为10.0s-。为了使振动持续，1现给振动系统加上一个周期性的外力F = 100 cos 30t (N)。求：振动物体达到稳定状态时的振动角频率；若外力的角频率可以改变，则当其值为多少时系统出现共振现象？共振的振幅多大？ 解：振动物体达到稳定状态时的振动角频率就是驱动力的频率w = 30 rad/s。 动频率w 等于 2wr=w0-2g2= k/m-2g2= 900/1.0-2102=26.5 rad/s。 共振的振幅Ar= F0/m2g2w0-g2=100/1.0210900/1.0-102=0.177m