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1、18含参变量的反常积分CH 18 含参变量的反常积分 1 一致收敛的定义 若对任意给定的e0，存在A0(e)a，当A，AA0 时，对一切yc,d，成立|AAf(x,y)dx|e或|+Af(x,y)dx|0，存在与c,d上的y无关的d0(e)，使当0h,hd0(e)时，有 |b-hb-hf(x,y)dx|e或|bbb-hf(x,y)dx|e 成立，就称f(x,y)dx关于y在c,d上一致收敛。 a2 一致收敛的判别法 Weierstrass判别法：设有函数F(x)，使|F(x,y)|F(x)，ax+，cyd。如果积分+aF(x)dx收敛，那么+a+af(x,y)dx关于y在c,d上一致收敛。 A
2、bel判别法：设f(x,y)dx关于y在c,d上一致收敛，g(x,y)对x单调并且关于y为一致有界，即存在正数L，对所讨论的范围内的一切x,y成立：|g(x,y)|L，那么积分+af(x,y)g(x,y)dx关于y在c,d上一致收敛。 Dirichlet判别法：设积分f(x,y)dx对于Aa和yc,d一致有界，即存在正aA数K，使对上述的A，y成立|Aaf(x,y)dx|K。又g(x,y)对x单调，并且当x+时，g(x,y)关于c,d上的y一致趋于零，即对任意给定的正数e，有A0，当xA0时，对一切的yc,d成立|g(x,y)|0,q0时连续，在p0,+;q0,+一致收敛。 G(s)在s0时连
3、续，在任何s0,S0上一致连续，且G(s+1)=sG(s)。 B(p,q)= 例1设f(x,y)在a,+;c,d连续，对c,d上每一个y，y=d发散。证明这积分在c,d非一致收敛。 +aG(p)G(q)G(p+q) 。 f(x,y)dx收敛，但积分在证：若积分在c,d)一致连续，则e0,$A0(e)，当A,AA0(e)时，对一切yc,d)均有 |AAf(x,y)dx|e A由假设f(x,y)在A,A;c,d连续，故取极限 lim|ydAf(x,y)dx是y的连续函数。在式中令ydAAf(x,y)dx|=|limydAAf(x,y)dx|=|AAlimf(x,y)dx|e yd由e的任意性，所以c,d非一致收敛。 +af(x,y)dx在y=d点也收敛，这与已知矛盾。故+af(x,y)dx在
