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1、223直线的参数方程SCH南极数学高中同步教学设计 人教A版选修4-4坐标系与参数方程 2.2.3直线的参数方程(2课时) 教学目标： 知识与技能： 1. 联系数轴、向量等知识，推导出直线的参数方程，并进行简单应用，体会直线参数方程在解决问题中的作用 2.通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想 过程与方法：能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 通过建立直线参数方程的过程，激发求知欲，培养积极探索、勇于钻研 的科学精神、严
2、谨的科学态度 教学重点：联系数轴、向量等知识，写出直线的参数方程 教学难点：通过向量法，建立参数t与点在直角坐标系中的坐标x,y之间的联系 教学过程： 一、复习回顾： 1.曲线参数方程的概念及圆与椭圆的参数方程 2.直线的方向向量的概念 3.在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？ 4.已知一条直线的倾斜角和所过的一个定点，请写出直线的方程 5.如何建立直线的参数方程？ 二、师生互动，新课讲解 1回顾数轴，引出向量 数轴是怎样建立的？数轴上点的坐标的几何意义是什么？ 教师提问后，让学生思考并回答问题 教师引导学生明确：如果数轴原点为O，数1所对应的点为A，数轴上点M的坐标为t，那么：
3、 uuuruuuruuuuruuuruuuuruuurOA为数轴的单位方向向量，OA方向与数轴的正方向一致，且OM=tOA；当OM与OA方向一致uuuur时，t0； uuuuruuuruuuur当OM与OA方向相反时，t0； 当M与O重合时，t=0； 1 SCH南极数学高中同步教学设计 人教A版选修4-4坐标系与参数方程 uuuur|OM|=t教师用几何画板软件演示上述过程 回顾数轴概念，通过向量共线定理理解数轴上的数的几何意义，为选择参数做准备 2.类比分析，异曲同工 问题：类比数轴概念，平面直角坐标系中的任意一条直线能否定义成数轴？ 把直线当成数轴后，直线上任意一点就有两种坐标怎样选取单位
4、长度和方向才有利于建立这两种坐标之间的关系？ 教师提出问题后，引导学生思考并得出以下结论：选取直线l上的定点M0为原点，与直线l平行且方向向上(l的倾斜角不为0时)r或向右的单位向量e确定直线l的正方向，同时在直线l上确定进行度量的单位长度，这时直线l就变成了数轴于是，直线l上的点就有了两种坐标在规定数轴的单位长度和方向时，与平面直角坐标系的单位长度和方向保持一致，有利于建立两种坐标之间的联系 使学生明确平面直角坐标系中的任意直线都可以在规定了原点、单位长度、正方向后成为数轴，为建立直线参数方程作准备 3. 选好参数，柳暗花明 问题：当点M在直线l上运动时，点M满足怎样的几何条件？ 让学生充分
5、思考后，教师引导学生得出结论：将直线l当成数轴后，直线l上点M运动就等价于向量uuuuuuruuuuuurrM0M变化，但无论向量怎样变化，都有M0M=te因此点M在数轴上的坐标t决定了点M的位置，从而可以选择t作为参数来获取直线l的参数方程 明确参数 r问题：如何确定直线l的单位方向向量e？ 教师启发学生：如果所有单位向量起点相同，那么终点的集合就是一个圆为了研究问题方便，可以把起点放在原点，这样所有单位向量的终点的集合就是一个单位圆因此在单位圆中来确定直线的单位方向向量 教师引导学生确定单位方向向量，在此基础上启发学生得出re=(cosa,sina)，从而明确直线l的方向向量可以由倾斜角a
6、来确定 r0a0l当时，所以直线的单位方向向量e的方向总是向上 综合运用所学知识，获取直线的方向向量，培养学生探索精神，体会数形结合思想 4. 等价转化，深入探究 2 SCH南极数学高中同步教学设计 人教A版选修4-4坐标系与参数方程 问题：如果点M0,M的坐标分别为(x0,y0)、(x,y)，怎样用参数t表示x,y？ 教师启发学生回顾向量的坐标表示，待学生通过独立思考并写出参数方程后再全班交流过程如下： ruuuur因为e=(cosa,sina)，=xy(,)x(-,y)x,y-y0)-00(0x=0， uuuuuurruuuuuurr又M0M/e，所以存在实数tR，使得M0M=te，即 (
7、x-x0,y-y0)=t(cosa,sina) 于是x-x0=tcosa，y-y0=tsina， 即x=x0+tcosa，y=y0+tsina 因此，经过定点M(x0,y0)，倾斜角为a的直线的参数方程为 x=x0+tcosa y=y+tsina0教师提出如下问题让学生加强认识： 直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？ 参数t的取值范围是什么？ 参数t的几何意义是什么？ 总结如下：x0,y0，a是常量，x,y,t是变量； tR； uuuuuuruuuuuurrr由于|e|=1，且M0M=te，得到M0M=t，因此t表示直线上的动点M到定点M0的uuuuuuruuuuuur距离当M0M的方向与
8、数轴正方向相同时，t0；当M0M的方向与数轴正方向相反时，t0；当t=0时，点M与点M0重合 把向量转化为坐标，获得了直线的参数方程，在此基础上分析直线参数方程的特点，体会参数的几何意义 三、运用知识，培养能力 x=x0+tcosa 例1 直线(t为参数）上有参数分别为t1和t2对应的两点A和B，则A，B两点的 y=y0+tsina距离为 A.|t1+t2|B.|t1-t2|C.|t1|+|t2|D.|t1|-|t2|x=x0+tcosq 例2 在参数方程(t为参数)所表示的直线上有B，C两点，它们对应的参数值分别为t、y=y0+tsinq则线段BC的中点M对应的参数值是 t-tt+t|t-t
9、|t+t| A.12 B.12 C.12 D.12222213 SCH南极数学高中同步教学设计 人教A版选修4-4坐标系与参数方程 小结：直线 x=x0+tcosay=y0+tsina(t为参数)与曲线f(x，y)=0交于M1，M2两点，对应的参数分别为t1，t2.(1)曲线的弦M1M2的长是多少？ |MM|=|t-t|1212 (2)线段M1M2的中点M对应的参数t的值是多少？ t=t1+t22 (3)若定点P0(x0,y0)恰是线段M1M2的中点，则t1+t2=？ t1+t2=0 例3 把下列参数方程与直角方程互化：1x=-3+t2 (1)(t为参数) (2)x+3y=1y=1+3t 23
10、，xtsin 20例4 直线(t为参数)的倾斜角是( ) ytcos 20A20 B70 C110 D160 例5(课本P36例1) 已知直线l:x+y-1=0与抛物线y=x2交于A,B两点，求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B两点的距离之积 先由学生思考并动手解决，教师适时点拨、引导，鼓励一题多解，学生可能有以下解法： x+y-1=02解法一：由，得x+x-1=0(*) 2y=x设A(x1,y1)，B(x2,y2),由韦达定理得：x1+x2=-1，x1x2=-1 AB=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=25=10 -1+5-1-5， ，x2=223-53+5 y1=，y2=22-1
11、+53-5-1-53+5所以A(,)，B(,) 2222由解得x1=则MAMB=(-1-1+5)2+(2-3-5)2(-1-1-5)2+(2-3+5)2 2222=3+53-5=4=2 4 SCH南极数学高中同步教学设计 人教A版选修4-4坐标系与参数方程 解法二、因为直线l过定点M，且l的倾斜角为3p，所以它的参数方程是 432x=-1+tcospx=-1-t42 ， 即 ty=2+tsin3py=2+2t42把它代入抛物线的方程，得t+2t-2=0， 解得t1=2-2+10-2-10，t2= 22由参数t的几何意义得：AB=t1-t2=10， MAMB=t1t2=2 在学生解决完后，教师投
12、影展示学生的解答过程，予以纠正、完善然后进行比较：在解决直线上线段长度问题时多了一种解决方法 通过本题训练，使学生进一步体会直线的参数方程，并能利用参数解决有关线段长度问题，培养学生从不同角度分析问题和解决问题能力以及动手能力 x2y2+=1于A,B两点如果点M恰好为线段AB例6(课本P37例2)、经过点M(2,1)作直线l，交椭圆164的中点，求直线l的方程 分析：引导学生以M作为直线l上的定点写出直线的参数方程，然后与椭圆的方程联立，设A,B两点对应的参数分别为t1,t2，则由t1+t2=0求出直线l的斜率教师板书，过程如下： 解：设过点M(2,1)的直线l的参数方程为代入椭圆方程，整理得
13、 (3sin2a+1)t2+4(cosa+2sina)-8=0 因为点M在椭圆内，这个方程必有两个实根，设A,B两点对应的参数分别为t1,t2， x=2+tcosa， y=1+tsina4(cosa+2sina) 23sina+1t+t因为点M为线段AB的中点，所以12=0，即cosa+2sina=0 21于是直线l的斜率k=tana=- 21因此，直线l的方程是y-1=-(x-2)，即x+2y-4=0 2则t1+t2=-5 SCH南极数学高中同步教学设计 人教A版选修4-4坐标系与参数方程 教师引导学生课下用其他方法解决 思考：例2的解法对一般圆锥曲线适用吗？把“中点”改为“三等分点”，直线
14、l的方程怎样求？由学生课下解决 体会直线参数方程在解决弦中点问题时的作用 例7.当前台风中心P在某海滨城市O向东300Km处生成,并以40km/h的速度向西偏北45度方向移动.已知距台风中心250km以内的地方都属于台风侵袭的范围,那么经过多长时间后该城市开始受到台风侵袭? 思考： 在例3中，海滨城市O受台风侵袭大概持续多长时间？ 如果台风侵袭的半径也发生变化(比如：当前半径为250KM，并以10KM/h的速度不断增大)，那么问题又该如何解决？来源:Z|xx|k.Com 例8如图所示，AB，CD是中心为点O的椭圆的两条相交弦，交点为P，两弦AB，CD与椭圆长轴的夹角分别为1,2，且1=2，求证
15、：PA*PBPC*PD 探究： 如果把椭圆改为双曲线，是否会有类似的结论？ 三、课堂小结，巩固反思： 直线参数方程求法； 直线参数方程的特点； 6 SCH南极数学高中同步教学设计 人教A版选修4-4坐标系与参数方程 根据已知条件和图形的几何性质，注意参数的意义。 四、课时必记： 五、分层作业： 1、 x12t，解析：(1)直线l的参数方程为(t为参数) 3y52t(2)将直线l的参数方程中的x，y代入xy230得t(1063)所以直线l与直线xy230的交点到点M0的距离为|t|1063. (3)将直线l的参数方程中的x，y代入x2y216得t2(153)t100.设上述方程的两根为t1，t2
16、，则t1t2(153)，t1t210.可知t1，t2均为负值，所以|t1|t2|(t1t2)153.所以两个交点到点M0的距离的和为153，积为10. 2、 34解析：设过点P(2，0)的直线AB的倾斜角为，由已知可得cos ，sin .所以直线AB的551参数方程为4y5t3x2t，5t1t2(t为参数)，代入y22x，整理得8t215t500.中点M的相应参数是t241315，所以点M的坐标是16，4. 163、 x2tcos ，解析：设过点M(2，1)的直线AB的参数方程为(t为参数)，代入双曲线方程，整理y1tsin 得(cos2 sin2 )t22(2cos sin )t20.设t1
17、，t2为上述方程的两个根，则t1t24cos 2sin .因为点M是线段AB的中点，由t的几何意义可知t1t20，所以4cos 2sin 0.cos2 sin2 于是得到ktan 2.因此，所求直线的方程为y12(x2)，即2xy30. 4、 x222t，解析：直线l的参数方程为(t为参数)，代入y2px得到t22y42t222(4p)t8(4p)7 SCH南极数学高中同步教学设计 人教A版选修4-4坐标系与参数方程 0.由根与系数的关系得到t1t222(4p)，t1t28(4p)因为|M1M2|2|AM1|AM2|，所以(t1t2)2|t1|t2|t1t2，即(t1t2)25t1t2，所以22(4p)258(4p)，即4p5，即p1. 8
