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1、222解一元二次方程配方法教案22.2 解一元二次方程(配方法) 教案 第1课时 教学内容 间接即通过变形运用开平方法降次解方程 教学目标 理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题 通过复习可直接化成x2=p或2=p的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤 重难点关键 1重点：讲清“直接降次有困难，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤 2难点与关键：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧 教学过程 一、复习引入 请同学们解下列方程 3x2-1=5 42-9=0 4x2+16x+16=9 老师点评：上面的方程
2、都能化成x2=p或2=p的形式，那么可得 x= p或mx+n=p 如：4x2+16x+16=2 二、探索新知 列出下面二个问题的方程并回答： 列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？ 能否直接用上面三个方程的解法呢？ 问题1：印度古算中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮，告我总数共多少，两队猴子在一起” 大意是说：一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的1的平方，另一队猴子数是812，那么猴子总数是多少？你能解决这个问题吗？ 问题2：如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上，修筑同样宽的两条平行且与
3、另一条相互垂直的道路，余下的六个相同的部分作为耕地，要使得耕地的面积为5000m2，道路的宽为多少？ 1 老师点评：问题1：设总共有x只猴子，根据题意，得： x=2+12 8 整理得：x2-64x+768=0 问题2：设道路的宽为x，则可列方程：=500 整理，得：x2-36x+70=0 列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有 不能 既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化： x2-64x+768=0 移项 x=2-64x=-768 两边加使左边配成x2+2bx+b2的形
4、式 x2-64x+322=-768+1024 2左边写成平方形式 2=256 降次x-32=16 即 x-32=16或x-32=-16 解一次方程x1=48，x2=16 可以验证：x1=48，x2=16都是方程的根，所以共有16只或48只猴子 学生活动： 例1按以上的方程完成x2-36x+70=0的解题 老师点评：x2-36x=-70，x2-36x+182=-70+324，2=254，x-18=x-18=254或x-18=-254，x134，x22 可以验证x134，x22都是原方程的根，但x34不合题意，所以道路的宽应为2 例2解下列关于x的方程 x2+2x-35=0 2x2-4x-1=0
5、分析：显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；同上 解：x2-2x=35 x2-2x+12=35+1 2=36 x-1=6 x-1=6，x-1=-6 x1=7，x2=-5 可以，验证x1=7，x2=-5都是x2+2x-35=0的两根 2 254，11=0 x2-2x= 2213 x2-2x+12=+1 2= 22 x2-2x- x-1=666即x-1=，x-1=- 22266，x2=1- 2266，x2=1-都是方程的根 22 x1=1+ 可以验证：x1=1+ 三、巩固练习 教材P38 讨论改为课堂练习，并说明理由 教材P39 练习1 2、 四、应用拓展 例3如图
6、，在RtACB中，C=90，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后PCQ的面积为RtACB面积的一半 APCQB 分析：设x秒后PCQ的面积为RtABC面积的一半，PCQ也是直角三角形根据已知列出等式 解：设x秒后PCQ的面积为RtACB面积的一半 根据题意，得：111=86 222 整理，得：x2-14x+24=0 2=25即x1=12，x2=2 x1=12，x2=2都是原方程的根，但x1=12不合题意，舍去 所以2秒后PCQ的面积为RtACB面积的一半 五、归纳小结 本节课应掌握： 3 左边不含有x的完全平方形
7、式，左边是非负数的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程 六、布置作业 1教材P45 复习巩固2 2选用作业设计 一、选择题 1将二次三项式x2-4x+1配方后得 A2+3 B2-3 C2+3 D2-3 2已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是 Ax2-8x+2=31 Bx2-8x+2=1 Cx2+8x+42=1 Dx2-4x+4=-11 3如果mx2+2x+3m-2=0的左边是一个关于x的完全平方式，则m等于 A1 B-1 C1或9 D-1或9 二、填空题 1方程x2+4x-5=0的解是_ x2-x-2 2代数式的值为
8、0，则x的值为_ x2-1 3已知-8=0，求x+y的值，若设x+y=z，则原方程可变为_，所以求出z的值即为x+y的值，所以x+y的值为_ 三、综合提高题 1已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长 2如果x2-4x+y2+6y+z+2+13=0，求z的值 3新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达5000元，每台冰箱的定价应为多少元？ 答案: 一、1B 2B 3C 二、1x1=1，x2=-5 22
9、3z2+2z-8=0，2，-4 4 三、1=0，x1=3，x2=1， 三角形周长为9 22+2+z+2=0， 1 362900-x3设每台定价为x，则：=5000， 50x=2，y=-3，z=-2，z=-2=x2-5500x+7506250=0，解得x=2750 22.2.2 配方法 第2课时 教学内容 给出配方法的概念，然后运用配方法解一元二次方程 教学目标 了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤 通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目 重难点关键 1重点：讲清配方法的解题步骤 2难点与关键：把常数项移到方程右边后，两边加上的常数是一次项系
10、数一半的平方 教具、学具准备 小黑板 教学过程 一、复习引入 解下列方程： x2-8x+7=0 x2+4x+1=0 老师点评：我们前一节课，已经学习了如何解左边含有x的完全平方形式，右边是非负数，不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题 解：x2-8x+2+7-2=0 2=9 x-4=3即x1=7，x2=1 x2+4x=-1 x2+4x+22=-1+22 2=3即x+2=3 x1=3-2，x2=-3-2 5 二、探索新知 像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法 可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程
11、来解 例1解下列方程 x2+6x+5=0 2x2+6x-2=0 2+2-4=0 分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方 解：移项，得：x2+6x=-5 配方：x2+6x+32=-5+322=4 由此可得：x+3=2，即x1=-1，x2=-5 移项，得：2x2+6x=-2 二次项系数化为1，得：x2+3x=-1 配方x2+3x+=-1+22= 2224 由此可得x+355353=，即x1=-，x2=- 222222 去括号，整理得：x2+4x-1=0 移项，得x2+4x=1 配方，得2=5 x+2=5，即x1=5-2，x2=-5-2 三、巩
12、固练习 教材P39 练习 2、 四、应用拓展 例2用配方法解方程2=6 2 分析：因为如果展开，那么方程就变得很复杂，如果把看为一个数y，那么2=y2，其它的3x+4=1111+，x+1=-，因此，方程就2266转化为y的方程，像这样的转化，我们把它称为换元法 解：设6x+7=y 则3x+4=1111y+，x+1=y- 22661111 依题意，得：y2=6 2266 去分母，得：y2=72 y2=72， y4-y2=72 = 246 y2-117= 22 y2=9或y2=-8 y=3 当y=3时，6x+7=3 6x=-4 x=-2 35 325 所以，原方程的根为x1=-，x2=- 33 当
13、y=-3时，6x+7=-3 6x=-10 x=- 五、归纳小结 本节课应掌握： 配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤 六、布置作业 1.教材P45 复习巩固3 2.作业设计 一、选择题 4x-2=0应把它先变形为 3182 A2= B2=0 39318110 C2= D2= 3939 1配方法解方程2x2- 2下列方程中，一定有实数解的是 Ax2+1=0 B2=0 C2+3=0 D2=a 2 3已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是 A1 B2 C-1 D-2 二、填空题 1如果x2+4x-5=0，则x=_ 2无论x、y取任何实数，多项式x2+y2-2x-4
14、y+16的值总是_数 3如果162+40+25=0，那么x与y的关系是_ 三、综合提高题 1用配方法解方程 9y2-18y-4=0 x2+3=23x 7 2已知：x2+4x+y2-6y+13=0，求x-2y的值 x2+y2 3某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件 若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？ 每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？请你设计销售方案 答案: 一、1D 2B 3B 5 44413三、1y2-2y-=0，y2-2y=，2=， 999二、11，-5 2正 3x-y=y-1=131313，y1=+1，y2=1- 3338 x2-23x=-3 2=0，x1=x2=3 22+2=0，x1=-2，y2=3， 原式=-2-68=- 13133设每件衬衫应降价x元，则=1200， x2-30x+200=0，x1=10，x2=20 设每件衬衫降价x元时，商场平均每天赢利最多为y， 则y=-2x2+60x+800=-2+800=-22-225+800=-22+1250 -220， x=15时，赢利最多，y=1250元 答：略 9
