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1、23 反函数的导数,复合函数的求导法则2.3 反函数的导数，复合函数的求导法则 一、反函数的导数 I设x=j(y)是直接函数，y=f(x)是它的反函数，假定x=j(y)在y内单调、可导，而且j(y)0，则反函数y=f(x)在间Ix=x|x=j(y),yIy内也是单调、可导的，而且 f(x)=1j(y) (1) 证明： xIx，给x以增量Dx(Dx0,x+DxIx) 由 y=f(x) 在 Ix 上的单调性可知 Dy=f(x+Dx)-f(x)0 Dy1=DxDxDy 于是 因直接函数x=j(y)在Iy上单调、可导，故它是连续的，且反函数y=f(x)在Ix上也是连续的，当Dx0时，必有Dy0 Dy1
2、1=lim=Dx0DxDy0Dxj(y)Dy limf(x)=即：1j(y) 试证明下列基本导数公式 1-x21(2).(arctgx)=1+x21(3).(logax)=xlna (1).(arcsinx)=1证1、设x=siny为直接函数，y=arcsinx是它的反函数 Iy=(-,)x=siny22上单调、可导，且 x函数 在 pp=cosy0 因此，在 Ix=(-1,1)上， 有 (arcsinx)=1cosy y(-,)22cosy=1-siny=1-xcosy022注意到，当时， pp(arcsinx)=11-x2 因此， 证2 设x=则ytgy，Iy=(-2,2) pp=arct
3、gx，Ix=(-,+) x=10cos2y x=tgy 在 Iy上单调、可导且 (arctgx)=故 111=cos2y=(tgy)1+tg2y1+x2 证3 (logax)=111=(ay)aylnaxlna 类似地，我们可以证明下列导数公式： (arccosx)=-11-x21(arcctgx)=-1+x21(lnx)=x 二、复合函数的求导法则 如果u=j(x)在点x0可导，而y=f(u)在点u0=j(x0)可导，则复合函数y=fj(x)在点x0可导，且导数为 dy=f(u0)j(x0)dxx=x0limDy=f(u0)Du0Dx证明：因，由极限与无穷小的关系，有 Dy=f(u0)Du+
4、aDu(当Du0时,a0) 用Dx0去除上式两边得： DyDuDu=f(u0)+aDxDxDx 由u=j(x)在x0的可导性有： Dx0Du0， Dx0limlima=lima=0Du0DyDuDu=limf(u0)+aDx0DxDx0DxDx DuDu=f(u0)lim+limalimDx0DxDx0Dx0Dx =f(u0)j(x0) dy=f(u0)j(x0)dxx=x0即 上述复合函数的求导法则可作更一般的叙述： 若u=j(x)在开区间Ix可导，y=f(u)在开区间Iu可导，且xIx时，对应的 uIu，则复合函数y=fj(x)在Ix内可导，且 dydydu=dxdudx (2) 复合函数
5、求导法则是一个非常重要的法则，特给出如下注记： 弄懂了锁链规则的实质之后，不难给出复合更多层函数的求导公式。 y=dyfjf(x)，求 dx =f(x)，u=j(v)，于是 y=f(u) x，由锁链规则有： 引入中间变量， 设 v变量关系是 y-u-v-dydydudv=dxdudvdx (2)、用锁链规则求导的关键 引入中间变量，将复合函数分解成基本初等函数。还应注意：求导完成后，应将引入的中间变量代换成原自变量。 dy求y=sin2x的导数dx。 解：设 u=2x，则y=sinu，u=2x，由锁链规则有： dydydu=(sinu)(2x)=(cosu)2=2cos2xdxdudx xdy
6、y=lntg2，求dx。 设 dydydudv=由锁链规则有 dxdudvdx =111ucos2v2 (基本初等函数求导) =1xx2tgcos222 1sinx 11 ( 消中间变量) =由上例，不难发现复合函数求导窍门 中间变量在求导过程中，只是起过渡作用，熟练之后，可不必引入，仅需“心中有链”。 然后，对函数所有中间变量求导，直至求到自变量为止，最后诸导数相乘。 请看下面的演示过程： dyx1x1=(lntg)=(tg)=xxdx22tgtg221111=(x)=xx2xtgcos2tgcos2222xx2cos22 1=x2sinx2 1mm-1(x)=mx证明幂函数的导数公式 ，(m为实数)。 mmlnxy=x=e证明：设 1y=emlnx(mlnx)=emlnxm=mxm-1x
