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1、243正多边形和圆习题24.3正多边形和圆 习题精选 一、选择题 1正多边形的一边对的中心角与该正多边形的一个内角的关系是 A两角互余 B两角互补 C两角互余或互补 D不能确定 2下列命题正确的是 A正多边形都是轴对称图形 B正多边形的一个内角的大小与边数成正比例 C正多边形的一个外角的大小随边数增加而增大 D边数大于3的正多边形的对角线相等 3中华人民共和国国旗上的五角星的画法，通常通过先把圆五等分，然后连接五等分点而得到，则五角星的每一个角的度数是 A30 B35 C36 D37 4已知正三角形的边长为d，其内切圆半径为r，外接圆半径为R，则raR A1232 B132 C1；23 D13
2、23 5一个正三角形和一个正六边形的周长相等，则这个正三角形与这个正六边形的面积之比为 A12 B23 C34 D32 二、填空题 1如果一个正多边形的中心角为24，那么它的边数是_。 1 2正十边形至少绕中心旋转_，方能和原正十边形重合。在不超过360的范围内，这样的角度有_个。 3边数相同的两个正n边形的周长之比是3:2，则它们的面积之比是_。 4要用圆形的铁片截出边长为4厘米的正方形铁片，要选用的圆形铁片的直径最小要_厘米。 5已知正三角形的边长为a，则它的内切圆与外接圆组成的圆环面积为_。 6如图，正六边形ABCDEF中，阴影部分的面积为123，则此正六边形的边长为_。 三、解答题 1
3、如图所示，AD是O的直径，弦BC垂直平分OD，垂足为M，求证ABC为正三角形 2用直尺和圆规作一个半径为2厘米的正五边形 3如图，已知O的内接正十边形ABCD，AD交OB，OC于M，N 求证MNBC； 2 MN+BCOB 4如图，菱形花坛ABCD的边长为6米，B60，其中由两个正六边形组成的图形部分种花，求种花部分的图形的周长 5济南市实施“容貌工程”期间，某学校在教学楼前铺设小广场地面，其图案设计如图，正方形小广场地面的边长是40米，中心建一个直径为20米的圆形花坛，四角各留一个边长为10米的小正方形花坛，种植高大树木，图中阴影处铺设广场砖 计算阴影部分的面积S； 某施工队承包铺设广场砖的任
4、务，计划在一定时间内完成按计划工作1天后，改进了铺设工艺，每天比原计划多铺60平方米，结果提前3天完成任务，那么原计划每天铺设多少平方米? 图表示广场中心的圆形花坛的平面图，准备在圆形花坛内种植6种不同颜色的花卉，为了美观，要使同色花卉集中在一起，并且各色花卉的种植面积相等请你帮助设计出一种种植方案，并画在图上 答案 360(n-2)g180n一、1B解析：正多边形的中心角和一个内角分别为n和， 360(n-2)g180360+ng180-360nnn+=180，它们互为补角。 2A 3C 3 4A 解析：如图所示，OB=R，OD=r，BC=2BD=a，ABC是正三角形，OBD=30，11OD
5、=2OB=2R， 133BD=OB2-OD2=R2-(R)2=R222，BC=2BD=2=3R，ra1R=2R 3RR=1232 提示：正n边形的内切圆、外接圆是同心圆。 5B 解析：如图，所示。 3aa=2。 设正三角形的边长为a，由题意，知正六边形的边长为6aa在RtOBD中，OBD=30，OB=2ODBD=2，OD2+2=2， 313332aSgABC=3BCgOD=aa=a62264OD=， 在RtOGC中，CG=11aa1360CD=COG=302224，26， OC=2CG=2a2a23aa22OC=OC-CG=-=a=244， 42，4 S六边形ABCDEF=323322a:a=
6、483 360=24二、1解析：设这个正多边形的边数为n，由题意知n，n=15。答数5 360=36102解析：正十边形的中心角为，正十边形至少绕中心旋转36，才能和自身重合。在不超过360范围内，这样的角度有36，72，108，144，180，216，252，288，324，360共0个。 答案：36，10 3解析：设两个正n边形的周长分别为3x，2x，它们的弦心距为r，则它们的面13xgr32=3:2122xgr积比为2。 答案：3:2 提示：正多边形的面积可由周长与其边心距之积的一半来求。对于任意S=一个三角形和正多边形，其面积均可由公式求出。 1lr2224解析：如图所示，AB=BC=
7、4，AC=4+4=42，要选用的圆形铁片的直径最小要42厘米。 答案：42厘米 提示：圆内接正方形的对角线即为圆直径。 1111BCa5解析：如图所示，BD=2=2，OBD=2ABC=260=30，在RtOBD13(a)2+OD2=(2OD)2OD=a2226，中，OB=2OD，BD+OD=OB，即2，5 OB=2OD=3a3。由于OB，OD分别为正三角形ABC的外接圆和内切圆半径以，它3232ppa2pa2p(a)-p(a)=-=363124。 们组成的圆环面积为pa2答案：4 S6=322r2，6解析：设正六边形半径为r，则正三角形的半径也为r，易求S3=332r4， 332332r-r=
8、1232S=S-S63阴24由于， ，r=16，即r=4。又a6=r，a6=4 答案：4 提示：本题中正六边形与正三角形的半径是相同的，另外，牢记正六边形的半径等于边长。 三、1证明连接OB， 11BC垂直平分OD，OM=2OD=2OB，OBM=30，BOM=60。 11AB22ADBD，BM=CM，AN=ACBAM=BOM=30，BM=，AB=BC，AB=AC=BC 2解析如图。 6 作法：作一个半径为2厘米的O； 作两条互相垂直的直径MN，EP； 作OM的中垂直线交OM于Q； 以Q为圆心，EF为弦，在O上依次截出A，B，C，D，连接AB，BC，CD，DE，EA，则五边形ABCDE即为所求作
9、的正五边形。 提示：本题介绍了正五边形的一种画法，不需掌握，保需了解即可。 3证明：连接OA，OD。 3603=10810AOB+BOC+COD=，OA=OD，OAD=ODA=36，ANO=180-36-72=72 又OCD=72， ANO=BCO，MNBC； 由得AN=AO，ABM=AMB，AB=AM。又AB=BC，AN=AM+MN=AB+MN=BC+MN，MN+BC=OB 4解析：由题意，得D=B=60， C=120， AFE=IGE=120，EFD=D=60，DE=EF=GE。IGC=60， C=120，CHGI。同理可证HICG，四11边形CGIH为平行四边形，IH=CG，CG=GE=DE=3CD=36=2，种花部分的图形的周长为210=20。 5解析：方米）。 S阴影部分=402-4102-p(202)2=1600-400-100p=1200-300=900设原计划每天铺设x平方米。 900900-x-3=1+x+60，解得x1=100，x2=-180。经检验x1=100，x2=-180根据题意，得x都是所列方程的解。因为工作效率不能为负数，所以x2=-180不符合题意，应舍去。故原计划每天铺设100平方米。 下列有四种方案供参考，如图。 7
