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1、24高等数学同济大学第六本习题2-4 1. 求由下列方程所确定的隐函数y的导数 (1) y2-2x y+9=0; (2) x3+y3-3axy=0; (3) xy=ex+y ; (4) y=1-xey. 解 (1)方程两边求导数得 2y y-2y-2x y =0 , 于是 (y-x)y=y, y=yy-xdydx: . (2)方程两边求导数得 3x2+3y2y-2ay-3axy=0, 于是 (y2-ax)y=ay-x2 , y=ay-x2y2-ax. (3)方程两边求导数得 y +xy=e x+y(1+y), 于是 (x-ex+y)y=ex+y-y, y=ex+y-yx-ex+y. (4)方程
2、两边求导数得 y=-e y-xeyy, 于是 (1+xe y)y=-e y, eyy=-1+xey2x3. 2=a3 2. 求曲线1+2y3在点(2a, 2a)处的切线方程和法线方程. 44 解 方程两边求导数得 - 2x3+2y3y=0, 331于是 y=-xy44-1313, 在点(2a, 2a)处y=-1. 所求切线方程为 y-2a=-(x-2a), 即x+y=2a. 442所求法线方程为 y-2a=(x-2a), 即x-y=0. 44 3. 求由下列方程所确定的隐函数y的二阶导数 (1) x-y=1; (2) b2x2+a2y2=a2b2; (3) y=tan(x+y); (4) y=
3、1+xey. 解 (1)方程两边求导数得 2x-2yy=0, y=xy22d2ydx2: , y-xy2xyy-xy y=(x)=yy2=y2-x2y3=-1. y3 (2)方程两边求导数得 2b2x+2a2yy=0, b2x y=-2, ayb2xy-x(-2)ayb2y-xyb2y=-2=-ay2a2y22222b2ay+bxb4=-2=-aa2y3a2y3 . (3)方程两边求导数得 y=sec2(x+y)(1+y), y=2sec(x+y)1-sec(x+y)2=12cos(x+y)-1 =22sin(x+y)+cos(x+y)-sin(x+y)2=-1-1y2, 2(1+y2)221
4、y=3y=3(-1-2)=-yyyy5. (4)方程两边求导数得 y=e y+xe yy, eyeyey y=, =1-xey1-(y-1)2-y y=eyy(2-y)-ey(-y)(2-y)2=ey(3-y)y(2-y)2=e2y(3-y)(2-y)3. 4. 用对数求导法求下列函数的导数: (1) y=(x)x; 1+x (2)y=5 (3)y=x-55x+22; ; x+2(3-x)4(x+1)5 (4)y=xsinx1-ex. 解 (1)两边取对数得 ln y=xln|x|-xln|1+x|， 两边求导得 111y=lnx+x-ln1(+x)-xyx1+x, 于是 y=(x)xlnx+
5、1. 1+x1+x1+x (2)两边取对数得 lny=1ln|x-5|-1ln(x2+2), 525两边求导得 11112xy=-2y5x-525x+2x-55, 1于是 y=55x+22=112x-2. x-55x+2 (3)两边取对数得 lny=1ln(x+2)+4ln3(-x)-5ln(x+1), 2两边求导得 1y=y145-2(x+2)3-xx+1, 于是 y=x+2(3-x)4(x+1)5145+- 2(x+2)x-3x+1 (4)两边取对数得 lny=1lnx+1lnsinx+1ln1(-ex), 224两边求导得 111ex y=+cotx-, y2x24(1-ex)于是 y=
6、xsinx1-ex1+1cotx-2x2ex x4(1-e)1=42exxsinx1-e+2cotx+x. xe-1xdydx 5. 求下列参数方程所确定的函数的导数 (1) x=at22y=bt: ; x=q(1-sinq) (2) . 解 (2) y=qcosq2dyy(1)=t=3bt=3btdxxt2at2a. dydx=yqcosq-qsinq. =1-sinq-qcosqxqx=etsint,dyp6. 已知求当时的值. t=tdxy=ecost.3dyytetcost-etsintcost-sint解 , =dxxtetsint+etcostsint+cost13-dy22=1-
7、3=3-2=dx131+3+22当t=p时, 3. 7. 写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程: x=sint (1) , 在t=p处; y=cos2t4x=3at2(2) 1+t2, 在t=2处. 3aty=1+t2dyy解 (1)=t=-2sin2t. dxxtcostdy 当t=p时, =dx4-2sin(2)4=-2=-22, x=2, y=0, 00p22cos42p所求切线方程为 y=-22(x-2), 即22x+y-2=0; 2所求法线方程为 y=- (2)yt= xt= dydx1-22(x-2), 即2x-4y-1=0. 2=6at(1+t2)26at(1+
8、t2)-3at22t(1+t)22, , 3a(1+t2)-3at2t(1+t2)23a-3at2=(1+t2)2=yt6at2t. =xt3a-3at21-t2dydx=224=-31-22 当t=2时, , x0=6a, y0=12a, 55所求切线方程为 y-12a=-4(x-6a), 即4x+3y-12a=0; 535所求法线方程为 y-12a=3(x-6a), 即3x-4y+6a=0. 545 8. 求下列参数方程所确定的函数的二阶导数 (1) 2x=t2; y=1-t.d2ydx2: (2) ; y=bsintx=acost (3) (4) x=3e-tty=2e; 设f (t)存
9、在且不为零. 2x=ft(t), ty=tf(t)-f(t)1t21dyyt-1dy(yx)t 解 (1) , =3. =xttdxxttdx2t (2) dydx2=ytbcostb=-cott, xt-asintabcsc2t)dy(ybaxt . =-xt-asintdx2a2sin3t (3) dydx=2yt2et22t=-e, xt-3e-t322e2t)dy(y43t3xt =e. xt9dx2-3e-t- (4) dydx=ytf(t)+tf(t)-f(t)=t, xtf(t)=(y1x)t=xtf(t)d2ydx2. d3ydx3 9. 求下列参数方程所确定的函数的三阶导数
10、x=1-t2(1)3y=t-t: ; . x=ln(1+t2)(2)y=t-arctant(t-t3)1-3t2= 解(1)=, dx(1-t2)-2tdy1-3t2)d2y113-2t=-(+), -2t4t3tdx2(dydx33-=113(+)4t3t=-3(1+t2). -2t8t51dy(t-arctant)1+t2=1t, = (2)=2tdx2ln(1+t2)1+t21-1(t)dy1+t22 , =22t4tdx1+t221+t24d3yt-14t= . 2tdx38t31+t2 10. 落在平静水面上的石头, 产生同心波纹, 若最外一圈波半径的增大率总是6m/s, 问在2秒末
11、扰动水面面积的增大率为多少？ 解 设波的半径为r, 对应圆面积为S, 则S=pr2, 两边同时对t求导得 S t=2prr. 当t=2时, r=62=12, rt=6, 故S t|t=2=2126p=144p (米2/秒). 11. 注水入深8m上顶直径8m的正圆锥形容器中, 其速率为4m2/min . 当水深为5m时, 其表面上升的速度为多少？ 解 水深为h时, 水面半径为r=1h, 水面面积为S=1h2p, 24水的体积为V=1hS=1h1h2p=ph3, 33412 dV=p3h2dh, dh=42dV. dt12dtdtphdt已知h=5(m)，dV=4(m3/min), 因此 dh=
12、42dV=44=16dtphdt25p25pdt(m/min). 12. 溶液自深18cm直径12cm的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm的圆柱形筒中, 开始时漏斗中盛满了溶液, 已知当溶液在漏斗中深为12cm时, 其表面下降的速率为1cm/min. 问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少？ 解 设在t时刻漏斗在的水深为y, 圆柱形筒中水深为h. 于是有 162p18-1pr2y=52h. 33由r=6y18, 得r=3y3, 代入上式得 33y 162p18-1p2y=52h, 即 162p18-13y3=52h. 33两边对t求导得 -12y2yt=52h. 3当y=12时, yt=-1代入上式得 - ht= 1122(-1)2163=0.642552(cm/min).
