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1、29切线和法线方程模块基本信息 一级模块名称 三级模块名称 先行知识 知识内容 微分学 切线和法线方程 导数的几何意义 教学要求 二级模块名称 模块编号 模块编号 应用模块 2-9 2-3 掌握程度 1、函数的切线方程和法线方程 1、会求函数的切线方程和法线方程 2、隐函数和参数方程的切线和法线的求法。 能力目标 时间分配 修订 2、了解隐函数和参数方程的切线和法线的求法。 简单应用 1.培养学生的知识迁移能力 2.培养学生的计算能力 15分钟 编撰 尧克刚 二审 校对 熊文婷 审核 危子青 危子青 肖莉娜 一、正文编写思路及特点： 思路：在复习导数几何意义的基础上，按照由易到难的顺序讲题例题
2、、练习，让学生能够灵活运用导数求切线方程和法线方程。 特点：通过例题及练习，巩固学生的计算能力。 二、授课部分 预备知识 函数y=f(x)在点x0处的导数f (x0)在几何上表示曲线y=f(x)在点M(x0, f(x0)处的切线的斜率, 即 f (x 0)=tan a 其中a是切线的倾角. 新课讲授 1.切线方程： 由直线的点斜式方程, 可知曲线y=f(x)在点M(x0, y0)处的切线方程为 y-y0=f (x0)(x-x0). 特别：y=f(x)在点x0处的导数为无穷大, 这时曲线y=f(x)的割线以垂直于x 轴的直线x=x0为极限位置, 即曲线y=f(x)在点M(x0, f(x0)处具有
3、垂直于x轴的切线x=x0. 2.法线方程： 过切点M(x0, y0)且与切线垂直的直线叫做曲线y=f(x)在点M处的法线如果 f (x0)0, 法线的斜率为-1f(x0), 从而法线方程为 1(x-x). 0f(x0)y-y0=-(三)、经典案例 1、基本初等函数的切线和法线方程 例1. 求等边双曲线y=1在点(1, 2)处的切线的斜率, 并写出x2在该点处的切线方程和法线方程. 解: y=-12, 所求切线及法线的斜率分别为 x k1=(-1)x=1=-4, k2=-1=1. 2k14x22 切线方程为y-2=-4(x-1), 即4x+y-4=0. 法线方程为y-2=1(x-1), 即2x-
4、8y+15=0. 42 2. 隐函数的切线和法线方程 例2.求由方程x3+ey+xy-e=0所确定的隐函数在 3. 参数方程的切线和法线方程 x=a(t-sint)例3.计算由摆线的参数方程所确定的函数y=f(x)的y=a(1-cost)1et=p2处的切线方程和法线方程。 解: 当t=pp时x=a(-1),y=a, 22sintt=cot1-cost2 dyy(t)a(1-cost)=asint dxx(t)a(t-sint)a(1-cost) =1t切线的斜率：k1=(cot)=1法线的斜率：k2=-=-1 k12t=p，2pp切线方程为y-a=a(-1)x, 即y+a(1-)x-a=0 22，pp法线方程为y-a=-a(-1)x, 即y+a(-1)x-a=0 22.三、 能力反馈部分 1. 求y=sinx-cosx在点x=p2处的切线和法线方程。2. 设方程ex+y-2x+2y2-5=0确定函数y=y(x),求函数在点处的切线和法线方程。 (x=-1,y=1)3. 求曲线 x=sintp 在 t= 处的切线方程和法线方程. 6y=cos2t
