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1、2等差数列等差数列 一、知识归纳： 1等差数列的定义用递推公式表示为： an+1-an=d(nN+)或an-an-1=d(n2,nN+) ，其中d为常数，叫这个数列的公差。 2等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d， 3等差数列的分类： 当d0时，an是递增数列；当d0时，an是递减数列；当d=0时，an是常数列。 4等差中项： 如果在a,b中间插入一个数A，使a,A,b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且A=a+b 25等差数列的前n项和公式： Sn=n(a1+an)n(n-1)ddd，此式还可变形为Sn=n2+(a1-)n ，或Sn=na1+22226等差数列的主要性质： an
2、=ak+(n-k)d 若m+n=2p，则am+an=2ap 若m+n=p+q，则am+an=ap+aq 如：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=L 二、学习要点： 1学习等差数列要正确理解与运用基本公式，要抓住首项a1与公差d两个基本量解决问题。注意： 证明一个数列为等差数列的常用方法： 证明：an+1-an=常数； 证明：an+1+an-1=2an(n2) 公差d0的等差数列的通项是n的一次函数an=an+b，其中a即为公差。 d0的等差数列的前n项和公式是n的没有常数项的二次函数Sn=an2+bn 2解决等差数列问题应注意性质的灵活运用。 3巧设公差是解决问题的一种重要方法。 三数
3、成等差数列，可设为：a,a+d,a+2d或a-d,a,a+d； 三、例题分析： 例1已知等差数列的前三项依次为a,求a及k的值； 设数列bn的通项bn= 例2已知数列an中，a2=9,a5=21，且an+2-2an+1+an=0(nN*) 求an的通项an；令bn=2n，求数列bn的前n项和Sn 例3已知数列an中a1=3，an=2-1，数列bn，满足b=1 n5an-1an-1a4,3a，前n项和为Sn，且Sk=110， Sn，证明数列bn是等差数列，并求其前n项和Tn n 求证数列bn是等差数列； 求数列an中的最大项与最小项，并说明理由； 求Sn+1=b1+b2+L+bn+1. 例4设a
4、n是等差数列 若a7+a9=16，a4=1，则a12=_. 若a1+a2+a3=1,an+an-1+an-2=3，且Sn=18，则n=_. 若a8-1a11=6，则S9=_. 2四、练习题： 1，a2+a5=4，an=33，则n= 3 A48 B49 C50 D51 1等差数列an中，已知a1=2已知等差数列an公差为2，若a1,a3,a4成等比数列，则a2= A-4 B-6 C-8 D-10 3等差数列an中，a1+a2+a3=-24，a18+a19+a20=78，则此数列前20项和为 A160 B180 C200 D220 4设an是等差数列，且a2=-6,a8=6，Sn是数列an的前n项
5、和，则 AS4S5 BS4=S5 CS61，且am-1+am+1-am=0，S2m-1=38,则m= 122 A38 B20 C10 D9 11在等差数列an中，a5=3,a6=-2，则a4+a5+L+a10=_ 12已知等差数列an的前n项和为Sn，若a4=18-a5，则S8=_ 13定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列an是等和数列，且a1=2，公和为5，则a18的值为_.这个数列的前n项和Sn的计算公式为_. 14已知等差数列an中，a3a7=-16,a4+a6=0求an前n项和Sn. 15已
6、知数列an是等差数列，其前n项和为Sn,a3=7,S4=24. 求数列an的通项公式； 设p,q是正整数，且pq,证明：Sp+q0，且a2a3=45,a1+a4=14 求公差d的值；令bn= Sn，若数列bn也是等差数列，求非零常数c的值； n+c19已知数列an中，其前n项和Sn满足Sn+1+Sn-1=2Sn+1 a1=2，a2=3，求数列an的通项公式； 设bn=4n+(-1)n-1l2n(l为非零整数，nN*），试确定l的值，使得对任意anN*，都有bn+1bn成立 等差数列参考答案 例1解：设该等差数列为an，则a1=a,a2=4,a3=3a， 由已知有a+3a=8，得a1=a=2，公
7、差d=4-2=2 则Sk=ka1+k(k-1)k(k-1)d=2k+2=k2+k 222由Sk=110，得k+k-110=0，解得k=10或k=-11 故a=2，k=10 由Sn=Sn(2+2n)=n(n+1)，则bn=n=n+1， 2n故bn+1-bn=(n+2)-(n+1)=1，即数列bn是首项为2，公差为1的等差数列 Tn=n(2+n+1)n(n+3)= 22例2解：Qan+2-2an+1+an=0(nN*)，an是等差数列， 设d为an的公差，则d=a5-a221-9=4 5-23 故an=a2+(n-2)d=9+(n-2)4=4n+1 54由an=4n+1，得bn=24n+1，则bn
8、是首项b1=2，公比q=2的等比数列。 25(24n-1)32(24n-1)=故Sn= 24-115例3解析：bn=1=an-1an-111=，而 bn-1=， 1an-1-1an-1-12-1an-1 bn-bn-1=an-11=1(nN+) an-1-1an-1-115=-，公差为1的等差数列 a1-125721，而bn=-+(n-1)1=n-， an=1+ 222n-7bn bn是首项为b1= 依题意有an-1= 当n3时，3=a1a2a3=-1；当n4时，3=a4a5a6Lan1 5故an中的最小值为a3-1，最大值为a4=3 52n-5(n+1)(-+)(n+1)(n-5)22Sn+
9、1=， =22例4设an是等差数列 a12=_15_.n=_27_.S9=_108_. 解：由2a8-a11=12及2a8=a5+a11，得a5=12，则S9=四、练习题： 选择题 110 CBBBA ABDDC 解析： 4解：d=9(a1+a9)=9a5=108 2a8-a26+6=2，an=2n-10，由an=0，得n=5，又d0 8-26则an是递增数列，故S4=S5 选B 5解：S99(a1+a9)92a59a5=1 S55(a1+a5)52a35a38解：由a1+a2+L+a98+a99=(a1+a4+L+a97)+(a2+a5+L+a98) +(a3+a6+L+a99)=3(a3+
10、a6+L+a99)-332d-33d 可得3(a3+a6+L+a99)=99+99 9由已知有5a8=120，a8=24，则3a9-a11=3(a8+d)-(a8+3d)=2a8 210解：由已知有2am-am=0，am=0或am=2对mN成立。 +则(2m-1)2=38，故m=10，选C 填空题 11 _ -52_.12 _ 72_. 5n(n为偶数)512n13 _3_. Sn=或Sn=n+1-(-1) 245n-1(n为奇数)2解答题： 14已知等差数列an中，a3a7=-16,a4+a6=0求an前n项和sn. 解：设an的公差为d，则 a12+8da1+12d2=-16a1=-8,a
11、1=8(a1+2d)(a1+6d)=-16 即 解得 或d=2,d=-2a1+3d+a1+5d=0a1=-4d因此Sn=-8n+n(n-1)=n(n-9)，或Sn=8n-n(n-1)=-n(n-9) 15解：设等差数列ana1+2d=7a1=3, 的公差是d，依题意得，解得=24.434a+dd=2.12数列an的通项公式为an=a1+(n-1)d=2n+1. 证明：an=2n+1，Sn=n(a1+an)=n2+2n. 22Sp+q-(S2p+S2q)=2(p+q)2+2(p+q)-(4p2+4p)-(4q2+4q)=-2(p-q)2， pq,2Sp+q-(S2p+S2q)0. Sp+q20，
12、所以a2bn恒成立， n+1nn+2bn+1-bn=4-4+(-1)l2-(-1)n34-3l(-1)n-1nn-1*l2n+10恒成立， n-12n+10恒成立， (-1)n-1l2n-1恒成立 当n为奇数时，即l2恒成立， n-1当且仅当n=1时，2有最小值为1， l-2当且仅当n=2时，-2n-1n-1恒成立， 有最大值-2，l-2 即-2lbn 20.设an是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足a22+a32=a42+a52,S7=7。 求数列an的通项公式及前n项和Sn； 试求所有的正整数m，使得220.设公差为d，则a2amam+1为数列an中的项. am+2222，由性质得-3d(a4+a3)=d(a4+a3)，因为-a5=a4-a3d0，所以a4+a3=0，即2a1+5d=0，又由S7解得a1=-5，=7得7a1+76d=7，2d=2, (2)方法则amam+1(2m-7)(2m-5)=,设2m-3=t， 2m-3am+28amam+1(t-4)(t-2)=t+-6, 所以t为8的约数 =ttam+2因为amam+1(am+2-4)(am+2-2)8为数列an中的项， =am+2-6+am+2am+2am+2故8 am+2为整数，又由知：am+2为奇数，所以am+2=2m-3=1,即m=1,2 经检验，符合题意的正整数只有m=2。
